Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами (1097579), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Доказатольство. Пусть 11, семейство областей, зажатых между путями уч и 7 . Множества Ь'; представляют собой ограниченные связныс компоненты плоскости без путей уу и;з. Предположим сначала, что существует только очна такая область!5, = 13. Обозначим через б границу области П, являющуюсн, очевидно, циклом в Г. Обозначим через б, пересечение цикла б с путем уо Ориентируем пути ",; от а к Ь, что задаст нам орнентацик1 на ребрах из йв Имеет место следующая неслоькная техническая ле лма. Лемма 7.1 Пересечение 6; цикла Б с пупки 7, связав, тль является путсп.
Пути Б1 и бз пересекаются .лтиь по своии копцевы.я вершина я. Полее того, пусспь Х; первая, а У; последняя вершина пути б; при дштнепии в выбранпви ориентации. 7'огда Х1 = Хз, а Уч = Уз. Докажем теперь наше утверлсдение для случая, когда пути 1, ограничнвакж ровно одну область.
Лемкла 7.2 В сделвяных выше прсдполозкениях, утвсрзкдепис 7.3 и.иетп ,яссчпо. 'Г!и!впаянные сети Доказательство. Пусть х и у общие ребра путей 7! и уз, инцидентные Х = Х, и У = У, соответственно. Предположим для определенности, что ориентация цикла б против часовой стрелки согласована с ориентацией пути Бз. Пусть а, и 6с количества внспших и внутренних вершин шпсла Б соответственно, попавших внутрь пути Ьь Тогда, очевидно, число врапюния !и! между х и у при движении от первого из них ко второму вдоль пу"ги б! равно 2 — а! + Ьс, а чис.со вращения !!се между х и у при движении от х к у вдоль оз равно — 2 + а > — 6з. По утверждению 7.1, индекс цикла б равен б. Поэтому, (а! + аз + 21 (6! + Ьз): б, где двойка в этой формуле соответствует внешним вершинам Х и У никла б.
'1еперь ясно, что разность чисел вращения рж! и риз равна яулю,'1емьла доказана. В частности, если оси!асти !сс из леммы 7.2 представляет собой фундаментальную область тривиального цикла б, то будем говорить,что пути "с! получены друг из друга с!!шпож по циклу б. Следствио 7.1 Если ссуспь;з, совдиняющш! граничные ребра о и Ь сети Г. получен из пути у!, тактив соединяющего ребра а и 6, неко!порыл! сзслсспоя, то Ь!я.„(а, 6! = !и!и(а, 61. Лемма 7.3 Пусть 7! и уз дна пуп!и из Г, сосдиняющис граничные ребра а и Ь. Тогда путь уз ноэкст, быть полу шн из псппи у! посясссдоватс.,ььнььи, при.нснснис.,н некоторого количество сГ!я!спев. Доказательство. Пусть, как и выше, П! семейство областей, зажатых лсжДУ пУтЯми -с! и бю Лемма 7.4 Среди псриниольных циклощ чьи фунда.иск!ив!лань!с области содержатся в областях ! о существует такой цикл б, что его пересечение с путвж ц связно.
Доказательство. Предположим противное. Выберем произвольный фундаментальный цикл б', фундаментальная область которого содержится в некоторой области !!,. Связные компоненты пересечения никла б' с путем ус упорядочены в соответствие с ориентацией пути 7! от а к 6. Выберем из этих компонент лвс последовательные, и обозначим их через х и у. Пусть часть пути 1с, лежащая между х и у. Так как х и у последовательные связные компоненты, путь; не пуст и не содержит ребер из никла бс.
Кроме ! ого, х и у, очевидно, нс! смежны, поэ ! ему найде ! ся ! акой путь у, лежащий на цикле с!', что путь -!' вместе с путем 7, ограничивает область 317 !ривиальные сети Рнс. 7.1: П'> содержащуюся в объединении замыкании областей 1>, я не содержащую фундаментальную область цикла 6>.' Прн этом, путь, не содержит ребер из Ты так как> в противном случае, путь Тз должен был бы пересекать внутренность фундаментальной области цикла д', что невозможно (ель рис.
7.Ц. Рассмотрим теперь произвольный фун>дамептальный цикл бв, фундаментальная область которого содержится в области Г. Так как 7 нс содержит робер пути Ты связныс компоненты псрсссчения цикла он с,> лежат па оя. Повторив описанную выше процедуру, построим область 1>н> ограниченную свнзной частью пути ",' и путем, не имеющим общих ребер с При этом, область Пн будет содержать меныпее число фундамента;и; ных областей, чем область Г. Поэтому> при неограниченном продолжении этого процесса, мы, в некоторый момент, исчерпаем вге лножегтво фундамепталььпях областеи, попавьппх в П'. Однако, последнее противоречит тому, что на каясдом шаге, в силу нссвязности пересечения оче1>едного выбранного фундаментального цикла из Г г путем Ты множество фундаментальных ос>ластой, содержащихся в псрсстроснной области Г, не пусто.
Лгьлма доказана. Вернемся к доказательству леммы 7.3. В силу леммы 7>1, в одной из областей С'; содержится фундаментальный цикл о, пересечение которого с пУтем 7> свЯзпо. ПУсть б> = бОТз> а дн часть цикла д> не попавшаЯ на 7ы 1'ассмотРим пУть 7>з > полУченный из 71 'заменой Участка бч С Тз на Участок Ясно, что путь Т' получается из пути 71 флипом по пнклу б. Кроме того, общее число фундаментальных областей, зажатых между путями б~ и Тз> па с ДпницУ меньше, чем леждУ пУтами; > и 1з. ПРоДолжив этот пРопссг до тех пор, пока нс будет исчерпано множество всех фундазшнтгмзьных областей из объединения бы мы перестроим путь Тз в путь дь Лемма > Де»отннтЕЯЬНО, ССЯИ Э' ЦЕЛИКОМ СОДСР>янтСЯ В ЗаМЫКаНИИ Обааотн Ро тО Г Н б!о В противном случае, путь -," пересекает гранину области 1Д.
Тогда часть обяастп Г. нс попавшая в ь>,, огранич на участками границы обо к»и >>, и уча> >кеми пути т> С ш . Но>тому, Н сояержиг я в бееяппснии замыканий обяас>ей бо Двойственный комплекс доказана. 1еперь утверждение 7.3 вытекает из леммы 7.3 и следствия 7.1. Доказательство закончено. Утверждение 7.3 обосновывает корректность следующего определения. Определение.
'1ислож вра«ценил ««у«са, 6) пары !а, 6) граничных ребер тривиальной сети !' назовем число вршпения между зтими ребрами вдоль щобого пути, их соединяющего. Число,и вра«кения «ю Г тривиальной сет«л Г назовем максимум чисел вращения, по всевозможным парам граничных ребер сети Г: Ру Г = шахин(а, ««). !я,в« Дос.ювно повторив доказательство предложения 2.3 из «лавы 2, получим с:«едующий ««ажный 1«ез«>л«,та"«. Предложение 7.2 '1псло вращения плоской минимальной тривиальной сс- пси с аьтуклай границей нв превасходшл >«яти.
Используя прсдыдушес предложение, мы обобшим теорему 2.1 о паркетной реализации па слу «ай невырожлснных сетей с циклами. Последнее по.«волит наь«применить язык паркетов для описания нсвыро кдснных минимальных сетей, имеющих выпуклую мию«мальцук> реализацию. 2 Двойственный комплекс Пусть Г произвольная невырождснная плоская сеть П!тгйнсра, состоящая более чем из одного ребра. Построим по ней некоторый симплипиальпый комплекс следуюшим образом. Поставим в соответствие ка«кдой точке 1Птгйнсра А сети Г треугольник Т(Л). Буде л предполагать. что все зти треугольники расположены в той же плоскости, что и сеть Г. Фиксируем на плоскости некоторую ориснтапию.
Установим взаимно однозначное соответствие между сторонами каждсн о треугольника Т!А) и ребрами сети Г, инцидентными точке 1Птейнера А. При зтом будем предполагать, что построенное взаимно однозначное соответствие сохраняет циклические порядки па множествах сторон треугольника и ребер, и«п«идснтпых у!.з Орисптируем стороны всех треугольников в гоотвгтствии с положительным направлением обхода. Склеим симплипиальный комплекс о«Г) из треугольников Т(А), отождествляя тс и только тс нх стороны, которые соответствуют зУ каждой точки Штсйнсра .4 существует такая круговая окрестность «Д что пересечение се с сетью Г состоит из трех вложенных кривых участков ребер сети Г.
пнин дснтиых А, выходяп«их на гранину окрестности С и пересекающихся только в точке А. Ориентация плоскости задаст нам положительное направление обхода гранины ды окрестности ««и порождает, тем самым, пикличсский порядок на множестве ребер, инциде>ггных 4. «Х«>оме гого, ориентация плоскости задаст направюние о(>хода каждого греугольннка, и, значит, циклический порядок на множестве его рс б> р. 319 Двойственный комплекс о,лпим и тем жс ргбраы сети Г. Прп этом, сели Л У и Х'У' ориентированные стороны треугольников Т(А) и эг(А'), отвечающие одному н тому жс ребру АА' сети Г, то начало Х стороны ХУ склеивается с концом У' стороны Х'У', а конец У стороны ХУ с началом Х' стороны Х'У', т.с. стороны склеиваются с заменой ориентации.
Определение. Поспроенш,|й так симплипиальпый комплекс 9(Г) называется даайси|ьс ииы.и кажилсъсаж нсьырождсннон п.|оспой сети Штсйнера Г Отметим, тго, в силу связности сети Г, комп.лекс о(Г) также связен. Более того, по построению, к каждому 1-мсрному симплсксу комплекса ъ(Г) примыкает не полее лвух 2-мерных симплексов.
Поэтому, двойственньш комплекс п.лаской сети Штсйнсра представляет собой топало| ическую двумерную поверхность, с краем или без. Эта поверхность замкнута тогда н только тогла, когда степени всех вершин сети !' равны трем. Папомннм, что такие сети !1!тейцера называ|отся замкнутыми. По аналогии с тем, как ъпл это делали для паркетов, назовем сторону сиыплскса комплекса о'(Г) граничной, если она нс отождествляется ни с какими другими сторонами симплсксов этого комплекса. Вес остальные стороны симплсксов из о(Г) будем называть шп(трсиииии.
Внутрспшою сторону назовем стороной разреза, если комплекс о(Г) может быль представлен в виде двух связных подкоълплексов, склеенных по этоълу ребру. Определение. Контура.и комплекса о(Г) тривиальной сети Г будем на- зывать цикл, пора кдепный всеми граничными ребрами этого коълплекса. Далее, вершину симплскса из о'(Г) назовем граничной, сели она лежит на контуре К комплекса о(Г), и аиии|ргнигй в противном случае. Отметим, что внутреннее реоро симплекса из о(Г),является ребром разреза, если и только если обе его всрпппп| граничные. Наконец, симплекс комплекса ъ'(Г) назовем краина.и, если две его стороны лежат на контуре К комплекса о(Г), и анус реиииж, если ни одна из его сторон нс лс кит на К. В дальнейшем нам будет полезно следующее предложение. Предложениг 7.3 Даа|5стаенный ко,ишъскс 8(Г) триаиальнай сети Г апл- гииигтся па себе а то|сну.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
