Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Осталось заметить, что сслн д длина средней линии ячейки паркета, то змея У состоит из (ЛВ,ГЯ ячеек, а скелет Г нс менее чем нз б(-Г)Гд ячеек. !1усть теперь 6 не ковпевое ребро. Имеется две возможности: скелет Г, содержит отличное о г а концевое ребро змеи У или нет. В первом случае доказательство проводится точно так жс, как выше. Рассмотрим второй слу тай.
'1'огда к некоторым ребрам ячейки Лю отли тньгм от 6, примыкают ячейки скелета Г,. Добавим к оси Ярд скелета В средние линии ячеек з„ и Лм выходящие из точек Л и В, а также среднюю линию содержащей б концовой ячейки змеи Л, соединяющую точку В с серединой С концевого ребра этой ячейки. Ясно, что полученный граф, который мы обозначим через С,', связен.
Обозначим через "; путь в ~ рафе 6, соединяющий 4 и С, пересекающий каждую из Ь, и Ьь ровно по одной средней линии. '1ак как скелет В не содержит отличного от а концевого ребра змеи У, путь -Г включает среднюю линию СВ, а также некоторузо средшою линию из Лю 1',ели с(, как и вылив, длина средней линии ячейки паркета, то для завершения доказательства леммы остается показать, что длина пути э больше длины отрезка ЛС не менее чем на 2д. Покажем это. Спроектируем путь; на прямую, параллельную ЛВ.
Изина проекции произвольной средней линии, очевидно, равна с( или с(,Г2 в зависимости от того, параллельна ли эта средняя пипия отрезку ЛВ или пет. Отметим, что средние линии из Г, лежащие в содержащей 5 концевой ячейке змеи У и в ячейке Ью не параллельны АВ. С другой стороны, точка С является концевой для пути у, поэтому, существует сщс, по меньшей мере, две срелнис линии из Г, не параллельные ЛВ. 11оэтому, очевидно, копн тсство средних линий, из которых состоит путь ~, превосходит (АС(ГсГ не менее чем па 2. Лемма доказана. Вернемся к доказательству утверждения.
Предположим противное, т.е. число вращения построенного выше скеле гн Г болыпе пяти. Тог да на контуре скелета В имеется два ребра и и у, таких что 1ж(я, р) > 3. Ребра я и у нс могут одновременно лежать на контуре паркета Р, так как иначе число вращения между соответствующими этим ребрам грани пнями ребрами двойственного графа паркета В бьшо бы больше 5 как в паркете Г., так, значит, и в паркете Р.
Кроме того, как лез ко видеть, ребра и и у можно выбрать лежащими на одной связной компоненте контура паркета Г,, из которого выброшены а и 6. Пустгп для определенности, ребро я пе лежит на контуре паркета В. Рассмотрим максимальную змею У, лежшпую в У, начинающуюся на л и не пересекающуюся с единственной ячейкой из Г., примыкающей к я. Скелеты из Хлт Орели ребер из 1. только ребро л лежит па контуре эмсп ХХс так как.
в противном случае, в си.ту леммы 7.9, скелет Л ~е был бы минимальным. Поэтому змея з выходит на контур паркета Р. Далее, заметим, что сугцествует ровно две таких змеи зо оси которых образуют между собой угол в х)Ъ. Пусть и и т ребра двойственного графа Гт паркета 1., соответствующие ребрам л и тт. 1зассхтотрим путь в Гт,, соеднняющии и и гб и обозначим через 1.' подпаркет в 1., составленный из всех ячеек, по которым проходит этот путь. Ориеплпруем, как всегда, контур паркета А' по часовой стрелке, и рассмотрим путь Ч на этом контуре, идутпий пз л в у.
Из двух возможных змей ты выходящих из и, выберем ту, которая составляет с направлением первого ребра л пути уготт в лтсЗ. Эту змею обозначим через зб Пусть г концевое ребро контура змеи з,е, отличное от л. ,'1то ребро, очевидно, лежит на контуре паркета Р. Пусть и ребро двойственного графа змеи Лл.
еоответствутошсе =. Отметим, что число вращения между ис и и по ъто1тутгю не превосходит 1. Более тото, в силу выбора змея звс число вращения 1м (те, чл) > О. Пусть 1 = гттг, (гт, и), тогда, по прсдположсникт, 1 > 6. Ес.лп ребро у ЛЕтКИт Па КОНтурЕ ПарКСта Р, тО Чтт Чисс и) = ттл1ттт, и) + Чти(и, и) > 1 > 6. Противоречие. Пусть теперь у не ле ьит на контучзс паркета Р. Выпустим, по аналогии с тем, как мы это проделали для гс с ребра у ту максимальную содержашутося в Р змею ям которая яе содержит единственной ячейки пз 1,, стмежной с у, и направлена под углом 2яХЬ к направлению последнего ребра у пути Покажем, что пересечение змей з,'е и яю если таковое существует, не может содсржать ячейку паркета плоскости.
Дейсттттчтельтто, предположим противное. '1огда путь;, вместе с частями контуров змей з и ли, образует замкнутую вложенную ломаную ЛХ. Ориептирусм ломаную ЛХ так, чтобы движение по пути л происходило в положительном направлении. Отметим, что эта ориентапия совпадает с ориентацией против часовой стретпси. Пусть,'ч и У па шльная и конечная верпппгы пути д а с и с1 примыкающие к Х и К соответственно ребра ломаной йХ, ие лежащие нз;:. В силу выбора змей лл и зи, угол поворота при переходе с ребра с на в, а также с ребра у на су, равен йл1 бт.
Кроме того, угол поворота при движетши по пути т от л к у нс меньше чем л. Поэтому, в силу равенства 2л полного угла поворота при обходе замкнутой вложенной ломаной против часовой стрелки, угол при переходе от с1 к с отрицателен, т.е. внутрснни угол многоугольника ЛХ при точке пересечения робер с и с1 больше я. Поэтому змеи зм и збс необходимо пересекают паркет 1, по ребрам, отличны л от л и 11, что невозмоткно. '1'аким образом, змеи ХХт.
и з'л не имеют общих ячеек. По аналошчи с те з, как было проделано выше, можно показатть что число вращения зежду граничными ребрами двойственного графа паркета Л, соответствующими Скелеты из 7о л,«х,~з,к, ' ;С "' Д 7 Рис. 7.10: Этот скелет из Хй нельзя представить в вилс скелета из ИЗ1эб с полинаростами концовы л ребрам змей Л„.
и тч, болыпс или равно 6. Доказательство утвер- ждения закончено. Пусть Р линейный макроэлемент скелета Л из 7т Если Р перемычка, то обозначим через а и 6 ее ребра крепления. Пусть теперь Р некоторый концевой линейный участок из Р, и а его единственное ребро крепления. Если каневой элемент О, входящий в Р линеен, то возьмем его концевое ребро 6 и соединим а и 6 связным паркетом 7, состоящим из нани«ньшсго возможно! о числа ячеек, входящих в Р. Если сз концевое ядро, н с его ребро крепления, то в качестве 6 выберем произвольное ребро контура элемента сз, не смежное с ребром с. Из утверждения 7.10 вытекает.
что линейный макроэле лент Р может быть представлен в виде линсйного скелета из Иуш соединяющего а н 6, к которому лобавлено нскоторос число ячеек паркета плоскости, формирующих, вместе с ячейками этого линейного скелета, рассматриваемый макроэлемснт. Ясно, что в< с добавленные ячейки входят в ядра скелета В, и их связные компоненты в дальнейшем будут называться полвнароста,яи. Следствие 7.9 Рралсдый лин«йный направлен«нгп произвольно«о скслсош пз Хз«представляет собой зжею, лсстниау илп .южаную злою, на которую посазксно н«которое шсло полвнаростов.
Может возникнуть искушение представить в пслом произвольный скелет из Ро в виде об ьединения скелета из И7з и некоторого числа полинаростов. Однако, к сожалению, это представление в общем случае невозможно, как видно из примерз, приведенного яа рис. 7.10. Основное препятствие к существованию такого представления заключается в наличии ядер ветвления. Расположение наростов в паркетах из 7оз Рис. 7.11: Воззьшис псевдобоковины 6 Расположение наростов в паркетах из Рб на их скелетах В настоящем пункте мы опишем возможные расположения наростов паркетов из ХЭ на их скелетах.
Для этого нам придется обобщить понятие боковины контура на случай паркетов из 7т 6.1 Большие псевдобоковины Пусть Р произвольный сшыный односвязпый (как подмножество плоскости) паркет. Рассмотрим гранину 7 его выпуклой оболочки, и разобьем контур К паркета Р на компоненты следующим образом. Вьпсинсм из коззтура К все, что попало на 7.
Рассмотрим замыкание К полученного множества. Опроделенио. Связные компоненты множества К называются бо.и шззжи псевдобоковинажи. Вамыкания свяэпьзх компонент, па которые распадается контур после выбрасывания больших пссвлобоковин, назовем крайнижи зле иентани конизура. На ряс. 7.11 приведен пример разбиения коятург некоторого паркета на большие псевдобоковины и крайпис элементы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
