Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Отметим, что, по определению, свя:шые компоненты множества Е З, у, отделенные одпозй точкой контура К, входят в одну и ту же большую псевдобоковззззу. С другой стороны, связные компоненты множес пззз К С у, представляющие собой язолироззанные точки, не включаются ~з мпозкество крайних:элементов контура К. Оказывается, имеет место аналог предложения 2.7. Прсдложонио 7.6 Пусть Р связный односвяэный поркшп, и 177з1 ,иножество всех его больших асевдобокоаин. Ориент ируеи контур Е паркета Р по часовой стрелке.
Тогда если Р Е ХУ, то для .иобых двух последовательных ребер а и зз произвольной большой исевдобоковины Вз иаесзп Расположение наростов в паркетах из 7о ьявсто: — 3 < ыч(а,Ь) < 2. Обршнно, ссьт для любых двух последованьельных ребер а и 6 ороиэоольноб бо ~ььаой оссьдобокооины В число вращснил мчк (а, 6) не превосходи т 2, т о П Е 7ш Доказательство. Пусть П Е Щ, и пусть а и 6 два произвольных последовательных ребра некоторой большой пссвдобоковнны Вь То, что Ььч(а,6) < 2, вытекает из следствия 7.4.
Далее, пусть оь начальяое, и 6; конечное ребра ломаной Вь '1огда, по определению больших пссвдобоковия, ьчч(а,,Ьь) > О. Поэтому, так как ыч(а,,Ь,) = Ри(о„а) + !и(а, 6) +1чч(6, 6„) > О, а, как мы установили, Ри(а;, а) < 2, и Ьи (6, 6;) < 2, имеем: Уи(сб 6) > — 3.
Обратно, пусть Мч(а, 6) < 2 для любых двух последовательных ребер произвольпоя большой псевдобоковипы Л,. Мы должны показать, что О Е 'Ло В силу следствия 7.4, для этого достаточно проверить, что — 8 < ьа (х, у) < 2. Пусть х и у лежат на одной В;. Прсдположимб что у следует за х при двиькснии по В, в положительном направлении. '1'огда, Мч(х,у) < 2 по условию. Пустьн как н выше, а„ первое, а через 6; последнее ребро ломаной В;. Так как Ььч(аб х) < 2 и би(у, 6;) < 2 по предположению, а Ри (а;, 6;) > О, имеем, в силу той же выкладки, что и выше, ри(х, у) > — 3, поэтому и подавно ьчч(х, у) > — 8. Пусть тепе!эь х следует за у. Так как би(у, х) + 1н(х, у) = — О, и, как было только что показано, — 3 < ььч(у, ь) < 2, имеем — 8 < !и(,с, у) < — 3. '1то и требовалось. Предположим теперь, что х и у лежат на разных больших пссвдобоковинах, скалссм, на Л; и Л .
Будем считать, ч го множество тьВь) последовательно занумеровано, и обозначим через С; крайний элемент контура Х, лежаший между Ль и Л,ьы гче номера больших псевдобоковин рассматриваются по модулю количества элементов в (Вь). Пусть с; начальное, и дь конечное ребра ломаной С,. "1огда, э — з Ьн(х,у) = Мч(х,Ь,) + ~~ (Вч(бь,аь~.~) + Ыч(аь ыбь~.~)) ь=~-ь1 + Бч(Ьэ ы ау) + Мч(а,, у). Но !и(Ьь, аьеь) < — 2, поскольку при движснии по контуру К углы поворота при переходе с 6ь на ломаную Сл и с Сь на аь ь~ нс превосходят — х(3, а угол поворота по ломаной Сь, лсжаьцей па грапнпе выпуклой оболочки, меньше или равен пулю.
Далее, все остальные слагаемые в этой формуле нс превосходят 2, поэтому: 1ьч(х,. у) < 2+ ~ ( — 2+ 2) + ( — 2) + 2 = 2. 346 Расположение наростов в паркетах из 7о Рис. 7.12: Иллюстрация к замечанию Так как 1н(л, у) + 1ъ (д, и) = — 6, и, как мы показали, 1н(г, у) ( 2, имеем: 1и(у, л) Ь вЂ” 8, что в силу произвольности к и у и завершает доказательство предложения. Замечание. Если бы мы определили большие псевдобоковияы как замыкания связных компонент множества Е 1, ~, то предложение 7,6 было бы яе верным, как видно из примера, приведенного на рис.
7.12. 6.2 Псевдобоковины Оказывается, каждую большую пссвдобоковину можно каноничсским образом разбить в объединение нс более чем трех ломаных, число вращения каждой из которых не превосходит двух. Ото разбиение позволит пам в дальне1ппем свести задачу о расположении наростов паркетов из 7з к результатам,полученным для паркетов из И9ш Пусть В произвольный паркет из Я, и В некоторая ос о большая пссвдобоковина. Ориентируем, как обычно, контур паркета!Э по часовой стрелке, и пусть а начальное и 6 конечное ребра ломаной В.
'!'огла, из сказанного выше вытекает, что 1н1а, 6) з О, т.е. можст принимать значения нлн 1,или 2. з'творждонио 7.11 11усть 1н(и,6) = 2. Тогди 1н В = 2, ьак число ерищ с и и я,л О м и и О й . Доказательство. Достаточно показать, что для двух произвольных последовательных ребер и и р из В число вращения 1н(я, у) больша или равно — 2. Действительно, если зто нс так, то 1п(и, и) + ск(л, у) + 1и(у, 6) < 1. Противоречие. Пусть теперь 1н1а, 6) = 1, и пре„шоложим, что на 11 сущее:твуют такие последоватсльныс ребра я и 66 что 1н(л, у) = — 3.
зй!! Расположение наростов в паркетах из 7а 'Утверждение 7.12 В сс1слаиимх только что прсдполозисиилг, гн(а.,с) = 2, !н(а, у) = — 1, и 1н(у,6) = 2. Доказатольство. Предположим противное. Так как Гн(а, 6) = 1и (а, з) + 1н(х, у) + !н(у, 6) = 1, то !н(у, 6) > 3. Противоречие. Последние два равенства очевидньь Пусть теперь существует ребро х из В, такое что ьн(а, -) = 2. Утверждение 7.13 В сделанных только что предположениях, ребро у следует за и 1н(х, у) = — 3.
Доказатольство. Покажем сначала, что у следует за к Если зто не так, то, в силу рсазснства !т(а, ') = 1н(а„х)+ Ьн(хз у) +М(у, ") = 2, н утверждения 7.12, получаем: 1и (у, я) = 3. Противоречие. 11так, у следует за з. Вычислим !ли(з, у). В силу утверждения 7.12, имеем: — ! = Ри(и, у) = Ьн(а, з) + ьн(х, у), следовательно.!н(з, у) = — 3. Пусть теперь супьествует ребро = из В, такое гго 1н(х, Ь) = 2. Утверждение 7.14 В сдс тниых только что предположениях, ребро х прсдеисстсуст з и гн(х, з) = — 3.
Доказательство. Ото доказывается ровно так же, как и утверждение 7.13. Пусть геперь х последнее яз ребер на В, для которых 1н(а,,с) = 2, и пусть у первое из робер на В, для каторгах гн(у,6) = 2. Из сказанного выше вытекает, что х предшествует у, и !н(х, у) = — 3. Обозначим часть ломаной В, сосдинягоп!ую а и х, через В„и назовем начальной,лавиной зжссй. Часть ломаной В, соединяющую у и 6, обозначим через Вь и назовем конечной ломаной з яссй. Далее, пусть у ломаная, составленная из ребер ломаной В, лежащих между:с и у.
Ломаную 7 назовсгя средней лсспьпиисй. Последнее называяие оправдывается следующим утверждением. Утвержденна 7.15 зрояаиая с нс пуста, и сс число вращения яс ирсеосходит 1. Доказатняьствсь Ломаная у не пуста, так как Си(х, у) = — 3, псютому х и у не могут быть соседними ребрами. Пусть и и с произвольная пара последовательных ребер нз у. В силу выбора х и у, имесот место сл дукьспис оценки: — 2 ( 1н(х., и) < — 1 -2 ~ !н(и, у) ( -1. В самом деле, если гн(х, и) = — 3, то Ьн(и. 6) = 2, позтому у не есть первое ребро. Если же !н(х, и) > О, то гн(х, и) = О (так как, в противном случае, 347 Расположение наростов в паркетах из 7ол 1гч1а, и) ) 2), и, значит, лл не последнее ребро.
Рассуждения дэя Рк1:гл, у) гголностьш аналогичны. Поэтому, так как — 3 = ьн1ле, у) =!и 1х, и) + М1гл, и) + М)гг, у), получаем 1н(гл, п)~ < 1, гто и требовгалось. Итак, доказано следующее предложение. Предложение 7.7 И.:лгл число враиления большой пссвдобоковнны не превосходит 2, и.ги эта большая псевдобоковина раэбиваетсл ггалгглничеглкглм образом на начальную ломаную змею, среднюю лесгпнииу и конечную ломанухл змею так, каь" бьшо описано вылив. Чглс.го вращения каждой иэ этих трех ломаньи гле превосходила 2. Определение.
Псевдобокоьина.ии паркг та 1д будем называть как его сшльшис пссвдобоковины с числом вращения не больше 2, так и начальные и коггечньгс ломапыс змеи и средние лестницы, получешгые при каноническом разложении больших псевдобоковин с числом вращения, равным 3. Итак, мы построили разбиение контура наркота из 7э на крайпис пименты и псевдобоковяны. Определение.
Крайние элементы контура и пссвдобоковины будем назы- вать каноничелгки.,ии компонента,ии контура. 6.3 Расположение наростов на скелетах паркетов из л.5' Оказывается, имеет место аналог предложения 2.14 главы 2. Предложенио 7л8 (О нозависимости канонических компонент) П11сгпь,б скелет из 7ш а С, канонические компонентьг его контугра.
Пусть 1)„паркегп. скелшп копгорого 1для некоторого разложения на снелл т, и наросплы) совпадает с Я, арине и .ино лхсстао Л, всех наростов паркепш П, крспшьшя к одной кононическоа колсаонтяге С, контура скелета Я. Прсдггологюим. чгпо каждый поркшп Т1л принад.можит '1ль Тогда паркепл 1Э, попргенньлй из Я присоединится всех наростов иэ .хногясесхгво Одь тсгкже ггринсгдллжипг 73. Доказательство.
Разобьем канонические компонегпы яа два класса: к первому из них отнесем крайние элементы и средние лестницы, а ко второму все остальные. Заметим, что компоненты этих двух классов гэбразугот на контуре чсрсдушщугося последовательность. Расположение наростов в паркетах из 7о Будем, как всегда, предполагать, что канонические компоненты занумерованы последовательно, причем номера рассматриваются по ходулю числа канонических компонент. Пусть а,„и 6, начальное и конечное ребра компоненты С,. Тогда, как легко видеть, 1н (6,, ось~) < — !. Пусть С; каноническая компонента первого класса, и х произвольное ее ребро. Ломма 7.10 Иьнеюпь,кесто следуюшие нериеснстео: !ж(6, ь, и) < — 1, !тн(х, и,ь~) < — !. Доказательство.
Возможны два случая: С„является крайним элементом или средней лестпипей. Рассмотрим первый из нпх. '!огла число врашения между любыми двумя последовательными ребрами нз С„мсныпе или равно О. Поэтому, тъ(6„ы х) = ыя(6, ы ц) + сж(а„, х) < — 1. Втьь!>ос нь1ьавспство доказывается точно так жс. Рассмотрим второй случай. Тогда С, ь и С,ьь соответственно начальная и конечная ломаныс змеи. В силу их максимальности, ря(а; ы.с) < 1, и гж(х, !Ь.ь~) < 1. '!епеРь доказательство леммы вытекает из то! о, что !н(а; ыЬ; ~) = 2, я 1н(аььыЬььь) = 2, а также аддитивности числа вращения.
Пусть теперь С, каноническая компонента второго класса, и х произвольное ее !эсбро. Лемма 7.11 Иясют .иссто следующие неуооенстао: РЯ(6, ь,х) < 1. ьж(х,аоы) < 1. Доказательство. Утверждение леммы непосредственно вытекает из того, что Ря(Ью а ьь) < — 1 для люоого у, неравенства Ря(а, Ь) < 2, имеюшего место для любых а и 6, в силу принадлежности Я классу ХЗ, и аддитивности числа вращения. Лемма 7.12 Лусгоь х и у оуоизьольньп ребро некоторых колтон(няь Г,, и С, пеусого ьлоссо. Тогда 1эя(:с, у) < О. Доказательство.
Если ! = 1, то лемма непосредственно вытекает из определений крайнеь о элемента и средней лестницы. Далее, предположим, для определенности, что ! < у'. Пусть сначала у' = !+ 2. Тош!а, в силу леьимы 7.10, леммы 7.11 и того, что о, ьз и у лежат па одяой компоненте первог о класса, имеем: РЯ(х, У) = БЯ(х, а,.ь,) + !ж(а, ьы а,ьз) + !ж(а,.ьз, У) < — 1+ ! + О = О. Общий случай получается из рассмотренного с помошью соображений ад- дитивности числа вращения. 340 Расположение наростов в паркетах из 7о Лемма 7.13 Пусть С, и С,, ироизеольнь~сг конионенты еторого класса.
и иустаь ! < 1'. 7огда си(6,, а ) < — 2. Доказательство. Пусть г произвольное ребро из компоненты Совы а у произвольное ребро из компоненты С, ь '!'огда, в силу леммы 7.10 и леммы 7.12, имеем: !к(6,, а ) = !и(16, и) +!в (и, у) +!и(у, а ) < — 1+ 0 — 1 = — 2, что и требовалось. Пусть снова С; каноническая компонента первого класса, и л произвольное се ребро. Лемма 7.14 Пусть Сь и С' дес нонпонени~м спаорого класса, причем 0 < 6 < ! < лй Тогда инеыт,веста слсдуяи1ие нераеенстеа: !ле(Ьь, и) < — 1, !ли(л, а ) < — 1. Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
