Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Так как ребро е смежно с Б,, то тягло вращения !в (с, д) отличается от числа вращения !п(пц д) не более чем на 1, что и требовалось. Доказательство теоремы проведем индукцисй по числу п си лплсксов комплекса Б(Г). Случаи п = 1 тривиален. Предположим, что утверэкление теоремы справедливо для всех п < ге. Пусть э'(Г) состоит из Л' симплексов. По лемме 7.8, существует такой симплекс Л, что симплипиальный комплекс К = о(Г) ага представляет собой двойственный комплекс некоторой тривиальной сети Г', число вращения которой нс превосходит пяти. Поэтому, в силу предположения индукции, сеть Г' эквивалентна двойственному графу некоторого паркета Р', контур которого является вложенной ломаной.
Пусть Л крайний симплекс, я сторона рыреза, принадлежащая Л, и с! граничное ребро паркета Р', соответствующее л. Добавим к паркету Р' единственную ячейку паркета плоскости, нс лежащую в Р' п примыкающую к а'. Полу и нный паркет обозначим через Р. Пусть теперь Л вЂ” симплекс из ядра, я и у внутренние стороны снмплекса Ь, и с и Ы соответствующие им граничные ребра паркета Р'. Пусть Х общая вершина сторон х и д. Поскольку Ь симплекс из ядра комплекса 51Г), вершина Х является общеи ровно для пяти симплексов комплекса оц Рассмотрим я тсйки паркета Р', соответствующие этим пяти симплексам.
Они, очевидно, также имеют общую вершину, поэтому ребра с и Н принадлежат одной ячейке паркета плоскости, не принадлсжа- Паркетная реализация тривиальных сетей щей паркету В'. Добавггъг зту ячейку к паркету В'. Полученный паркет обозначим через В. Покажем теперь, что ребра паркета Р, соотвстствукгщие граничным сторопалг симплскса гз, также являются граничными. В самом деле, сели зто нс так, то, по ана.югии с доказательством теоремы 2.1, найдется пара граничных ребер сети Г, число вращения между которыми по мо,пулю равно 6.
Противоречие. Нам осталось показать, что контур паркета В вложенная ломаная. гиы от.гоживг доказггчельство стог о факта до следующего раздела. Итак, из теореъпя 7.! следует, что для изучения тривиальных сетей, имеюгцпх выпуклую минимальную реализацию, достаточно исследоггать о,гносвязные паркеты, "висло вращения которых не превосходит пяти. г!ггожсство всех одпосвязных паркетов с числом вращения, не превосходящим о, будем обозначать через 'Ц. 3.1 хлисло вращения ребер контура паркета Выше было определено число врщцения между граничными сторонами контура Л двойственного комплекса о')Г) тривиальной сети. Это определение было чисто комбицаторшлм.
Однако, если комплекс о(Г) гложет пыль реализован в виде некоторого паркета В, то понятие числа вращения между сторонами контура К приобретает простой геометричсскии смысл. Л именно, пусть К' контур паркета В, и пусть и' и Ь' ребра цз К', соответгтвуюпгие сторонам а и Ь контура К комплекса о(Г). Погда, очевидно, Пик(и, Ь) = !лик )а', Ь), где последнее совпадает с деленным на ягЗ углом поворота при движснии от а' к Ь' вдоль 11' по часовой стрелке. Заворгпониег доказательства теоремы 7.1. Напомним, что нам осталось ,показать вложенность контура паркета В, построенного вьппс.
Отметим, что единственная возможность получить не вложенный контур возникает при добавлении к паркету 1Э ячейки, соответствугошей крайнему симплексу гЛ из л(Г). Предположим, что добавленная к паркету В' я гейка касается контура паркета В' той своей вершиной А, которая соответствует вершине симплекса гл, не принадлежащей стороне разреза. '1огла контур С паркета В разбивается вершиной Л на две компоненты, каждая из которых представляет собой замкнутуго ломаную. Ориснтирусм контур К комплекса о')Г) по часовой стрелке, что задаст нам ориентацию контура С паркета В.
Обозначим через уг ту из двух компонент;:, контура С, которая лежит в замыкании области, ограниченной другой из ппх, гз. Очевидно, число вращения между начальным н конечным ребрами ломаной;~ (расслгагриваемой как часть ориентированного контура С) лежит в пределах от 5 до 7, позтому в зтцх жс пределах Описание паркетов общего вида должно лежать и шсло вращения между соотвстствулощими гралпгзными сторопамп контура К комплекса о(Г). Противоречие. '1еорема 7.! полностью доказана.
4 Описание паркетов общего вида Пе.ль настоящего пункта состоит в описании устройства паркетов общего вида. Как мы увидим, многие конструкции. разраоотанные нами в славе 2 для паркетов из ИХХш и рименимы и в общем слу зае. Как и выше, мы представим каждый паркет в виде объединения некоторых "элементарных кирпичей" и опишем устройство этих 'кирпичеи".
!!се паркеты на протяжении настоящего пункта будут предполагаться связными. 4.1 Скелет и наросты Пусть Л произвольный паркет. В главе 2 было построено разложение произвольного паркета на его скелет н иароспгы: В = К!э(зх,). Такое разложение будет назл чрезвычайно полезно и при изучении паркетов общего вида. 1'лавнос отличие паркетов общего вида от де!зевянных паркетов состоит в том, что, вообще говоря, пе все вершины ячеек произвольного паркета лсж ег на его контуре. !тобы описать возникающие здесь новые эффекты, нам понадобятся понятие паркетной оболочки и ядра, к определению которых мы и псрсхо,лим. 4.2 Паркетные оболочки и ядра Пусть ЛХ произвольное множество вершин паркета плоскости.
Путь 7, составленный из ребер ячеек, будем называть путсн ео янооисстее .И, если все вершины пули "; щзинадлсжат ЛХ. Л1ножсство ЛХ назовем селзямж, если каждые две вершины из ЛХ могут оыть соединены путем во мноясестве ЛХ. Максималылыс по включению связные подмножоства лножества ЛХ будем называть селзззьзжи кежпонентслт лянооиестеа ЛХ. Опроделонио. Паркетной оболочкой,тяоиеестьо М называется соззокупность всех ячеек паркета п.лоскости, иялекзщих точки из л!Х своими вершинамп. 4.3 Ядра паркета Пусть В прозлзвольныи паркет, и К ел о контур. Как уже говорилось выше, вершины паркетов общего ви.ла, в отличие от вершин деревянных паркетов, могу| и нс лежать на контуре паркета, т.с, находиться внутри паркета.
Описание паркетов общего вида Рис. 7А: Ядра паркета Опроделенио. Вершину паркета Р назовем ерассснсной, если опа лежит на контуре К паркета Р. Все остальные вершины паркета Р будем называть с'нутрснними. Рассмотрим множество всех внутренних вершин паркета Р, и разобьем его на связныс компоненты. Определение.
Паркетные оболочки связных компонент мноьксства вну- тренних вершин паркета Р называются ядра.ни паркета Р (рис. 7.4). Ядра паркетов обладают следующими свойствами, непосредственно вытскакнпими из определений. Утверждение 7.7 Пусть Р произвольный паркет. Тогда ° калсдое ядро паркета Р содсрзюнтся в Р; ° если два ядра паркета Р имеют общую ячейку, то они совпадают; ° среди всех ядер паркета плоскосспьи, содержащихся в Р, ядра парксаса Р являются лсакссслсссльньсми (ссо включениюр !!так, мы выделили в паркетах общего вида "элементарные кпрпн си' ядра, наличие которых отличает такие паркеты от деревянных. Перейдем теперь к изучению скелетов произвольных паркетов.
4.4 Узлы ветвления Пусть .'~' произвольный скелет. Опроделение. Внутреьсшою ячейку скелета э, не входяспую ни в какое ядро этого скелета, пазовом янсс1кой ветвления скелета лй Связныс подпаркеты в Я, составленные из его ячеек ветвления, назовем узлами ветвления скелета Я. Описание паркетов общего вида Рнс. 7..э: Линейные ччастки Отметим, что свойство данной ячейки произвольного паркета Р быть ячейкой ветвления некоторого его скелета нс зависит от разложения паркета Р на скелет и наросты.
Поэтому можно говорить о ячеиках ветвления и узлах ветвления паркета (а нс скелета). Оказывается узлы вств.ления произвольного паркета устроены точно так же, как узлы ветвления деревянных паркетов. А именно, дословно повторяя доказательство предложения 2.6 главы 2, получаем слсдуьощее предложение. Продложенио 7А У'элы вствлсппя проаэволькыл паркетов логут быть лить тел эя.с пяти типов, чппэ и дэль~ всглвлсния деревянны с паркстаь, см.
рнс. э.10 славы 'э. 4.5 Линейные участки Пусть, как и выше, б произвольный скелет. Определение. Связные компоненты паркета, который получается после выбрасывания нз э' всех ядер и узлов ветвления, называются линейны,ни участкажи скелета,ч (см. рис. 75). Имеет место следующее утверждение. Утверждение 7л8 Если линейный участок 1, скелета 8 не совпадает со всея э', то 1 явл летел линейным дсревянкын скслстож. Доказательство. Из определения вытекает, что произвольный линейный участок скелета б' нс содержит пи внутренних ячеек, нн внутренних вершин, поэтому, в частности, 1. является скелетом.
Предпо.южнм, что двойственный граф скелета 1 содержит цикл 7. Обозначим через Р подпаркст в йо соответствующий этому циклу. Ясно, что каждая ячейка из 1' имеет ровно два вну'гревних ребра. По тогда к паркету Р нельзя добавить ни Описание паркстов общего вида Рис. 7.6: Пример нелинейного паркета, совпадающего со своим единствен- ным линейным участком одной смежной с Р ячейки паркета плоскости, не превратив прн этом некоторую ячейку из Р во внутреннюю ячейку псрсстроснного паркета. Поэтому Р необходимо совпадавь с йо а !. совпадает с э', так как иначе линейный участок !. содсрькал бы внутрсннис ячейки.
Пример 7.2 Па рис. 7.6 приввдвн пра.ивр сколота, совпадаюа1в: о со своим вдинствснны.и яиивйныж участков. Этот паркет, очевидно, нг являстгя дврввяяньыь иьак как вго двойшпввнныи граф содврожшп цикл. 4.6 Структурные элементы Подведем нскоторыс итоги. В предыдущих разделах было построено разложение произвольного сколота 7 в объединение его ядер, узлов ветвления и линейных тчастков.
Определение, Стр!7ктрриьпии элементами скелета о' будем называть ого ядра, узлы ветвления и линейные участки. Полезно разбить множество всех структурных элементов, отнеся их к следующим трем ганам, в зависимости от того, как данный структурный элемент соелпнястся с другими структурными элементами. Пазовом рсоро сколота Я, по которому пересекаются два различных структурных элемента этого скелета, рвброя крепления. Определение. Структурный элемент сколота Ь' пазовом концовы.и, соли оп содержит ровно одно рсоро крепления, сосдия|новльнылц если он сод~ ржнт ровно два ребра крепления, н, наконеп, элгжвнто,,и втпвления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
