Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Кроме того, если 1„прямая, проходящая через й, то прямая !" содержится в полосе ме.кду прямыми ! и 1ю Далее, пусть П" открьггая полуплоскосее, ограни ~синая прямой !", такая что концевое ребро концово~ о линейного участка Е' содержится в П". Очевидно, что! Г' С Пю Обозначи л через з длину концевого линейного у ~астка Е'. з!егко видеть, что в подув.юскости Пл лежит не менее [ /2]+! точек из М, инцидентных граничньгл ребра л концевого линейного участка Е' [а именно, все [=Х2] точек боковины концевого линейного участка Е', соответствующей обшей боковине концевых линсйных участков Е и Е', и одна концевая вершина конпевог о линейного участка Е'). Поэтому, ["/2]+ 1 < 2, откуда г < 3.
Предложение доказано. Рассмотрим боковины' Взз паркета В. Так как длина концевого линейного участка Ез равна 2, а, в силу предложения 6.7, длина боковины концевого линейного участка Ез, соответствующей Взз, не болыне 1, то длина боковины Взз пе больше 2. С другой стороны, в силу следствия 4.23 главы 4, длина боковины Взз не меньше чем [пЯ вЂ” 1. Отсюда [п,~11] < 3, другнмя словами, и < 23. Таким образом, паркет Х! не имеет минимальной реализации на правильном и-угольнике прн л > 24.
Пусть п < 23. В силу следствия 4.16 главы 4 длина боковины хвоста концевого линейного у ~летка Х,ы соответствукяпей Вш, не меныпе чем ~[в~3] — [п,112] — 2, позтому длина боковины Вез не меньше чем [пЯ вЂ” [и/12]+ Произвольныс паркеты с правильной границей 2. С другой стороны, в силу следствия 4.23 главы 4, длина боковины Вьз не больше чем [и/3], откуда [п/12] > 2, и, значит, п > 24. '1'аким образом, паркеты двух рассматриваемых типов нс имек1т минимальной реализации на правильном многоугольнике.
Рассмотрим теперь паркет Р, скелет которого изображен на рис 6.19 справа. Если д(Е1) = 1, т.е. на ребре поворота участка Е1 расположен нарост, то на участке Ез н на единственной ячейке участка Е:ь примыкающей к узлу ветвления, наростов пет. Позтому мы находимся в условиях предложения 6.6, с де Е = Ез, и Е' = Ез, откуда получаем, что паркет Р не имеет минимальной реализации на правильном многоугольнике. Пусть теперь д(Еь) = 6. Нам понадобится следующее обобщение предложения 6.7. Предложение 6.8 Пусть паркет 1) алеет. два концевых линейных учатпка — анси Е и Е', узол между напров ленками которых равен к/3. Пусть на участке Е наростов нет.
Обозначил через Вь ту бокотту скелета В паркета Р, катарин содержит боковину участка Е и не является оощсй боковиной участков 1 и Хс', а через Х) сооспветсспв1)югцую боковину пс~ркспьа Р. Прсдполож и.и, что Вс содержит ребро 6, параллельное направлению у тетка Е и не лежащее в боковине этого узастка. Пусть зз внутрсннлл лчсика из Р, к коиьорой крсплтсл участки Е и Е'.
Обозначим крез;Н вершину л ~ейки .з, ложами)ю на В, а через Лз веризину ребра 6, дальнюю шп Л1 вдоль Вв. Пусть х количссиьво ребер боковины В лемос!у Л1 и Лз. '1 оеда если Р имеет минимальную реализацию на правильном лноеоуеольникс, то длина концевой з,неи участка Е' не больше чсл 2:ив Доказательство. Пусть паркет Р имеет минцмальную реализацию Г на множестве М = (пц) вершин правильного многоугольника. Обозначим через й„ребро дерева Г, соответствующее 6.
Н силу сделанных предположений, йп параллельно отросткам участка Е. Пусть В' часть боковины В между точками А1 и Аз, и т„вершина из и!~1, соответствующая ребру из В', содержащему:1з. Обозначим через й концевое ребро из Г, а через тс конпевую вершину нз ЛХ, соответствующие участку Е. Пусть 6ы...,6в последовательные отростки участка Е, нумерашля которых порождается ориентацией участка Е от концевой ячейки. Пусть пц вершина из М, в которую приходит отросток йо Ясно, что между ьп, и т„лежит ровно х — 1 вершин из 1гХ, соответствующих ребрам боковины В, Проведем через т„и т„прямыс 1, и 1, параллельные отросткам участка Е. Обозначим через П„н П, открьггые полуплоскости, ограниченные соответственно прямыми 1ь и 1, и содержащие вершину тс.
Лсгко видеть, что в полуплоскости 11р не содержится вершин из М, не инцндентпых грани шым ребрам змеи Е. '!зк как между параллельными прямыми 1, и 1р Произвольныс паркеты с правильной границей 309 лежит ровно я — 1 вершин нз многоугольника М, то в полуплоскостн П, содержится самое большое л вершин из 24, не ипцидентпых граничным !зебрам змсп Е. Обозначим через 1п единственное ребро участка Е', принадлежащее внутренней ячейке 2Х, и через !п прямую, проходящую через й".
Легко видеть, что 1п и, значит, !", параллельны отросткам у дастка Е. Кроме того, прямая !и содержится в полосе между пряыыапл 1, и 1„. Далее, пусть Пп открытая полуплоскость, ограниченная прямой !", такая что концевое ребро участка Е' содержится в П". Очевидно, что Пп С П„. 21егко видеть, что в полуплоскости Пп лежит пе менее [:/2] + 1 точек из 21, инцидснтных граничным ребрам участка Е' [а и лепно, все [д/2] точек боковины участка Е', соответствующей обшей боковине участков Е и Е', и одна концевая вершина участка Е').
Поэтому, [д/2] + 1 < я, откуда - < 2л — 1. Предложение доказано. Из предложения 6.8 вытекае г, что в рассматриваемом случае длина концевого линейного участка Ез пс превосходит 2р' — К '1ак как, в силу следствия 6.2, р' = 2, то ллнна участка Ед не болшпе 3. П силу леммы !1л, длина концевого линейного участка Ез равна 2, поэтому длина боковины Взд равна 2.
С другой стороны, в силу следствия 4.'23 главы 4, длина боковины Взд ле.кит в пределах от [и/6] — 1 до [п/6], поэтому 12 < и < 23. /1алсс, так как индекс концевого линейного участка Ез равен 1, то, в силу следствия 4223 главы 4, длина боковишл Вш равна [п/3] — 1. С другой стороны, в силу следствия 4.16 главы 4, длина боковины хвоста участка Еы соответствуюшей Б,з, пе меньше чем [п/3] — [[п+ 6)/12] — 1. откуда длина боковины В1з нс меньше чем [п/3] — [[и+6)/12]+2. Поэтому имеет место неравенство [[и+6)/12] > 3, откуда и > 30. Таким образом рассматриваемый паркет не имеет минимальной реализации на правильном многоугольнике. Случай р[ч — — 2 полностью разобран.
Пустчь наконец, р' = 1. Обозначим через Л' ячейку из участка Еы смежную с узлом ветвления. Пусть сначала хотя бы одно нз чисел с![Е1), 4 н с!з равно нулю. Тогда, в силу леммы 6.о, длина боковины участка Е, с оотиетсгвуюшей В1з. пе больше 2, полому па участке Ед наростов нет. Если к ячейке а,' нарост не крепится, то. по предложения~ 6.6, паркет О нс имеет минимальной реализации на правильном многоугольнике. Пусть теперь к ячейке 2Х' крепится нарост. Тогда, в силу леммы 6.5, длина участка Ез равна 2, а в силу предложения 6.7, длина участка Ед нс превосходит 3, н, в 1астности, длина боковины Взд равна 2. Отсюда, как и выше, вытекает, что и < 23. С другой стороны, в силу следствия 4.16 главы 1, длина боковины участка Ед, соответствующей боковине Вш, не меньше чем [и/3] — [[и + 6+ бд[Е1))/12] — 1, откуда длина боковины Вы не меньше дем [и/3] — [[п + 6 + 61[ Е~))/12] + 2. Так как индекс концевого линейного участка Ез равен 1, осталось воспользоваться следствием 4.23 главы 4, и заключить, что длина боковины Вю равна [и/3] — 1.
Поэтому Произвольныс паркеты с правильной границей 310 и + б + бсср[Ел) > 36, откуда и > 2 1, и, значит, паркет Р пе имеет минимальной реализации на праввлыкэм лттто~ оугольнвке. Пусть теперь с)[Ет) = с5т = с!з = 1. Предположим сначала, к ячейке тас крепится нарост. '!'огда, в силу леммы 6.5, длина т боковины у тастка Ез, соответствующей Втз, не превосходит 2, поатому на участке Ез наростов нет. К!эо аг того, в силу предложения 6.7, длина участка Ез не превосходит 3. Поэтому длина ооковивы Вэа равна сл'+2 — шс1[Ез).
С другой стороны, в силу следствия 4.23 главы 1, длина бокотэвны Взз больше влв равна [тт,сб] — 1, откУда [ттсэб] < л'+ 3 — шс1[Ез). Без ограничения общности можно предполагать, что тпп излома концевого линейного участка Ет равен или 1, или 4. Пусть тип излома участка Ет равен 1. '1'сшда, в силу следствия 4.14 главы 4, длина боковины хвоста Участка Ет, соотвстствУюшсй Втз, не меньше чем [стсэ3] — [[и + 9),т!2] — 1, откуда длина боковины Вш нс меньше чем [тттсЗ] — [[и + 9)т12] + 1 + л'. С другой стороны, так как шс)[Ет ) = 1, в силу следствия 4.23 главы 4, длина боковины Вш равна [тт/3]+ шс)[Глз! — 2. Пози ому [ттсс3]+ шс![Ез) — 2 > [ттс3] — [[и+ 9)тэ12]+ 1+ л, т.с.
[[и+ 9)сс!2] >:л'+ 3 — шс![Ез). Если Я' = 1, то, очевидно, шс)[Ез) = 1, по.этому [[и+ 9)сэ12] > 3, откуда тс > 27. С другой стороны, [тэсс!5] < .е'+ 3 — 'тттс![Ез) = 3, откуда и < 2:5, противоречие. Пусть теттерь л' = 2. Если шс1[Гз) = 1, то [[тт+ 9)сс12] > 4, откуда и > 39. С друт ой стороны, [тттсб] < л'+ 3 — тттс![75з) = 4, откУда и < 30, пРотввоРечие. Если же шс1[Ез) = 2, то [[и+9)С12] > 3, откуда и > 27. С другой стороны, [иссб] < я'+3 — ш~![Ез) = 3, откуда и < 24,противоречие. Пусть теперь тип излома участка Ги равен 4. Тогда, в силу следствия 4.14 главы 4, длина боковины хвоста участка Ет, соответствующей Л, з, пе мепьпю тем [иээ'3] — [ттээ) 2] — 2, откуда длина боковины Втз пе меньше чем [ттсс3] — [ттст12]+ л .
С другой стороны, так как шс![Ет) = 2, в силу следствия 4.23 главы 4, длина боковины Втз равна [исэ3] — !. Позтоъту [птэЗ] — 1 > [ттээЗ] — [и(!2]+ г', т.с. [исс12] > ля+ 1. Ес:ш л' = 1, то [исс12] > 2, откУда и > 24. С дРУгой стороны, [иэ'6] < г'+ 3 — тпд[Е ) < 3, откуда и < 23, протвворе тие. Пусть теперь я' = 2. Тогда [ттээ12] > 3, откуда и > 36.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
