Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 29
Текст из файла (страница 29)
в состояниис полным спином 0 правая часть равна 0. Поэтому можно записать11 при s = 1 ,+ 2~sˆ1~sˆ2 =−1 при s = 0 .2159Подставляя это равенство в (11.5), найдём удобную для дальнейшегоформу этого выраженияJhU i = Ã − 2J ~sˆ1~sˆ2 ,Ã = A −.(11.6)2Величину J называют обменным интегралом. Этот интеграл обычно на1 ÷ 2 порядка меньше кулоновской энергии (только из-за не очень сильного пространственного перекрытия волновых функций) – в отличие отвзаимодействий, связанных со спином через его магнитные свойства (последние дают энергии по крайней мере в α2 ∼ 10−4 раз меньше атомных).Именно такое — обменное — взаимодействие ответственно за ферромагнетизм кристаллов, которое представляет собой упорядочение спинов(т.е.
и магнитных моментов) атомов кристалла. Действительно, соотношение (11.5) показывает, что при J > 0 энергетически выгодно, чтобыспины выстраивались параллельно друг другу. В веществе это соответствует ферромагнитному упорядочению. Если J < 0, то энергетическивыгодно, чтобы соседние спины выстраивались антипараллельно другдругу. В веществе это соответствует антиферромагнитному упорядочению. В анизотропных кристаллах возникают и более сложные структуры. Подробнее ферромагнетизм обсуждается во второй части курса.Спиновое происхождение ферромагнетизма означает, что гиромагнитное отношение для вещества M/L должно быть вдвое больше своегоклассического значения.
Эйнштейн придумал опыт для проверки этогоутверждения. Он состоял в измерении момента импульса первоначальнонеподвижного диска в результате перемагничивания с периодом, равнымпериоду крутильных колебаний цилиндра. Такой опыт был впервые выполнен де Гаазом. Дальнейшие повторения подобных опытов подтвердили спиновое происхождение магнетизма.11.1.2.Понятие о вторичном квантованииПри изучении систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц применяют метод вторичного квантования. Такой подход особеннопродуктивен для описания систем с переменным числом частиц — в физике элементарных частиц и в физике твердого тела.Основные идеи этого подхода были развиты при описании осциллятора.
В этой задаче стационарное состояние осциллятора |ni может рассматриваться как состояние с n вибронами, которое получается из основного n–кратным действием оператора рождения b̂+ на основное со160стояние |0i. Это состояние полностью определяется заданием числа n иобщей фазой волновой функции. Ниже мы несколько видоизменяем этупостановку, сопоставляя отдельный гамильтониан каждой частице.Пусть гамильтониан системы можно представить в виде суммы одночастичных гамильтонианов Ĥ 1 (a), каждый из которых описывает состояния отдельной частицы a, и добавки, описывающей взаимодействие,XĤ =Ĥ 1 (a) + V̂ .(11.7)aПеренумеруем собственные состояния одночастичного гамильтониана Ĥ 1 числами 1, 2, ...
(Обычно помещают систему в конечный объём,чтобы использовать и дискретный спектр.)1 В пренебрежении взаимодействием, состояние системы однозначно определяется набором чиселзаполнения – чисел частиц, находящихся в каждом из состояний.Вторичным квантованием называется запись волновойфункции в представлении чисел заполнения N1, N2, ..., т.е.в виде таблицы значений этих чисел |Φi ≡ |N1 , N2, ...i.Переходы между различными состояниями в таком подходе описываются операторами рождения и уничтожения, как в задаче об осцилляторе. В случае бозе–частиц их матричные элементы имеют такой же вид,как и для осциллятора (4.12):√b̂i |N1, N2, ...Ni = n, ...i = n |N1 , N2, ...Ni = n − 1, ...i;√(11.8)b̂+|N,N,...N=n,...i=n+1|N,N,...N=n+1,...i.12i12iiВ частности, любое состояние можно получить действием необходимого числа операторов рождения на вакуумное (основное) состояние |0i(состояние, в котором нет частиц), N1 Nkp|N1, ...Nk , ...i = N1!...Nk !...
b̂+... b̂+...|0i .(11.9)1kПереход одной частицы из состояния "a" в состояние "b" описывается(с точностью до коэффициентов) оператором b̂+b b̂a ,b̂+b b̂a |..., Na = na , ..., Nb = nb , ...ip= (nb + 1)na |..., Na = na − 1, ..., Nb = nb + 1, ...i .По определению, операторы рождения и уничтожения, действующиена разные состояния, коммутируют друг с другом. Поэтому имеют местоМожно использовать и другой полный ортонормированный набор векторов состояний частицы, в этом случае формулы выглядят немного сложнее.1161естественные обобщения перестановочных соотношений (4.5)[b̂i, b̂+k ] = δik ,[b̂i, b̂k ] = 0 ,+[b̂+i , b̂k ] = 0 .(11.10)Для ферми–частиц числа заполнения Ni могут принимать только значения 0 и 1, и соответствующие операторы рождения и уничтоженияантикоммутируют (что гарантирует выполнение принципа Паули),++ ++ +âi â+k + âk âi = δik , âi âk + âk âi = âi âk + âk âi = 0 .(11.11)♦ При учёте взаимодействия числа заполнения начинают эволюционировать со временем, и эта эволюция описывается гамильтонианом,записанным в представлении вторичного квантования.Пусть взаимодействие V̂ в гамильтониане (11.7) складывается из энерP 2гий взаимодействия пар частиц2 V̂ =H (ab).
Здесь a и b обозначаюткоординаты частиц a и b.Обозначим через |ii собственные векторы одночастичного гамильтониана Ĥ 1 и через Ei соответствующие значения энергии так, чтоX1Ĥ =Ei |iihi| .(11.12a)В этом базисе оператор Ĥ 2 записывается в виде матрицы(2)Hii2 0 kk0 = hi|hi0 |Hab |ki|k 0 i).В представлении чисел заполнения нетрудно получить (подобно тому, как это делалось при описании разных операторов в энергетическомпредставлении для осциллятора)PPb+V̂≡Ei Ni + V̂ ,Ĥ = Ei1b+iiiP(11.12b)+0.V̂ =Hii2 0 kk0 b+bbb0kki ii,i0 ,k,k 0Подобные представления можно построить и для других операторов.В силу тождественности частиц операторы физических величин исчерпываются такими наборами.
Далее нередко переходят к операторам ψ̂ в q– представлении: (ср.обозначения разд. 1.3)XX+ψ̂(q) =b̂i hq|ii, ψ̂ (q) =b̂+(11.13)i hi|qii2iМожно рассмотреть таким же способом и трехчастичные члены и т.д.162Эти соотношения выглядят, как разложение волновой функции по базисуhq|ii, коэффициенты которого b̂ стали операторами.Если базис hq|ii — ортонормированный, то перестановочные соотношения (11.10) принимают вид[ψ̂(q), ψ̂(q 0 )] = 0,[ψ̂(q), ψ̂ +(q 0)] = δ(q − q 0 ).При этом взамен (11.12b) можно записатьRĤ1 = ψ̂ + (q)Ĥ (1)ψ̂(q)dq ;RĤ2 = ψ̂ + (q)ψ̂ +(q 0 )Ĥ (2) ψ̂(q 0 )ψ̂(q)dqdq 0 .(11.14)(11.15)Разумеется, подобные операторы должны быть введены для каждогосорта встречающихся частиц. Как отмечено выше, для спинорных частиц алгебра при этом немного другая.
Взаимодействие электронов с решёткой.В кристаллах за счет колебаний ионы смещены от положения равновесия, так что электроны движутся в потенциале, отличающемся отпериодического. Пока отклонения от положения равновесия невелики(т.е. число фононов мало), их можно описать как возмущения. Изменение энергии электрона из–за смещения иона от равновесного положения имеет вид −eρ(x)dU/dx∆x. Здесь U (x) – потенциал поля, создаваемого ионами, а ρ(x) = ψ ∗ (x)ψ(x) – плотность числа электроновв точке x.
Вблизи положения равновесия сила пропорциональна смещению, edU/dx = −F . В итоге, суммируя по всем ионам, получаемP ∗V =Fψ (xn)ψ(xn)∆xn.nВыполним разложение по собственным функциям оператора конечного сдвига — преобразование Фурье. Для смещений оно дается соотношениями (6.19), a для электронов – соотношениями (6.4). В методевторичного квантования коэффициенты последнего разложения приобретают смысл операторов рождения и уничтожения электронов. С учетом ортонормированности собственных функций оператора сдвига из выписанного выражения получается гамильтониан электрон—фононноговзаимодействия (Фрёлиха), где сумма берётся по всем значениям квазиимпульсов p и k, а up (x) – блоховская амплитуда (6.3)Pgpk++√V̂ =âp âp−k b̂k + b̂−k ,kp,k N MωR(11.16)gpk = Fup(x)up−k (x)dx .cell163(Последний интеграл берется по элементарной ячейке.)Такой гамильтониан широко используется при описании процессов вкристаллах.
В частности, в середине 50-х г.г. при экспериментальном исследовании сверхпроводимости был обнаружен изотопический эффект –зависимость температуры сверхпроводящего перехода от массы иона. Всоответствии с (11.16), это послужило основой для понимания того факта, что сверхпроводимость обусловлена электрон—фононным взаимодействием. Вскоре после этого и была построена теория сверхпроводимости.11.2.Задачи1.
Покажите, что независимо от величины спина каждой из пары частиц координатная волновая функция симметрична при чётном суммарном спине и антисимметрична при нечётном суммарном спине.2. Найти энергетический спектр системы из двух тождественных частиц с потенциалом взаимодействия U = k(~r1 − ~r2 )2/2 при различных значениях полного спина системы, считая частицы1. бесспиновыми,2. имеющими спин 1/2 (электронами),3. имеющими спин 1.4. Два фермиона помещены в поле kx2i /2 и взаимодействуют по законуbx1x2. В 1-м порядке теории возмущений найти поправки к 4 низшим уровням в состояниях с различным полным спином. Сравнитьс точным решением.5. Две частицы в параллелепипеде с рёбрами a, b, c взаимодействуютпо закону U = U0 δ(r̄1 − r̄2).
Найти поправки 1-го порядка к энергиямдвух нижних состояний, считая частицы1. различными (рассмотреть случаи равных и неравных масс);2. тождественными со спином 0;3. тождественными со спином 1/2.В последнем случае определить вероятность того, что обе частицынаходятся в левой половине объема при заданном полном спине s.4. Найти собственные значения и собственные векторы операторов, построенных для двух осцилляторов:++++B̂ = b̂1 b̂2 + b̂2 b̂1, Ĉ = i b̂1b̂2 − b̂2b̂1 .164Глава 12АТОМЫ И МОЛЕКУЛЫ.Рассматриваются начальные элементы физики атомов и молекул.12.1.АтомЭлектронные конфигурации в атоме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
