Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Такое явление имеетместо при прохождении поляризованных фотонов большой энергии черездостаточно плотный поляризованный лазерный сгусток, фотоны которого в этом случае можно считать мишенями (Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо).14.1.3.Уравнение Шредингера в интегральной формеОт дифференциального уравнения Шредингера (14.3) полезно перейти к интегральному уравнению.
Для этого запишем (14.3) в виде неоднородного уравнения ∆ψ + k 2 ψ = Φ(r), где Φ(r) = (2m/~2)V (r)ψ(r).Используя далее известную функцию Грина для оператора ∆ + k 2 и граничное условие (14.2), запишем решение в видеZik|bf r−r0 |ikz3 00 eψ(r) = e − (1/4π) d r Φ(r ).|r − r0 |Подставляя сюда выражение для Φ(r), находим интегральную формууравнения ШредингераZ0 ik|r−r0 |mikz3 0 V (r )eψ(r) = e −drψ(r0 ) .(14.12)202π~|r − r |При r a отличием |r − r0 | от r в знаменателе можно пренебречь.Для показателя экспоненты выпишем более аккуратное разложение и сучетом (14.1) найдемq0k|r − r | = k r2 − 2bf rr0 + r0 2 ' k(r − rr0 /r) = kr − k0 r0 .B итоге уравнение (14.12) переходит в соотношение (14.2) сZm03 0 −ik0 r0f (k, k ) = −dreV (r0)ψ(r0 ).(14.13)22π~♦ Далее для упрощения выкладок мы считаем всюду поле V (r) сферически симметричным.19814.2.Борновское приближениеПри решении задачи рассеяния часто используют борновскую теорию возмущений.
В этой теории потенциальная энергия рассматривается как возмущение. Если в общем случае теории возмущений, разд. 5.2,в качестве невозмущённой задачи можно было выбирать любую точнорешаемую задачу (невзирая на погрешности в определении параметровбазового гамильтониана), то в задаче рассеяния за невозмущённую следует принимать только задачу о свободном движении, которая почтивсегда реализуется на достаточно больших расстояниях от рассеивателя.Этот подход кажется естественным, если потенциал достаточно быстроубывает с расстоянием. При этом среднее значение потенциала по всемупространству обращается в нуль, в то время как среднее значение полнойэнергии совпадает со значением кинетической энергии частицы на бесконечности. Разумеется, это – грубые соображения, реальный критерийприменимости борновского приближения обсуждается ниже.Формально борновская теория возмущений подобна теории возмущений для стационарных состояний, разд. 5.2, она отвечает следующей последовательности действий.Положим V → εV и разложим волновую функцию в ряд по εψ = ψ (0) + εψ (1) + ...
+ εk ψ (k) + ...,ψ (0) = eikz .(14.14)Затем в уравнениях (14.3) (или (14.12)) приравняем вклады с одинаковыми степенями ε, и последовательно определим ψ (1) , ψ (2) , ... и соответствующие вклады в амплитуду рассеяния (14.13), а в конце перейдём к пределу ε → 1.• Чтобы получить амплитуду рассеяния в первом порядке (часто –просто борновское приближение), достаточно подставить под интеграл~(14.13) вместо ψ(~r) невозмущенную волновую функцию ψ (0) = eikz ≡ eik~r .Полученная амплитуда представляет собой Фурье–образ потенциала (сточностью до множителя) и зависит только от импульса передачи ~~q:m R 3 −i~q~rf (~k, ~k 0) ≡ f (q) = −d reV (~r) ,2π~2(14.15a)~q = ~k 0 − ~k, q = 2k sin(θ/2) .Переход к полярным координатам и интегрирование по углам даютZ∞2mf (q) = − 2V (r) sin(qr)rdr .(14.15b)~q0199Полученные соотношения показывают, что изучение амплитуды рассеяния с импульсом передачи ~q позволяет рассмотреть детали строенияпотенциала на расстояниях r ∼ 1/q.
Обсудим картину рассеяния, как она выглядит в этом приближении.♦ При небольших энергиях (медленные частицы), (ka 1) изменение фазы в области рассеивателя несущественно, под интегралом (14.15)можно положить eiqr ≈ 1 (или sin(qr) ≈ qr), и мы видим, что амплитуда не зависит(угловое распределение изотропно), f (q) = f0 ≡R то угла22−(8m/~ ) V (r)r dr.♦ При больших энергиях (быстрые частицы), (ka 1) и малых углах рассеяния (малых передачах) qa ≡ 2ka sin(θ/2) < 1 амплитуда имеетпримерно то же значение f0 , что и для медленных частиц.
С ростом углаθ (импульса передачи q) осцилляции экспоненты ei~q~r (или синуса sin(qr))под интегралами (14.15) гасят друг друга, и амплитуда быстро убывает.Таким образом, угловое распределение имеет пик шириной θ ∼ 1/(ka)вблизи направления вперёд и быстро убывает с ростом угла рассеяния. Борновское приближение хорошо описывает рассеяние, если вкладпоправки ψ (1) в амплитуду значительно меньше вклада невозмущённойфункции ψ (0) , или – что то же – в области действия потенциала (0) (1) (14.16)ψ ψ при r < a .Для конкретизации этой оценки мы будем считать, что потенциал V (r)сосредоточен в области r < a и исчезает при r ≥ a, его характерноезначение в области r < a мы обозначаем через V .Мы разберём отдельно случаи медленных и быстрых частиц.♦ Пусть импульс налетающей частицы невелик, так что ее длина волны больше характерных размеров рассеивателя ka 1.
В этом случаемы определим ψ (1) из интегрального уравнения (14.12). В области дей0ствия потенциала все экспоненты eikz , eik|r−r | можно положить равными1, и интеграл в выражении для ψ (1) есть ∼ 2πa2 V . При этом условие применимости приближения (14.16) принимает вид [m/(2π~2)]2πa2|V | 1,т.е. |V | Echar = ~2/2ma2 — среднее значение потенциальной энергиименьше кинетической энергии, обусловленной локализацией внутри размера a. Напомним, что это условие совпадает с условием отсутствияуровней (8.4) в поле притяжения.♦ Пусть теперь ka 1 (частица быстро "проходит через рассеиватель"). В этом случае функцию ψ (1) удобно оценить уже с помощью дифференциального уравнения (14.3) (∆+k 2 )ψ (1) = (2mV (r)/~2)eikz .
Его ре200шение удобно искать в виде ψ (1) = geikz . Для функции g это уравнениепринимает вид ∆g+2ik(∂g/∂z) = 2mV /~2 По условию, k – большая величина. Поэтому в левой части достаточно удержать только второеR слагаемое, Тогда наше уравнение легко решается, ψ (1) = −eikz (im/k~2) U dz ∼−eikz (im/k~2)V a. При этом условие применимости приближения (14.16)принимает вид V ~v/a, где скорость падающей частицы v = ~k/m.Иными словами, при больших переданных импульсах борновское приближение применимо, если неопределенность в энергии, связанная с конечностью времени пролета, больше энергии взаимодействия2.♦ Итак, критерий применимости борновского приближения есть(~2/(ma2) при qa 1,(14.17)|V (a)| ~v/aпри ka > qa 1.Подчеркнём, что типичной является ситуация, когда при больших энергиях борновское приближение справедливо для больших углов рассеянияи несправедливо при малых углах рассеяния.• Заметим, наконец, что в первом борновском приближении амплитуда рассеяния (14.15b) действительна.
Это означает, в частности, что вэтом приближении оптическая теорема не имеет смысла.Напомним, что амплитуда в первом борновском приближении ∝ ε.Следовательно, сечение, стоящее в правой части (14.11) ∝ ε2. Таким образом, для проверки оптической теоремы необходимо вычислить амплитуду по крайней мере во втором порядке по ε2 , т.е. во втором борновскомприближении.14.2.1.Конечность полного сечения• Напомним сначала смысл понятия сечения рассеяния в классической теории. Пусть на рассеивающий центр падает из бесконечностипоток частиц. Пусть частицы, имеющие прицельный параметр ρ (момент импульса L = mvρ), рассеиваются на угол θ = θкл .
ДифференциальноеR сечениеR рассеяния (dσ/dθ) sin θdθ = 2πρdρ, а полное сечениеσ = dσ = 2π ρdρ. (В сущности, это определение и было воспроизведено в квантовом случае выше.) Такое определение означает, чтополное сечение есть площадь той окружности в плоскости прицельныхПомимо того, условие ka 1 обеспечивает ещё и применимость квазиклассического рассмотрения даже если величина V (a) не мала по сравнению с Echar .2201параметров, в которой частица испытывает хоть какое–то рассеяние. Вбольшинстве классических задач мы имеем дело с полями, вызывающими отклонение (хотя бы и очень небольшое) на сколь угодно большихрасстояниях от рассеивателя, и полные сечения расходятся.Полезно оценить зависимость θкл (ρ) при больших ρ, когда действующая на частицу сила невелика.
При этом движение частицы – почти прямолинейное. Тогда продольный импульс частицы p ≡ pz можно считатьнеизменным, а поперечный импульс p⊥ определяется из второго законаНьютона через поперечную компоненту силы dp⊥ /dt = −dV (r)/dr·(ρ/r).Далее, dt = dz/v. Подставляя, находим приобретённый поперечный импульс и классический угол отклоненияp⊥кл = −⇒ θклρ R∞ 1 dV (r)1dz∼ V (ρ)v −∞ r drvp⊥V (ρ)V (ρ)=∼∼.ppvE(14.18)• В квантовом случае угол рассеяния, отвечающий прицельному параметру ρ, имеет неопределённость, доставляемую соотношением неопределённостей θquant.
Соответствующая неопределенность поперечного импульса ∆p⊥ ≥ ~/∆r⊥ > ~/ρ, и квантовая неопределенность угла отклонения есть θquant ∼ ∆p⊥/pz > (~/ρp).Пусть поле убывает с расстоянием быстрее, чем 1/r при r → ∞, т.е.rV (r) → 0 при r → ∞ .(14.19)(Это справедливо для ядерных сил, а также и для электростатическоговзаимодействия, если рассеиватель электрически нейтрален – атом илимолекула.) В этом случае при больших ρ, начиная с некоторого ρ0 , классический угол рассеяния становится меньше квантовой неопределённости этого угла θquant > θкл .
При этом рассеяние заметить невозможно.Поэтому полное сечение σ . πρ20 , т.е. конечно. Оценим еще поведение амплитуды для малых углов рассеяния вслучае, когда V (r) ∝ r−n при r → ∞. Для больших q применимо борновское приближение, и из (14.15a) получается f (q) ∝ q n−3 ∝ θn−3. Отсюдавидно, что дифференциальное сечение конечно при θ → 0, если n ≥ 3, аполное сечение конечно при n > 2.20214.2.2.Рассеяние на потенциале ЮкавыДля многих физических задач зависимость потенциальной энергии отрасстояния имеет видe−µr.(14.20)V (r) = grТакой вид имеет, например, затравочное ядерное взаимодействие (потенциал Юкавы), когда ~µ/c2 есть масса частицы – переносчика ядерных взаимодействий (π мезона) и 1/µ – радиус действия сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
