Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Такой видимеет и поле точечного заряда в плазме или металле с учётом экранирования ионами в плазме или из-за перераспределения зарядов в металле(см. вторую часть курса).Простое вычисление интеграла (14.15b) даётf (q) = −2mg.~2(q 2 + µ2 )Отсюда по общим формулам получается22mg4π(2mg)2dσ = 2 2d cos θdφ ⇒ σ = 4 2 2.~ (q + µ2 ) ~ µ (µ + 4k 2)14.2.3.(14.21)(14.22)Формула РезерфордаДля кулоновского поля V = −Ze2/r борновское приближение непосредственно неприменимо. Чтобы решить проблему, вспомним, что практически всегда хотя бы на очень больших расстояниях поле нашего кулоновского центра экранируется другими зарядами, т.е.
начинает убыватьс расстоянием значительно быстрее, и борновская теория начинает работать. Для имитации этого эффекта удобно использовать амплитуду(14.21), вычисленную для потенциала Юкавы (14.20).Переход к пределу µ → 0 даёт искомую амплитуду рассеяния но кулоновском центре. Получающееся дифференциальное сечение не зависитот направления сил (притяжение или отталкивание) и совпадает с классическим ответом22mZe2dσmZe2Z 2e4=≡.
(14.23)f (q) = 2 2 ⇒~qdΩ2p2 sin2 (θ/2)16E 2 sin4 (θ/2)Зависимость от знака взаимодействия появляется только в релятивистской теории рассеяния тождественных частиц или частиц на античастицах при учёте возможных процессов аннигиляции.203Надёжность использованной процедуры обеспечена тем, что деталиэкранирования (т.е. способ стремления µ к 0) не существенны при описании дифференциального сечения рассеяния на фиксированный угол.При переходе к очень малым углам возникает зависимость от деталейэкранирования, приводящая к формально бесконечному полному сечению при µ → 0.Приведём справочных целях также результат точного решения уравнения Шредингера, взятый из [1] (при µ = 0).
Из-за того, что кулоновское взаимодействие убывает с расстоянием слишком медленно, в этомслучае сходящаяся волна появляется не только из падающей, но и из рассеяния. В итоге взамен (14.2) при r → ∞ следует писать (a = ~2/(mZe2 ))f (θ) i(kr−ln(~q~r)/(ka)]iei[kz+ln(~q~r)/(ka)] +ψ = 1− 2 2e,(14.24)a k (~q~r)rа амплитуда рассеяния имеет видf (θ) = −1Γ(1 + i/(ka))×.2k 2a sin2 (θ/2) Γ(1 − i/(ka))(14.25)(Нередко в определение амплитуды включают зависящую от угла часть"расходящейся" волны).Получающееся отсюда выражение для сечения совпадает с результатом борновского приближения (14.23). Сильному изменению подвергласьв сравнении с этим приближением этом фаза волновой функции.14.2.4.Атомный формфакторПри упругом рассеянии электронов на атоме последний можно рассматривать как источник потенциала ϕ(~r), создаваемого средним распределением зарядов в атоме ρ(~r) = Zeδ(~r) − en(~r) (V = eϕ).
(Заметим,что распределение плотности зарядов в атоме, "наблюдаемое" электроном, меняется в зависимости от величины времени пролета электрона"через" атом – медленный электрон "видит" усредненное распределениеплотности, а быстрый – мгновенные положения других электронов, т.е.представление о не зависящей от времени плотности распределения зарядов перестаёт быть корректным. При усреднении по ансамблю пролетевших в разное время электронов для первого борновского приближенияэта зависимость исчезает, а уже для второго приближения это различиедолжно учитываться.)204Потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона ∆ϕ = −4πρ. Построим его фурье–образ, т.е.
умножим на ei~q~r и проинтегрируем по r. Тогдадля фурье–гармоник получается соотношение ϕq~ = 4πρq~/q 2. ПоэтомуZ2me2(14.26)f (~q) = − 2 2 F (~q), F (~q) = Z − d3re−i~q~r n(~r).~qФункцию F (~q) называют атомным формфактором. Рассмотрим асимптотики формфактора.♦ При qa 1 (малые углы) можно разложить экспоненту под интегралом (14.26) в рядZF (q) = Z − d3 rn(r)[1 − i~q~r + i2 (~q~r)2/2 + ...] .Первое слагаемое в ряду под интегралом даёт суммарный заряд электронов Z, и уничтожается с вкладом заряда ядра, второе слагаемое подинтегралом обращается в нуль в силу сферической симметрии;R 3 2 по той2 22же причине третий член имеет вид −q hr i/6, где hr i = d rr n(r). Витоге F (~q) = (q 2/6)hr2i.
Отсюда получается dσ/dΩ = (hr2 i/3aB )2.Таким образом, при рассеянии на атоме полное сечение конечно.♦ При qa 1, т.е. при θ (1/ka) быстро осциллирующий факторпод интегралом приводит к тому, что |Z − F | Z, т.е. электрон "видит"только ядро. При этом сечение совпадает с резерфордовским.2 Пример: рассеяние на атоме водорода в основном состоянии. Здесьn(r) = |ψ100(r)|2. Поэтому обозначая u = (qaB /2)2, имеем1F (q) = 1 −;(1 + u)2dσaB (1 + u/2)2=;dΩ(1 + u)47πaB e2σ=.6E2 Подобным же образом определяются формфакторы ядер и дажеэлементарных частиц, описывающие их внутреннюю структуру. В релятивистской задаче следует различать электрический и магнитный формфакторы.
Измерения формфакторов на ускорителях послужили важнымисточником современных представлений о структуре частиц и ядер.14.3.14.3.1.∗Фазовая теория рассеянияПарциальные амплитудыВ разд. 8.1 были найдены решения уравнения Шредингера (14.3) длясостояний с определенными значениями энергии и момента импульса.205Это — произведения радиальных волновых функций Rk` (r) на сферические гармоники Y`m (θ, ϕ) (8.2) с асимптотиками вида sin(kr − `π/2 + δ` ).В нашем случае граничное условие имеет другой вид (14.2). Разложимрешение задачи с этим граничным условием по решениям разд. 8.1 – посферическим гармоникам. Такое разложение особенно удобно для медленных частиц, когда фактически работает только несколько первых гармоник (см.
разд. 14.3.4). Область применимости такого описания частопростирается до довольно больших энергий. Это разложение оказывается также полезным при описании резонансов в рассеянии (разд. 14.3.6).В нашем случае волновая функция зависит лишь от r и θ, но не отϕ. Поэтому разложение этого решения по сферическим гармоникам (8.2)содержит лишь Y`0(θ, ϕ) ∝ P` (cos θ):Xψ(~r) =A`P` (cos θ)Rk`(r).(14.27)С другой стороны, это решение при больших r совпадает с (14.2).При этом амплитуда рассеяния не зависит от угла ϕ, т.е.
амплитудуf = f (E, θ) можно разложить по полиномам Лежандра (не прибегаяк присоединённым полиномам):∞Pf (θ) = (2` + 1)f`(E)P`(cos θ) ;`=0(14.28)Rπ1f`(E) = 2 sin θdθP` (cos θ)f (E, θ) .0Величины f` (E) называются парциальными амплитудами.В соответствии с (14.28) и (A.8), полное сечение упругого рассеянияσel ≡ σ складывается из парциальных сечений σ`:ZXσ = |f (θ)|2dΩ =σ`, σ` = 4π(2` + 1)|f`|2.(14.29)`=0Подобным же образом определяются и парциальные сечения для разных каналов неупругого рассеяния (см. ниже).
Проиллюстрируем это понятие в классической механике для рассеяния на твёрдом шаре радиуса R. Здесь ρ – прицельный параметр и (при` 1) момент импульса ~` = pρ = ~kρ. Отсюда прицельный параметр,отвечающий данному значению `, есть ρ` = `/k. Парциальное сечениеσ`(кл) определяется как площадь кольца между окружностями радиусовρ` и ρ`+1, т.е.
классическое парциальное сечениеσ`(кл) = π(ρ2`+1 − ρ2` ) =π(2` + 1)k2206(` ≤ kR) .(14.30)Имея экспериментальные данные по угловому распределению рассеянных частиц, можно найти отдельные парциальные сечения и относительные фазы амплитуд. Так, если в рассеянии представлены только s–и p– волны (` = 0, 1), то сечение имеет вид dσ = (|f0|2 + 6Re(f0∗f1) cos θ +9|f1|2 cos2 θ)dΩ. Процедуру извлечения парциальных волн из дифференциальных сечений называют фазовым анализом. При детальном анализе полезным является исследование парциальных амплитуд в зависимости от энергии во всей комплексной плоскости её значений.
Приведём некоторые результаты.♦ Парциальная амплитуда является аналитической функцией энергии во всей её комплексной плоскости с разрезом по действительной осипри E ≥ 0 и возможными полюсами при E < 0. Физическое значение амплитуды отвечает верхнему берегу разреза. (Следует из принципа причинности.)♦ Рассматривая в гл. 2 задачу о прямоугольной потенциальной яме,мы обнаружили связь между полюсами амплитуды рассеяния (2.23) иэнергиями связанных состояний (2.20). Это – частный случай общей теоремы: Вне положительной полуоси особенности парциальной амплитуды могут быть только плюсами при E < 0. Положения этих полюсов отвечают энергиям связанных состояний с данным значениеммомента импульса `.♦ Аналитическое продолжение парциальной амплитуды под разрез(на второй Риманов лист) может иметь полюса в точках Ei = Mi −iΓi /2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
