Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 33
Текст из файла (страница 33)
С учётом того, что при переходе к распределению по величинеимпульса p надо учесть только положительные ni, ∆3p ⇒ 4πp2 ∆p/8.То же число состояний можно получить, считая ящик периодическипродолженным на все пространство и наложив условие периодичностина границах. Тогда здесь могут распространяться бегущие волны так,что на период приходится целое число волн n0i λ = L.
При этом числаn0i могут быть и положительными и отрицательными. Число возможныхквантовых состояний в интервале ∆3 p есть ∆N = 2L3∆3p/(2π~)3.Тот же ответ получается и с помощью квазиклассического приближения, согласно которому (5.28) на элемент ∆p∆q фазового объёма приходится ∆p∆q/(2π~) квантовых состояний.O В полярных координатах (dΩp – элемент телесного угла в пространстве импульсов) мы имеем dN и ρ(|p|):δN =V 2p2∆pdΩpV 8πp2 dp8πp2⇒⇒ρ(|p|)=.(2π~)3(2π~)3(2π~)3(13.21)♦ Для перехода к распределению по энергиям электронов√ (ν = E)выразим импульс через энергию, т.е.
положим в (13.21) p = 2mE; точнотак же для распределения по частотам фотонов (ν = ω) запишем p =~ω/c. Это дает (e – электроны, γ – фотоны)√√4π E(2m)3/24π E(2m)3/2dNe =dE → ρe (E) =;(13.22)(2π~)3(2π~)3ω 2 dωω2dNγ = 2 3 →ργ (ω) = 2 3 .(13.23)π cπ cДля небольших энергий влияние взаимодействия может быть большим и форма зависимости ρ(ν) изменяется.182Слабое периодическое внешнее поле.Рассмотрим переход в непрерывный спектр под действием слабого периодического возмущения (13.10). Поскольку обратные переходы редки,здесь не возникает резонансных условий, и теория возмущений (13.15)работает вне зависимости от частоты внешней силы.Перепишем ответ (13.15) в другой форме для случая, когда энергияконечного состояния выше энергии начального состояния, т.е.
принявωf i > 0,iEt/2eit/22i sin(t/2)2i sin(Et/2)∗ eaf i = −Ff i− Ff i;~~E = ωf i − ω, E = ωf i + ω .По общим формулам, вероятность переходаRwf i = [A1 + A2 + A3 ]ρ(Ef )dEf ,A2 = 2Re Ff2ie−2iωt sin t sin Et,~2esin2 (t/2),(~)2sin2(Et/2)A3 = |Ff i|2.(~E)2A1 = |Ff i |2С ростом времени t относительные величины слагаемых A2 и A3 уменьшаются, а вклад слагаемого A1 сосредотачивается во всё более узкойобласти || . 1/t. Скорость перехода (13.15) получается из этой вероятности делением на t и переходом t → ∞. После этого остаётся толькоквадрат первого слагаемого и интеграл по области, включающей состояние f , для которого ωf i = ω: 2Z Ff i 4 sin2 (t/2)rf i = limρ(Ef )dEf .t→∞~2 t∆EfМатематическая вставкаРассмотрим выражениеf (α) = lim f (α, t),t→∞sin2 αtf (α, t) =.πα2 tЗаметим, чтоf (α, t) →0t/πеслиесли183α 6= 0при t → ∞ .α→0Кроме того,R sin2 αt1 Rt sin2 ylimf (α, t)φ(α)dα ≡φ(α)dα =φ(y/t)dy2t→∞ −π −t y 2− πα t1 R∞ sin2 y→ φ(0)dy → φ(0) .π −∞ y 2RПоследний интеграл, несомненно, сходится.
Это - число, которое оказывается равным 1 (так подобран коэффициент). Таким образом, функцияf (α) обладает всеми свойствами δ–функции, т.е.sin2 αt= δ(α) .(13.24)f (α) = limt→∞ πα2 tВыполняя для rf i предельный переход с помощью полученного соотношения (13.24), найдём скорость перехода 2 Ff i Rrf i =ρ(Ef )dEf 2πδ(ωf i − ω)~∆E 2(13.25) Ff i = · 2π~ρ(Ef )|Ef =Ei +~ω .~Таким образом, в пределе t → ∞ должен выполняться закон сохранения энергии.
При конечных временах всё более существенными становятся другие значения энергии Ef 6= Ei + ~ω. Их характерный разбросувеличивается с уменьшением t в соответствии с соотношением неопределённостей ∆E∆t > ~/2.13.6.Испускание и поглощение излученияРассмотрим теперь процессы излучения электромагнитных волн и ихпоглощения. Последовательное изучение таких процессов составляет предмет квантовой электродинамики.Ниже мы обойдёмся без детального изучения динамики процесса, воспользовавшись приёмом, найденным мною в курсе Э.Ферми. Мы рассмотрим сначала переходы в поле электромагнитных волн с помощьюрезультатов предыдущего раздела, а потом вычислим вероятность излучения в отсутствие внешнего поля.• Поле излучения в полости.Запишем некоторые соотношения для электромагнитных волн в полости — газа фотонов (его тоже иногда называют излучением).184Электромагнитное поле в конечном объеме (например, в металлическом кубе) представляет собой набор стоячих волн.
Каждое из этих состояний можно отождествить с некоторым осциллятором, как мы делалиэто вводя фононы для описания колебаний кристаллической решетки.Мы говорим, что в системе есть n~k~e фотонов данного вида, если энергия соответствующего осциллятора есть ~ω(V n~k~e +1/2). Слагаемое ~ω/2описывает "нулевые колебания вакуума", оно отбрасывется с изменением начала отсчёта энергии. Записав V E 2(ω)/(8π) = ~ωn~k~e V , мы сноваприходим к соотношению (13.26).Для электромагнитной волны с волновым вектором ~k (с частотойω = kc) и поляризацией ~e энергия соответствующих фотонов есть =~ω ≡ ~kc, импульс ~p = ~~k.
Обозначим через n~k~e dω среднее число такихфотонов в единице объема и через U dω плотность энергии этих волнв интервале частот dω. Очевидно, эта плотность связана с плотностьючисла состояний ρ(ω) (13.23) соотношением U (ω)dω = ~ωn~k~eρ(ω)dω.Для газа излучения в полости в тепловом равновесии n~k~e не зависитот направления векторов ~k и ~e, поэтомуU (ω) = n~k~e~ω 3.π 2 c3(13.26)Та же плотность энергии выражается через амплитуду поля в волнеE~2(ω) + B~ 2(ω)E 2(ω)U (ω)dω =ρ(ω)dω =ρ(ω)dω.8π8π(Множитель 1/2 в последнем соотношении возник при усреднении величины cos2 (ωt − ~k~r) по времени.)13.6.1.Коэффициенты ЭйнштейнаРассмотрим атомную систему с двумя дискретными уровнями u и d(Ed < Eu).
Обозначим через N (u) и N (d) числа атомов в состояниях u иd соответственно. В этой системе переходы d → u происходят только поддействием внешнего поля (поля излучения), это – вынужденные переходы. В то же время переходы u → d могут происходить и под действиемполя излучения (вынужденные переходы) и самопроизвольно (спонтанные переходы).
Эйнштейн предложил записывать соответствующие скорости переходов (числа переходов в секунду) следующим образом.185Скорость вынужденных переходов d → u естьrd→ u N (d) = BduU (ωud )N (d).(13.27a)Скорость переходов u → d (вынужденных и спонтанных) естьru→ d N (u) = [Aud + Bud U (ωud)]N (u).(13.27b)Введённые здесь коэффициент поглощения Bdu , коэффициент вынужденного испускания Bud и коэффициент спонтанного испускания Aud называют коэффициентами Эйнштейна.Чтобы найти соотношения между этими коэффициентами, выразимплотность энергии через число фотонов газа излучения (13.26) и запишем отношение скоростей переходов в расчёте на один атом:~ω 3Bdu 2 3 n~k~erd→ uπ c=.(13.28)ru→ d~ω 3Aud + Bud 2 3 n~k~eπ cВ согласии с (4.12), для состояния поля с n фотонами данного типа матричный элемент излучения,√ т.е.
добавления еще одного фотона домно+жается на hn + 1|â |ni ∝ n + 1, а матричный элемент поглощения – на√hn−1|â|ni ∝ n. Поэтому вероятности излучения и поглощения связанысоотношением:wизлru→dn+1==.wпоглrd→unСравнивая с (13.28), получим соотношения Эйнштейна:~ω 3Bud = Bdu ,Aud == 2 3 · Bud ,(13.29)π cи ниже мы опускаем индексы ud и du у коэффициентов Эйнштейна.13.6.2.Вероятность излученияПусть на рассматриваемую атомную систему падает достаточно длинный пакет волн электромагнитного поля, в среднем поляризованныхвдоль оси z, с напряженностью электрического поля E и с частотой ω.Мы рассмотрим переходы между уровнями u и d атомной системы в полеэтого пакета.Считая нашу систему одноэлектронной, запишем возмущение в видеV (t) = eEz cos ωt.186Это — частный случай периодического возмущения (13.10) с F = eEz/2.Волновой пакет не строго монохроматичен, здесь есть разброс по частотам.
Поэтому выражение для скорости переходов в непрерывный спектр(13.25) применимо с минимальными изменениями для описания u ↔ dпереходов в поле этого пакета. В частности, вероятность перехода d → uесть (ср. (13.25)):2 ωud − ω2 22 4 sine E |zud |2·24~(ωud − ω)2te2 E 2|zud |2dΩdN ⇒ πtδ(ω−ω)ρ̄(ω)dω.ud2~24π(Здесь ρ̄(ω) — спектральная плотность для пакета.)Подставляя сюда E 2 = (8π)U , найдем4π 2e2dΩ2rd→ u =|z|·U(ω).udud~24πЗависимость матричного элемента zud от углов определяется множителем cos θ. Усреднение по углам для сферически симметричного распределения электрона в атоме дает поэтому множитель 1/3.
Окончательно,получаем скорость переходов с поглощением падающей (вынуждающей)волны на один атом в состоянии d (вероятность вынужденного излученияза единицу времени на один атом):4π 2e2h|~rud |2 i · U (ωud ).(13.30)23~Используя теперь (13.26) и (13.29), получим вероятность спонтанногоизлучения за единицу времени и интенсивность этого излучения I(ω) –среднюю энергию, излучаемую за секунду (последнее выражение практически совпадает с результатом классической электродинамики):rd→ u =2 44e2 ω 32спонт ~ω = 4e ω h|~r |2 i.
(13.31)h|~r|i;I(ω)=rudud3~c33c3(Для многоэлектронной системы e~rud переходит в матричный элементPдипольного моментаei~ri,ud = d~ud .)rспонт =13.6.3.Правила отбора для излученияМы рассматривали взаимодействие внешнего поля с электрическимдипольным моментом атома. В ответ входят матричные элементы, отвечающие электрическим дипольным переходам в атомной системе. Такие187переходы возможны не между любыми состояниями. Набор неисчезащихматричных элементов даётся правилами отбора для векторных операторов (разд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
