Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Поэтому, Ги(Ь, а) = Ги(у, х) — 3. По утверждению 7г1, Гн (о, 6) + ьъъ(6, а) = — б, откуда, используя косую симметрию числа вращения 1>ъ (у, х), получаем: Ьи (а, 6) + 3 = 1и(х, у). Утверждение доказано. Применяя утвсржденис 7.6 к двойственным комплексам тривиальных сотой, нмоюшнх выпуклую минимальную реализацию, получаем Следствие 7гй Чъгсло вращения трнгиальной сети Г нс превосходит пяти гпогдо и только тогда, когда для лисой пары а и 6 контура К ес двойственного коли>лексо спровед шоа следующая опенка> — 8 < гик (а, 6) < '2. 1,'ше ояно следствие из утверждения 7.6 будет нам полезно при доказательстве теоремы о паркетной реализации тривиальных сетей с непревосходящим пяти число л вращения. Следствие 7.5 Пуспгь К контур двойственного конплскса тривиальной сети, шсло вращения которой нг превосходит 5. Тогда на К гущгсппцип >покоя спгороно сб что — 7 < 1и(а, 6) < 1 для любой стороны 6 из конгп ура К.
Доказательство. Ориептируем, кзк всегда, контур К по часовой стрелке. Пусть х произвольная сторона контура Е. Обозначим через у первую, считая от х, сторону контура К, такую что Ги(х, у) > ъъъ(х, и) для каждой стороны и контура К, лежащей между у и х. Тогда выберем в капотне а следующую за у сторону из К, и покажем, что а искомая сторона. Прежде всего, отметим, что — 2 < !и (у, а) < О, а также — 2 < Гн(х, у) < 2. Последнее вытекает из того, что число вращения между х и следующим за ннм ребром не меньше чем — 2, и из определенна стороны у. Пусть 6 щ>оизвольная сторона контура К.
Покажем сначала, что ъъъ(а, 6) < !. Пусть Ь лежит между у и х. Тогда Гн(у, Ь) < О, так как, в силу выбора ребра у, и леем: 1>ж(х, 6) = гъъ(х, у) + 1и(у, Ь) < Гн (х, у). Далее, так как 1н(у,а) > — 2, з 1ъъ(у,Ь) < О, и Гъъ(и,6) = Гъъ(у.6) — 1ъъ(у,о), то ыъ(а,6) < 2. Пусть теперь 6 лежит между х и уи Тогда, тзк как Ги(х, у) = ыъ(х, 6) + 1>л (6, у) > — '2, и 1т(х, 6) < 2, имеем: 1>ъ(6, у) > — 4. /Галсе, так как Гж (у, а) > — 2, то ьи(6, о) = ыъ(6, у) +гв (у, а) > — б. Г!о Пх(6, а)+ьи(а, Ь) = — б, поэтому ьъъ(о,Ь) < О.
Покажем теперь, что гъч(о, 6) > — 7. Очевидно, для этого достаточно показать, что Пъ(6, а) < 1. Заметим, что для любо> о 6, отличного от а, сторона у лежит между 6 и а. Так как Гн(у, о) < О, а Ги(6, у) < 2, имеем 1и(6, а) = Ги(6, у) + 1ъя(у, а) < 1. Следствие доказано.
Двойственный комплекс Рис. 7.3: Ядра двойственного комплекса 2.2 Ядра двойственного комплекса Пусть о произвольный двумерный симплипиальпый комплекс, а ЛХ произвольное множество вершин симплексов из о'. Путь 7, составленный из сторон симплсксов комплекса о, оудсм называть путем во,иножсспшс М, если все вершины пути б принадлежат ЛХ. Множество М назовем связныж, сели каждые две вершины из ЛХ могут быть соединены путем во множестве М.
Максимальные по вклю сепию связные подмножества мпохссства М будем называть связны ни конпонснтани множество ЛХ. Опродс ление. Сижпяицнаяьноп оболочкой множества М называется совокупность всех симплексов комплекса, имеюшпх точки из ЛХ своими вершинами. Пусть о'(Г) двойственный комплекс тривиальной сети Г, и К его контур. Рассмотрим множество всех внутренних вершин комплекса о'1Г) и разобьем его на связные компоненты. Опроделенио. Симплициальные оболочки связных компонент множества внутренних вершин комплекса ч'(Г) называются ядрсьжи ко.нпясксо о'(Г) 1рис.
7.3). Пусть о произвольная сторона контура К. Опроделоние. Сторону а назовем ядерной, если о принадлежит некото- рому ядру. о"тверждение 7.6 Пуспьь Г п~риоиальная сеть, рк Г < 5, и арсдпояожиж, что доойспшь нный колтяскс о(Г) нс содержит кройнил сижпясксов. Х'авда на котпурс К коипяскса о(Г) сугцсствусьп ядерная сторона а, такая чпьо дяя .побой спсороны 6 из К имеет яетпо сясдувгцая оценка: Двойственный комплекс Доказательство.
Разобьем комплекс о(Г) на связные компоненты, выбросив из него все стороны разреза. Го~ да, в силу односвязностя, одна из его компонент содержит не более одной стороны разреза. Обозначим эту компоненту через 7. В силу отсутствия у комплекса 5(Г) крайних симплексов, компонента У является ядром. Пусть спа тала Я(Г) = э'. '1'огда утвсрхсдепис вытекает из следствия 7.5. Далее, пусть о(Г ) ф У. Обозначим через л единственнукь сторону разреза, принадлежащую,7. Пусть;: пересечение контура К комплекса ъ5(Г) с ядром,7.
Ориснтирусм контур ХГ по часовой стрелке, и пусть и первая, а и последняя стороны пути г '!'ак как у ядро, а л сторона некоторого симплскса Ь из l, то в э' входят шесть спмплсксов, иъъеъоших общей вершину симплекса Ь, не лежашую па я. Отскдла вытекает, что проверяется непосредственно, что 1ъъ(и, е) < — 4. Пусть у первая иэ сторон пути 7. таких что для всех сторон у' из 7.
следугоъпих за у, имеет место: 1ъъ)и, у) > Ьв )и, у'); пусть г последняя из сторон пути 7, таких что для всех сторон з' из 7, предншствующих з, имеет место: 1и(г, и) > 1и(г', е). Отметим, что, по определению у и г, имскът место неравенства: Ьъъ1и, у) > О, и ъъъ(-, е) > О. Покаъксм, что у предшествует . Предположим противное. '! огда имеем: 1в (и, е) = 1ъъ(и, з) +1ъъ(л, у) + Фъъ(у, е) < — 4, но 1ъъ(п, ) + ъъъ(жр) = ъъь(п,р) > О, поътоъъу Ьъъ(у,п) < — 4.
С другой стороны, 1,ъъ1г, р) + ыъ (р, и) = 1и (г, и) > О, следоватеш,но, М(з, у) > 4, что тъевозмоъкно в силу следствия 7.4. Покажем теперь, что между у и расположено не нулевое число сторон контъра. В ~~~~~ деле, так как Ьъъ )и, и) = 1ъъ (и, у) + 1ъъ! р, =) + гъъ)я, и) < — 4, а 1ъъ(п, у) > О, н М(з, е) > О, то 1ъъ(р, л) < — !. Однако, если у я соседние, то Ьъъ(у, з) > — 2, что н требовалось.
В качестве и возьмем первую из сторон пути 7, лсжащнх между д и ж Из определения у и г вытекает, что 1и (и, и] < гъъ (и, р), и Ьъъ-(п, е) < ъъъ~(г, е). Покажем, что а искомая сторона. Для этого достаточно щэоверить неравенства из условия утверждения. Пусть Ь произвольная сторона контура !ъС Если Ь не лежит на 7, то Въ (а, Ь) = 1ъъ 6ш и) + Ьв (ш 6) < ъъъ (ж и) + Ьъъ( н Ь) = 1ъъ ( г, 6) < 2. Поэтому, ъъъ (щ 6) < 1.
С другой стороны, М(6 а) = 1зя(6 и) + ыъ (~л, а) < ъъъ(6 и) +1ъъ (и, р) = Иъ(Ь у) < 2, огкуда Рк(Ь, а) < 1, и, так как 1и(Ь а)+Ьъъ(а, 6) = — б, имеем: Ьъъ(щ 6) > — 7. '!'аким образом, справедливость опенки установлена для любой стороны 6, не лежащей на 7. Паркетная реализация тривиальных сетей Если «кс 6 лежит па 7, то необходимая опсэ«ка вытекает из следствия 7.6 и следующей леммы.
Лемма 7.7 В сделанньм предполоэксниях, чис.«о вращения „незя ду о и 6 вдо„т контура 67 равно сиену враще«эия жеясду шпили сторонани вдоль контура ядра д. Доказательство. Если а предшествует 6, то утверждение лемм«л тривиально. Пусть теперь 6 предшествует а. Заметим, что,7, очевидно, является двойственным комплексом некоторой тривиальной сети, поэтому, лля контура ээ' комплекса д справедливо утверждение 7 4, т с. ьик 1а, 6)+рак (Ь, а) — 6. С друг ой стороны, ьж к-1а, 6) + геня (1«, ьэ) = — 6.
Кроме того, бжк (6, а) = бжк (6, а), откуда Рек(а, 6) = 1и ТС(а, 6), что и требовалось. Таким ооразом, утверждение 7.6 полностью доказано. 3 Паркетная реализация тривиальных сетей с числом вращения не более пяти '!еперь все готово, чтобы дока«зать теорему о пвркетноп реализации три- виальных остей, число вращения которых нс превосходит пяти. Теорема 7.1 (О паркетной реализации) г7лл каэкс1ой л«ривиальнои сеп«и Г с числом враим«нил, не преоосходлщи,и «мгпи, сущесвтует односвлгныб паркет, двобствснныб граф' которого эквивалентен Г, а контур представляет, собой вложсннут э«ожанут.
Доказательство. Пусть Ь1Г) лвойственный комплекс тривиал«п«ой сети Г. Лемма 7з8 Сущесэнвуст такой симплекс сь из э(Г), что аыбрасывацис. «з из колпяскса э(Г) пр«эводип«к синплиииальнону коли«лексу,'7', лвлльэщежуся двойствснныж колтчеьсож тривиальной сент, число вращения коэ««ороб «ш щэсеосход«т«з. Доказательство. 11зи у комплекса о(Г) существует крайний симплекс, или, в силу утверждения 7.6, существует ядерная сторона а на контуре 76 комплекса о(Г), такая что — 7 < 1к(а, 6) < 1 для «побой стороны 6 из и. Рассмотрэлм пер«эгяи случай.
Пусть «л крайпплй симплекс из с«(Г), и пусть э принадлежащее гх ребро разреза комплекса э(Г). Обозначим через Б' комплекс, полученный из Я(Г) отрезанием симплскса «л и~э стороне х. Ясно, что бр двойственный комплекс некоторой тривиальной сети 1 Е Пока«кем, число вращения сети Г' нс превосходит пяти. В самом деле, для Паркетная реализация тривиальных сетей 329 этого достаточно рассмотреть ребро е сети Г', соответствующее стороне г, явлшошееся. очевидно, граничным. и показать, что для любого граничного ребра Г сети Г' имеет место: ~ !и (е, Г) ~ < 5.,Чевствительно, если эч о не так, т.с. существует граничное ребро ! нз Г', пе удовлетворяющее неравенству, то между одним из г!эаничных ребер сети Г из симплекса сх п ребром ! число вращения, по хгодулю, больше 6. Противоречие.
Перейдем ко второму случаю. Пусть теперь Л симплекс из Ь(Г), содержащии ядерную сторону а. Пусть ж и д две отличных от а стороны симплскса з. Отрежем симплекс Л от комплекса 8(Г) по сторонам л и у. Так как симплекс Ь принадлежит ядру, полу тенпый в результате комплекс Ч' является связным и одпосвязным, поэтому. он представляет собой двойственнь~й комплекс некоторой тривиальной сети Г'. Покажем, что !жГ' < 5. Для этого достаточно рассмотреть ребра е и ! сети Г', соответствующие сторонам г и у, и показать, что модуль числа вращения между каждым из пих и произвольньгл граппчны л ребром д сети Г' пс и р с в о с ход ит пяти. Приведем выкладки для ребра е.
Пчсть д произвольное граничное ребро сети Г', и ~' путь в Г', соединяющий с и д. Если д совпадает с Г, то все очевидно. Пусть д ф Г. 1огда, рассмотрев путь у' как путь в Г н добавив к нему реоро 1ь соответствующее стороне а, получим., очевидно, некоторый путь 9 в Г. В силу выбора стороны и, число вращения между и и д по ходулю не превосходит 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
