Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(13.9). Проинтегрируем выражение am(n) (13.7)при m 6= n по частям (до перехода к пределу t → ∞) и учтём, что вподстановке вклад на нижнем пределе исчезает ("до начала событий"возмущение отсутствовало):ZtZtiωmn t t0 iωmn t0V(t)edV(t)ei0mnmn0 iωmn t0 +Vmn (t )edt = −am(n) = −dt0 .0~~ωmndt~ωmn000Подставляя теперь в выражение для амплитуды перехода (13.6) найденные выражения для проэволюционировавшего вектора начальногосостояния |nV (t)i (13.8) и для базисного вектора конечного состояния(13.9), найдём при t → ∞ амплитуду переходаZ∞1dVmn iωmn tAmn =edt.(13.11)~ωmndt0O При медленном (адиабатическом) включении возмущения V (с характерным временем изменения T ) экспонента под интегралом множитсяна "почти постоянную" величину dV /dt, что дает для интеграла величину порядка 1/ωf iT . Иными словами, состояние системы не изменяется сточностью до поправок не более ∼ 1/(ωf iT )2.O При внезапном (быстром) включении возмущения изменения происходят за столь малое время ∆t, что eiωf i∆t = 1.
В итоге (ср. следующийраздел)wf i = |Vf i /(~ωf i)|2 .(13.12)13.3.Скачкообразное изменение гамильтонианаПусть гамильтониан меняется к новому значению Ĥf очень быстро,т.е. за время, малое по сравнению с периодами осцилляций между со177стоянием |ii и другими состояниями ~/|Ei − Ek |. (Примеры: Атом внутриконденсатора, быстро включается поле; β — распад ядра в атоме). В этомслучае ответ получается без предположения о слабости возмущения.
Параметром малости является величина ωf i∆t, определённая выше.При ωf i∆t 1 волновая функция не успевает измениться при изменении гамильтониана. Но далее она эволюционирует уже по закону, определяемому гамильтонианом Ĥf с собственными векторами |n; f i. Амплитуда перехода в одно из этих состояний есть hn; f |k; ii, а вероятность этогоперехода – wf n,ik = |hn; f |k; ii|2. В этом интеграле обе волновые функциивзяты в один момент – в момент изменения потенциала (t = 0).• Пример: Включение поля в осциллятореПусть заряженный осциллятор находится в основном состоянии |0i вотсутствие внешнего поля. В некоторый момент включается постоянноевнешнее поле E, т.е. постоянная сила F = eE, при этом к гамильтонианудобавляется слагаемое V = −xF .
Новый гамильтониан соответствуетосциллятору с той же частотой и со смещённым положением равновесияx → x − a, a = F/mω 2 (второй вариант конечных состояний)2. При этомψk;i (x) = ψk (x − a), где ψk (x) – хорошо известная волновая функцияосциллятора (4.18). Вычислим вероятность того, что система останетсяв основном состоянии w00, используя волновую функцию (4.17),2R2 −x2 /2x20 −(x−a)2 /2x20 ew00 = dxC e22 RR232 −(x−a/2)2 /x20 −a2 /4x20 2 −(x2 −xa+a2 /2)/x20 = dxC e = e−F /(2~mω ) .
= dxC eАналогичным образом вычисляется и вероятность перехода в n-ое состояние. Простые, но громоздкие вычисления показывают, что вероятностиперехода в состояния |n; f i распределены по закону Пуассона (4.25):un −uF2wn0 = e ,u=.(13.13)n!2~mω 3Видно, что при небольших значениях F вероятность возбуждения разных состояний быстро падает с ростом n, обычная теория возмущенийработает только при очень малых F .• Рассмотрите ещё один пример: удар по осциллятору, т.е. мгновенную передачу частице в осцилляторе некоторого импульса.Это означает также, что наше состояние— когерентное состояние но√вого гамильтониана (4.21) с α = a/(x0 2).
Для амплитуд перехода и вероятностей можно воспользоваться теперь результатами раздела 4.2, чтонемедленно даёт (13.13).217813.4.Периодическое возмущениеРассмотрим важный случай периодического возмущенияV̂ = F̂ e−iωt + Ĝeiωt ≡ F̂ e−iωt + F̂ + eiωt.(13.14)(Равенство Ĝ = F̂ + – следствие эрмитовости оператора V̂ ).
Нерезонансное возмущение.Рассмотрим сначала случай малого нерезонансного возмущения. Приэтом можно использовать теорию возмущений. Подставив (13.14) в (13.7),найдем (без учета начального условия)∗Fmn ei(ωmn −ω)t − 1Fnmei(ωmn +ω)t − 1am(n) (t) = δmn −−.(13.15)~(ωmn − ω)~(ωmn + ω)Это – решение в теории возмущений, оно справедливо только при |Fmn | ~|ωmn − ω|. Почти резонансное возмущениеТеория возмущений неприменима, если для какого то уровня m "расстройка" ≡ ωmn − ω близка к нулю, т.е. если возмущение почти резонансное. В этом случае следует решать уравнение (13.4) в совсем другомприближении, учитывая в первую очередь "резонирующие" уровни, а ужзатем остальные. "Резонирующие" уровни в таком случае следует учестьточно, а остальные учесть (если нужно) как малые возмущения.Для простоты будем считать, что "резонирует" только одна пара уровней, т.е.
нет других пар уровней a, b таких, что "расстройка"ωab −ω близка к 0. Тогда в уравнениях (13.4) остается только пара резонирующихуровней, и наша система уподобляется паре связанных классических осцилляторов под воздействием почти резонансной силы.
Главный вкладв переходы, содержащий малые частоты ≡ ωmn − ω, дается системойуравнений:i~dam(n)= Fmneit an(n) ;dti~dan(n)= Fmne−it am(n) .dt(13.16)Здесь учтено, что ωmn = −ωnm .Для решения этой системы подставим an(n) из первого уравнения вовторое и найдем2d2am(n)dam(n) Fmn− i+ 2 amn = 0.dt2dt~179pFmnОбозначив η =и Ω = 2 /4 + η 2 и используя начальное условие~ak(n) = δkn , получим теперь решение этого уравнения:iη it/2iam(n) = − esin Ωt; an(n) = cos Ωt +sin Ωt e−it/2 . (13.17a)Ω2Ω(Здесь матричный элемент Fmn считается действительным).
Полезно выписать такжеη2η222(13.17b)|am(n) | = 2 sin Ωt; |an(n) | = 1 − 2 sin2 Ωt.ΩΩПолученное решение означает, что система периодически с частотойΩ переходит из состояния |n0i в |m0i. – Появились биения, которые становятся тем полнее, чем мы ближе к резонансу – чем меньше .O Разумеется, это решение справедливо только если получившаясячастота биений Ω ω. Это условие, кроме требования ωmn , налагаеттакже и требование обычной теории возмущений |Fmn | ~ωmn.
Учёт отброшенных высокочастотных слагаемых (содержащих частоты ω ≈ ωmn , ω + ωmn) с an(n) и am(n) в уравнениях (13.16) лишь несущественно изменит картину. (Эти члены надо учитывать одновременнос вкладом остальных уровней.) Зато учёт переходов в другие состоянияприводит к уменьшению вероятности системе находиться в резонансныхсостояниях, это выглядит как затухание.
Поскольку число этих нерезонансных состояний бесконечно велико, через очень большое время система может совсем "уплыть" из резонирующих состояний. Наше рассмотрение справедливо для умеренно больших интервалов времени.213.5.Переходы в непрерывный спектрПерейдём теперь к задаче о переходе в непрерывный спектр под действием периодической внешней силы. Важным примером здесь являетсяфотоэффект — явление вылета электронов из атома (или другой системы) под действием света (периодического электромагнитного поля). Уэтой задачи есть две особенности.• Состояния непрерывного спектра не локализуются в какой–то конечной области, они соответствуют почти свободно движущимся частицам,которые уходят далеко от нашей системы и потому не могут в нее вернуться (электрон просто улетает от ядра, и не может быть захвачен им).Поэтому обратные переходы здесь не происходят, и биений не возникает.180• Конечных состояний с данной энергией много (например, при фотоэффекте электрон может вылететь в произвольном направлении).
Скоростьухода из начального (связанного) состояния домножается на число возможных конечных состояний. Для таких систем немного меняется постановка задачи.Вероятность перехода выражается через амплитуду перехода (13.6a)и плотность числа состояний соотношениемdwf i = |Af i|2 (ν)ρ(ν)dν .(13.18)Мы увидим, что эта вероятность растёт со временем.Далее предполагается, что в начальном состоянии находится многоодинаковых атомных систем, и изучается скорость переходов (их числона единицу времени)Zdwf irf i = limρ(νf )dνf .(13.19)t→∞tПри этом предполагается, что rf i · t 1 так, что число частиц, находящихся в начальном состоянии Ni за время наблюдения уменьшилосьнезначительно. При увеличении времени наблюдения следует записать,очевидно,dNi = −Ni rf idt ⇒ Ni = Ni0e−rf i · t .(13.20)Плотность числа состояний.В рассматриваемых задачах физический интерес представляют вероятности перехода не в одно состояние |f i, но в целую группу близкихсостояний.
Мы нумеруем эти состояния значком ν и интересуемся переходами в состояния, лежащие в интервале от ν до ν + dν. (Часто вкачестве ν используется энергия E). Обычно это число пропорционально объёму системы V . Обозначим через dN = V ρ(ν)dν число различныхконечных состояний системы, принадлежащих этому интервалу. Функцию ρ(ν) называют плотностью числа состояний по ν (приходящихсяна единицу объёма).Разберём случай, когда энергии частиц велики по сравнению с энергией взаимодействия V .
В этом случае бо́льшую часть времени частицапроводит в области, где V = 0, т.е. её движение — почти свободное. Здесьполезен следующий приём. Сначала всю систему заключают в большойкубический ящик со стороной L (объем V = L3) с непрозрачными стенками. В этом случае спектр состояний дискретен, и новые постановки181задач не нужны. Получив решение, переходят к пределу L → ∞ там,где это возможно.Для рассматриваемых состояний волновая функция частицы — стоячая волна ψ = A sin πnx x/L sin πny y/L sin πnz z/L. Соответствующийимпульс есть ~p = π~(nx, ny , nz )/L. Реализуются только положительныецелые значения nx, ny , nz .Количество целочисленных значений ni, при которых импульс попадает в интервал ∆3p (число возможных квантовых состояний в этоминтервале) равно ∆N = 2L3∆3 p/(π~)3 (множитель 2 связан с наличием двух спиновых состояний для электрона или двух поляризаций дляфотона).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
