Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 74
Текст из файла (страница 74)
если он содержит трп и более робер крепления (сьь рис. 7.7). Отметим, что узел ветвления всегда яв.ляется элементом ветвления.,Чинейный участок, напротив, нс может быть элементом ветвления и всегда Описание паркетов общего вида ный каяяелай уэ Рис. 7.7: Структурные элементы является или концевым, или соединительным элементом. Ядра скелета могут попасть в любой из этих трех классов. Я,дра, являюшиеся элементами ветвления, будем называть лдгэалги ветвления.
4.7 Макрозлементы и концевые линейные участки ,1ля лногих наших дальнейших целей разбиение скелета на структурные ,элементы оказывается слшпком мелким. Поэтому мы построим разбиение скелета на более крупные компоненты, объединив воедино смсжныс структурпьгс элементы одного типа. Пусть, как и выше, Я произвольный скелет. Опроделенио. Связные компоненты, на которые распадается скелет .'э после выбрасывания из него всех элементов ветвления, назовем,гинейными макроэлс кента,ни скелета бэ'.
Связныс компоненты паркета, составленного из :э;гемептгш ветвления скеле:са э', назовем микроэлементами ветвления скелета ой Еоггтуром манроэлсменига скелета б' назовем пересечение контура скелета Я с этим макроэлементом. Таким образом, каждый скелет Я может быть представлен в виде объединения своих линейных макрозлемсптов н макроэлсмептов ветвления.
На рнс. 7.8 приведен пример такого представления. Построенное прсдстагэлснггс скелета в виде объединения его макро.элементов позволяет обобщить на с,гучай пронзгэольного скелета понятие концевого линейного участка, которое оказалось очень полезным для нас прн изучении деревянных скелетов. Определение. Линейнын макроэлемент скелета э', содержащий некоторый концевой стгэуктурный элемент этого скелета, назовем концевым линсйньгм цчисигном скелета Я. Вес остальные линейные ггакроэлемснты из 'э' будем называть перс„нычнами. Збб Скелеты из 7л 'Р / дух д Рис.
7.8; Линсйныс макроэлементы и макроэлсменты ветвления Ыы закончили описание 'элементарных кирпичсйп, из которых состоит пронзволып >й скелет. Перейдем теперь к более подробно лу изучению паркетов пз >ш Как и в случае И>7ш мы сна шла опишем устроиство скелетов паркетов из 7з, а затем возможные расположения наростов паркетов из Щ па их скелетах. 5 Скелеты из 'Гб Цель настоящего пункта описать более подробно устройство скелетов паркетов из 7э. Односвяэность этих паркетов, а такя,с условие на на число вращения двойственного графа, сказыва>отея весьма существенными ограничениями, что приводит к появлению у паркетов пз Ха мног>лх свойств, сходных со свойствами ранее изученных паркетов из И>7>ш Ца протяжении настоящего пункта все паркеты предполагаются связными. 5.1 Структурные элементы Пусть б> произвольный скелет иэ 7эе.
Тогда, поскольку!> односвнзсн, несложно пока>ать, что каждый его подпаркет, составленный из структурных,шементов, так>ко односвнзен. П>олее того, оказан>естся, структурные элементы скелета Ь могут стыковаться друг с другом лишь простейшим образом, а именно, имеет место следующее утверждение. 'Утверждение 7.9 .Чп>бь>е два струк>пурньст элсжшпаа скелшпс э' иэ 7л пересекап>шел не более чеж по одпажл ребру. Доказательство. Прсдполо>ким противное. Пусть в пересечении структурных элементов П> и Пз скелета Ь' содержатся различные ребра и и 6 скелета,5'.
Обозначим через К контур паркета Рн Тогда, очевидно, ребра а, и Ь содержатся в каждой из ломаных Кь Ес.>и ребра а и й не являются соседними хотя бы на одной из ломаных К;, то, как легко видеть, контур 337 Скелеты из 7о Рис. 7тп Паправлсния концевого линейного участка паркета Г, представляющего собой объединение структурных элементов Пх и Гз, состоит нз нескольких компонент связности. что противоречит односвязности паркета П. Если жс ребра и и й являются соседними на каждой из ломаных 7йх и 7йх, то их общая вершина А, очевидно, является внутренней вершиной скелета Я. Поэтому, все ячейки, примыкающие к Л, принадлежат некоторому ядру скелета Я, и пе могут поэтому принадлежать разным структурньхм элементам.
Доказательство закончено. Следствие 7.6 Бхп схелсхп Я не содсрлс|хт эас„иснпхое есххнхленпя, пли он п,.иеет не зынее трех концееыл,.хинейных яиастное. 5.2 Направления концевых линейных участков скелетов иа 7эх В настоящем разделе мы обобщим понятие направлении концевого линейного участка скелета па случай скелетов из 7~~ и докажем аналог прсдложеппя Ул11 главы 2 для случая скелетов из 7эо.
Пусть Я' скелет нз еэх, и й некоторый его концевой линейный участок. Обозначим через е единственное ребро крепления, входящее в Е,. Пусть 11 контур скелета,5, ориентированный по часовой стрелке, и пусть а и Ь последовательные ребра нз К, пересекаюпплеся с е и лежащие на контуре конпевох о линейного участка уо см. рис. 7.0. Обозначим через г, и у такис ребра контура концевого линейного участка А, что число вращения между а и х, а также между у и 6 максимально, т.е. выполнены следующие соотношения: Хин(У, й) = шах 1лкк(:,6), вжк(а,;х) = шах нкк(а, х), е глс максимумы берутся по всевозможным ребрам х контура концевое о ли- нейного участка А скелета хд Скелеты из 7о Рассмотрим па плоскости единичную окружность»1, которую будем нюыыать окруэкностью нанраьльний.
Каждая точка этой окружности соответствует, очевидно, некоторому направлению. Направлениям паркета плоскости соответствуют вершины правильного шестиугольника, вписапноьо в окружность направлений. Ориснтируем Н по часовой стрелке. Обозначим через Ль замкнутую дугу окружности направлений, начальная точка которой соответствует направлению ребра х, а коне щая направле(плю, противоположному направлению ребра у. Определение.
Направления паркета плоскости, попавшие па дугу Аь, бу- дем называть ньтравлсниллпи конченого линсиного участка Л скелета Я. Следующее предложение является непосредственным обобщением пречложеняя '2.11. Предложение 7.5 Пусть о' слтлст из Щ, и„псюяьпй хотя бы один элемент оса»влепил. Тогда среди нанравлений любых двух ссо конисьых линейных участков нет двух од~шаковььт. Доказательство.
Предположим противное. Пусть среди направлений концевых линейных участков Л~ и Л» скелета .э сеть совпадающие. Обозначим через К контур концевого линейного участка 1,. !огда, иэ определения направлений концевых линейных участков вытекает, что нвидутся такие ребра а, контура сколота, а, Е К, что угол поворота при движении от одноь о из них к другому по контуру скелета Я по часовой стрелке больше или равен к.
Но это противоречит следствшо 7.4. Доказательство закончено. 5.3 Коды скелетов из Х~ Пусть, как и вьппс, Н произвольный скелет из Щ'. Из предложения 7.5 немелленно вытекает Следствие 7.7 Скеле»а Н иэ Хэ игяесьа нс болье б капиевых линейных участ- ков, нс болье 4 .пакроэлсльенльоь всьаьлсния и нс болье 3 перс.мычск. По аналогии с тем, как это было сделано для скелетов из И7щ построим по каждому скелету Н пз сэ плоский граф а1Н), называемый кодо.м скелета .», объявив ребрами графа а(Н) линейные макроэлементы скелета с»', а внутренними вершинами а(5) макроэлсмснты вствлсвия.
Тогда имеет место следующий аналог следствия 2.0 главы 2. Следствие 7л8 Коды скелстоь из ро нредсьнавляюп~ собой ьссвоэжогкныс алоспис дсрсаьл нс более чс.п с итстью вор»минами стснсни 1. Скелеты нз уо 5.4 Полинаросты Оказывается, каждый линейный макроэлемепт скелета из кз можно представить в виде объединения некоторого линейного скелета Х из Ис1эз и некоторого числа, ячеек паркета плоскости, которые, вместе с ячейками из Х, формируют ядра, входящие в этот макроэлеыснт. Пусть 1д произвольный паркет из Щ, и пусть а и 6 два произвольных ребра его контура.
Рассмотрим связный полпаркет 1, в В, солержаший ребра а и 6 и состоящий из наименьшего возыожного числа ячеек. э'творжденио 7.10 Парксчп 1. ясляьтся линсйнььн екелтпож из Изоо. Доказательство. Покажем сначала, что паркет 1. деревянный. Дсйствигельно, если это не так, то рассмотрим полпаркет 1> в 1„соответствуюишй некоторому циклу двойственного графа Гь паркета й. Ясно, что нэ 1 можно выбросить одну нз ячеек, вхолящую в ьг и нс содержащую ребер а и 6, так чтобы оставппвйся паркет по-прелснему был связен. Этот новый паркет имеет ыепьшее чем паркет 1 число ячеек и снова со,лсржит а и 6, что противоречит выбору 1,. Покажем теперь,что А является скелетом.
В самом деле, сслн Х содержит нарост, то он имсст нс менее трех крайних ячеек. Выоерем из них ту, которая нс содсрзкит нп а, нн 6. Так как выбрасывание из паркета любой ого крайней ячейки нс нарушает связности этого паркета, выбранная крайняя ячейка может бьсть выброшена нэ 1., гго противоречит минимальности 1.. Докажем, что 1 лннссн. Пусть 1 содержит узел ветвления. Тогда А имеет, по меньшей мере, трн концевых линейных участка, и, следовательно, не менее трех концевых ячеек. Снова выбрасывая ту вз концевых ячеек, которая не содержит ни а, ни 6, получасы противоречие с мини лальностью паркета 1.
Осталось показать, сто 1. принадлежит И7ш /!ля этого наьл понадобится следующая лемма. Лемма Т.О 11уста б некоторая .зжся на сшркспьс плоскостщ и пустпь а концевое ребро сс контура, а 6 любое граничное ребро сс конпсоой ячейки, нс содержащей а. 1'асслсотризс цроизьольный линсйныи скелет 1., кошпйр которого содсрзкит ребра а и 6. Тогда количество ячеек с зжсс У нс прссосяодит количсстса ячеек а скслспьс 1, причем раьснспшо до~ тигастся сели и свально если з' = 1.. Доказатольство.
Пусть сначала 6 концевое ребро контура змеи У. Рассмотрим ось бр А скелета Те н добавим к ней тс средние линии содержащих а и Ь ячеек сз„и схь нз 1., которые выходят с середин сторон а н 6. Так перестроенную ось Вр Л обозначим через С". Ясно, что граф С связен. Пусть И н В середины рооер а и 6 соответственно. и пусть Л путь в С', Скелеты из ~~ 340 соединяющий Л и В и пересекающийся с каждой из ячеек з„и Ьь ровно по одной средней ливии. 'Гак как ось змеи 3 совпадает с отрезком АГ1, то длина Г(у) ломаной 3 больше или равна длине оси ЭРУ змеи У, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда э = 'ар 1Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
