Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 77
Текст из файла (страница 77)
В самом дслс, пусть и произвольное ребро компоненты Сь + 1. Тогда, в силу леммы 7.10 и леммы 7.12, имеем: 1ю(Ьь, з) = !ю(Ьь, и) + 1к(и, з) < — 1 + О. Второе неравенство доказывается точно так же. Пусть Ом объединение паркетов 13, и П,, и пусть а и 6 пара произвольных ребер контура этого паркета, причем а лежит в перестроенная С„а Ь в перестроенной С,. Лемма 7.15 Имеет яесщог ри(а,6) < 2. Доказательство. Пусть а' обозначает или ребро а, если а лежит на контуре скелета Я, или, в противном случае, ребро контура скелета з', по которому кренится нарьнт, содержащий а.
Аналогично опрелелим ребро 6' контура скелета з'. Пустьн для определенности, ! < л, и предположим, что одна из компонент, скажем Сб относится к первому классу, а вторая, С,, ко второму. Пусть 6' ф а,. '1огда гк(аг,6) < 2 по условикн По лемме 7.14, вм(а', а ) < — 1, поэтому 1и(а', 6) < 1, п, значит, Ьи (а, 6) < 2.
Пусть теперь 6' = ак Тогда, по лемме 7.14, Ьи (а', Ь') = Ьк(а', аг) < — 1, поэтому, !и (а, 6) < 1. Случай, когда С, относится ко второму классу, а С, к первому, оазбирается точно так же. Пусть теперь С; и С принадлежат к первому классу. Тогда, по лемме 7.12, лк(а', 6') < О, откуда !и !а, 6) < 2. Общий список работ 1'ассмотрим, наконец, слу'саи, котла оос з оъспонснтзз С„п С з п1зззнядлсжат ко второму классу. Тогда, в силу леммы 7.14, имеем: съъ (а, 6) = съъ(а, 6 ) + 1ъъ-(6с, аз) + !и(аз, 6) < 2+ ( — 2) + 2 = 2, что и требовалось. Пусть а и 6 два произвольных ребра контура паркета Еб '!'огда существует 13, и 13ы такие что сс содержитсл в перестроенной Со а 6 в перестроенной С . 5!сне, что а и 6 лезкат на контуре паркета 11о, равного осзьединению паркетов 11, и 11,.
Рассмотрим путь 7' на контуре паркета Псу, соединяющисс а с 6, движение по котороъсу от а к 6 происходит в положительном направлении. Рассмотрим аналоги шый путь;:, лежщций на контуре паркета О. По лемме 2г1, 1и,сса, 6) = гъъ.„!ссс, 6). Позгому, по лемме 7.12, ьъъ (а, 6) < 2. Теперь предложение следует из предложеяия 7.6. 15оказате,зс,ство.
закончено. Таким образом, из прсл.ложсния о независимости канонических компонент вытекает, что для описанил возможного распололсеъсия наростов паркетов из 7з на их скелетах, достаточно описать возможное расположение наростов на одной канонической компонснтс. Из сказанного вышо непосредственно вытекает следующая теорема. Тоорома 7.2 (О расположении наростов) !!усть С каноническая конпоненспа конспура скелета Я порксспа Ез из 76. Тогда наросты зсаркета Р могут располагатьс» на С по следующим правила.я. (1) Если С крайзсяя ко,нпонента, то на расположение наростов па С накопия ограштений нет. сс2) Если жс С псеадойоковина, то наросты на ней .могут, бьипь расположены в соответсптие с теоремой укй славы 2.
Тсъс самым, полностью описаны паркеты из 7сь К сожалению, в случае паркетов из 'Ц пока не удалось доказать аналог теоремы 2Л о реалвсзации, тем не менее, она, по-пидимому, яьзеет место. Гипотеза 7.1 Дсзойсзпвсзнньсй граф произвольного паркета из 7у экссссса- ленпсен некоторой илоскои минимальной севси с выпуклой граниисйу Общий список работ [13] Ри Р.Л., Ниаггд Г.К., Л РгооГ оГ С!!Ьсг! Ро11а!с'в Соп!ссгигс оп 11гс Всегпег Кайо. В!МЛСВ '!ес1ппса! Керогй 1990, по. 90 72.
[14] Ри Р.У., Нисапу Г.К., Лп арргоасЬ Гог ргоь!п8 !оисг Ьоиггс!гс во!пйоп оГ С!!Ьсг! — Ро!!а!с'в Соп]ес!гггс оп ГЬе 8!сгпсг Кайо. Ргос оГ !Ье 31вг, аппиа1 вушр. оп Гоший оГ сошр. всгепсе, 1990. [15] Ри. Р.Х., Нггапд Г.К., С!гас К С., 8!ешег шпшпа! !гссв Гог рош!в ои а сггс1е. Ргос. Лтег. Лг!гъ!Ь.
Нос., 1985, ъо1. 95, по. 4, рр. 613 618. [16] Ри 21Е, Натшгд Г.К., !!геггд,1.1-'., 8!ешег шппша1 !геев Гог рот!в сгп а л8-ааб 1шсв. '!сапа. Лпгсг. МагЬ. Кос., 1983, ъо1. 278, по. 1, рр. 149 — 156. [17] Ри П.сГ., Нгваггд1.К., И'епд,l.Е, Я!е!ггег сшшта! !геев Гог Ке8и!аг Ро!утопи. Тг!вс. асгс! Сошр. Ссоше!гу, 1987, ъо1. 2, рр. 65 84. [18] Ри Р.Л., Ниаггд Г.К., 1'ао Е.Х, ТЬе 8!ешсг гайо сощессиге гв ггие Гог 0ъе рошйп,!.
СотЫп ТЬ., Нег. Л38, !98о, рр. 230 240. [19] Ри Р.У., Ниапу Г.1ъ., Ьопу С.Р., Тшу С. Т., 8!сшсг шшшш! !гсов оп вега оГ Гопг ропКв. !9!всг. ап4 Сотр. Ссотеггу, ! 98 с, ъо!. 2, рр. 40 ! — 414. [20] бассу .И.Н., УоЬпгпэп 115'., ТЬс сотр1схйу оГ сотрпгт8 Вгегпсг ппшгпа! !геев. 81ЛМ,,!. Л!8еЬга!сг!)густе!е МегЬосЬЬ 1977, ъо1. 32, 835 8о9. [2!] Сагид М.!2., СгаЬаш Н.1, .1сг1гггвсггг Р.К, Ноше гъгР-сгогсгр!е!е 8еоше!Пс ргоЫсгпв. Е!8ЬГЬ Ашша1 Вугпр.
оп ТЬеогу оГ Согприс., 1976, рр. 10 — 22. [22] Сг22гсг2 Н.К., Гъо22а1 Н.О., сКсшег шппша1 !гсов. 81АМ 3. Арр1. Ма!!г., ! 968, ъо1. 16, по. 1, рр. 1 29. [23] Нгрдебгатй К, Тг сгпЬа г1., 3!а!!гешайсв аггс! оргппа! Гогпг. Лп ппрйп! оГ Всгспййс Лтсйсап Воо!св, 1пс., Хсъь "гог!с, 1984. [24] Нигапд Г.К., Л !пгеаг гппе а!8оггйпп Гог ГЫ! 8!ешег !геев.
Орет. Кев. Ьсйег, 1986, ъо1. 5, рр. 235 237. [25] Ниапд Г.lъ., !!гспд,1.Гс, !!сха8огга! соогсГ!па!е Кув!ешв аггс! 8!с!ггег шппта1 !геев. !!!вс. Ма!Ь., 1986. ъ о1. 62, рр. 49 57. [26] Нигапу Г.Л., Нгс2гагс2ь Р., 8!сшсг Тгсе РгоЫсш. ВсН ЬаЬога!оггсв, Мпггауп Нг11, ъ~3, "!'ссЬтса! Метогапс1шп ! 989. [27! Пишгу 101ь., Нгсйпгс2в Р., грггг!ст Р., 'Пге 8!ешсгв '1гес РгоЬгеш.
Е1веъгег Вси псе РггЫ!вЬегв (!о аррсаг]. [28],1агпг! !с., Гъоьв2ег ЛХ., О пшпша1шсЬ 8гаГе!Ь оЬеаЬи]!с!с:Ь и Напцс1г Ьос1и. Сав. Ревг. Маг. а Рув., 1934, ъо!. 63, рр. 223 — 235. Общий список работ [29] Хъ тиара! Х.В., Оп ъЬс вЬоггсв! ярапттш8 виЫгес оХ а 8гарЬ атт4 1таъс!ш ва1евшап ргоЫеш. Ргос. Лшег. Л!аъЬ. Нос., 1956, ъо1. 7, рр. 48 50. [30] Хъ ийа П. !1'., Ясшег'я ргоЫсш геъ1в1сс1. 1п 6Ьс Ьоокй 8'ис11ея ш Ор1ншкаНоп, вег.
81псЬея ш Ма!Ь., ъо1. 10, МаХЬ. Аввос. Лшег., ес1Нес1 Ьу С'. В. !Эаитв!8 апс1 В. С. Еаъев, 1975, рр. 53 70. [31] ЛХсПай У.А., Оп 1Ьс ргоЫеш оХ 81ешсг. Сапас1. МатЬ. Ви>., 1960, ъо1. '1, рр. ИЗ И8. [:12] ЛХеПа1 тТА., Сопграшои 1о сопсге1е пъа11теша!йнаь %1!ау 1~ъвегясютсе, .ъХен Ъ"ог1с, 1973.
[33] Ройай П.О., Ноше гешагйв оп !Ье 81ешег ргоЫеш. 1. СошЬш. 'Т1~у., Нег. А24,1978, рр. 278 295. [34] Ргсрага1а Г., Вйагтто* ЛХ., Сошри! айопа1 Осошсггу. Ап ш1гот1исйоп. т1сьт 'т'ог1т, Врг|п8ег-рег1а8, 1985. [35] Ртгш В.С., ЯЬойсь1 соттпсс1ш8 по!стог!те апт! вошс 8спсга1твайопь. ВВТ,1, ! 957, ъо1.
36, рр. 1389 — 1401. [36] 11иЬпья1сш ХХХ., Т!~отав ПА., ТЬс 8!сшег т 11о сои!ссъитс Хог я1х рош1я. 3. СотпЬш. ТЬу., Вет. Л58, 1989, рр. 54 — 77. [37] ХйтЬтвЫп Х.П., 7Ьотив ХЛА., ОгаЬаш'я ргоЫеш оп я!тойев1 пе!иогйв Хог рош1я оп а стгс!е, А18огйЬппса. [38] Вибтя1ст,Х.ХХ., ТЛотпоя В.А., А ъапайопа! арргоасЬ 1о 1Ьс Вгсшст пс1- иог1с ргоЫеш. Апп. Орет. Кея., 1991, ъ.
33, 481 4119. [39] сйтпттоя ЛХ.Х., Сошрита1гопа1 Сеошеегу РЬ. Н. ТЬсятсп Норт. оХ Сошри1. Нет., 'т'а!с Вп1ъь, ! 978. [40] 11'. В. Яптт216 Пои то 6тн1 81ешег сшвнтта! 1геея ш Еис1н1еап тХ-враге. А18опттшса, 1992, 1ъ 7, р. 137 177. [41] ТЬоттшв 1Э.21., ВиЬтя1ст Х.ХХ., 6 о!с Т., ТЬе 81ешег пшшттв1 ттс1ъъог1т Хог сопъех соп68ига11оп, '!1те ипнп оХ Ме1Ьоигпе, 1)врат!.
оХ Ма1Ь., Кеяеагс!т герой, 1991, Ргерпп! 'ъ 15. [42] УасЬттать М., Епсу1т1орат11е т1ег Ма1ЬешайьсЬеп, %1явепвсЬаХтеп, ъо1. 1!1 А В9. [43] Впс.шчсс В.А. и дХь, 61скпии по теории графов. Мл Наука, 1990. [И] Дао 'Хонг Тли, Фогиенко А.Т., Минимальные поверхности н проолема Плато. Мл Наука, 1987.
Общий список работ [45] Фотиснко А.Т., Топосвсгичсские вариационныс задачи. Мз Изд-во МГУ, 1984. [46] Фо.иснко А. Т., Варнационные методы в топологии. Мл Наука, 1982. [47] Тулсилин А.А., Фо.нснко А.Т., Элсллеттты геометрии и топологии минимальных поверхностей. М л Наука, 1991. [48! 11аинос '1. О., Туттыыин А.А., Рсшшшс задачи П1тсйнсра длв выпуклых т ранив. Успехи хта тем. наук, 1990, т. 45, 2, с. 207 208. [49] ХХеаное А.О., Тужилин А.А., Задача П!тейнера длн выпуклых гранин илп плоскис миннмальныс сети. Матем. сб., 1991, т.
182, 12, с. 1813 1844. [о0] ХХеаное А.О., Тужи.тн А.А., Геометрия минимальных сетей и одномернав проблема Плато. Успехи матем. наук, 1992, т. !7, 2 [284), с. 1 1г [51] 1иипои г!.Г)., Тиг1тт1ттт А..4., ТЬс 8!с!ттег ргоЫсш Хог соиъсх Ьоипс!апсв, 1: йспсга! саве. Лбиапсев ш Воъйе! МатЬсшайся, 1903, во!. ! 5, рр. ! 5 — 92. [52] 1иаиои А.О., Тивйт!ттт .4.А.. Т!тс Вес!пег ргоЫсш Хог сопъсх Ьоппс1апев, Т!: !Ье гейтт!аг саве. Лс1ъапсеь тп Воътет ".ъ!а!!тетттат!св, 1993, ъо!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
