Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Тогда (при φ = 0)ного выше: AĤ =p̂2z2m+p̂2x2m+exB 2)c+ µσz B.2m(p̂y −Мы видим, что [Ĥ, p̂z ] = [Ĥ, p̂y] = 0. Поэтому pz и py сохраняются.ypy + zpzИщем теперь ψ в виде exp iφ(x). Тогда в Гамильтонане~уравнения Шредингера для функции φ(x) операторы p̂z и p̂y заменяютсяна числа pz и py , т.е. это уравнение принимает видp̂2xmωB2 (x − x0)2p2φ(x) +φ(x) = (E − µB σz B − z )φ(x) ,2m22mгде ωB = eB/(mc) и x0 = cpy /(eB).142Это уравнение по форме совпадает с уравнением Шредингера дляосциллятора с частотой ωB (и с положением минимума x0).

Поэтомуэнергии уровней таковы (уровни Ландау):E = ~ωB (n + 1/2 + σz ) + p2z /2m ,σz = ±1.(9.12)2 Полученные уровни бесконечнократно вырождены по py даже прификсированном продольном импульсе pz . Однако, кратность вырождения становится конечной для движения, ограниченного конечной площадью S = XY . Ограничение возникает из требования, чтобы центрорбиты помещался в нашей площадке.Напомним, что операторы координат центра орбиты x̂c = x̂ + v̂y /ωB ,ŷc = ŷ−v̂x/ωB по отдельности сохраняются, (но не одновременно – они некоммутируют друг с другом) – см. задачу 3.8. В частности, x–координатуцентра орбиты определяет введённая выше величина x0.Мы рассмотрим случай, когда оба размера велики по сравнению срадиусом орбиты, и можно использовать квазиклассические оценки. Всоответствии с (5.28), число различных значений py в интервале ∆pyравно ∆py Y /(2π~).

Из условия, что центр орбиты лежит внутри нашейобласти, 0 < x0 < X, получается ∆py = eBX/c. В итоге при заданныхn и pz кратность вырождения (число состояний) естьg = eBS/(2π~c) .(9.13) При переходе к другой форме (калибровке) векторного потенциала получаются те же собственные значения энергии, но с другим набором собственных функций. В частности, полезно описать решение тойже задачи в цилиндрических координатах (ρ, φ, z) и для случая, когда электрон обладает определённым значением ~m проекциимомента импульса на ось z. Для этого удобно использовать вектор–~ = [B,~ ~r]/2 = (Aρ, Aφ, Az ) ≡ (0, Bρ/2, 0).

При этомпотенциал в виде A√можно выполнить разделение переменных ψ = eimφ+ipz z/~ R(ρ)/ 2π, иуравнение Шредингера для функции R(ρ) принимает вид (ниже мы обозначаем массу электрона через M и не выписываем спиновый вклад)"2 #221 0 m2ME pz mMωBMωB00R + R − 2 R+−−−ρR = 0.ρρ~2~2~2~2MωBE − p2z /2M mВведя переменную ξ =ρ и обозначая β =−,2~~ωB2перепишем это уравнение в виде000ξR + R + [−ξ/4 + β − m2 /(4ξ)]R = 0 .143Нетрудно установить, что R → e−ξ/2 при ξ → ∞, а при ξ → 0 получается R → ξ |m|/2.

Поэтому удобно искать решение в виде R(ξ) =e−xi/2ξ |m|/2w(ξ). Для функции w(ξ) получается уравнение, которое решается с помощью разложения в ряд по той схеме, которая была использована в разд. 8.3 для атома водорода. При произвольном значенииβ волновая функция растёт при ξ → ∞ как eξ/2 . Чтобы получить нормируемое решение с убывающей при ξ → ∞ асимптотикой, надо наложитьусловие β − (|m| + 1)/2 = nρ ≥ 0 – целое. При этом уровни энергиидаются формулой (ср. (9.12))|m| + m + 1p2zE = ~ωB nρ ++ σz +.(9.14)22MЗдесь обсуждавшееся выше вырождение выглядит как независимость отm при m < 0 и как независимость от m при фиксированной величинеnρ + m и при m > 0.9.2.4.Движение спина в магнитном полеУравнение движения спина электрона в магнитном поле (с учётомперестановочных соотношений (9.1)) имеет видd~s~ = −2iµB ~s × B~= [~s, Ĥ] ≡ −i~µs × BdtВспомним теперь уравнение для скорости электрона в однородном~ решение которого хорошо известмагнитном поле d~v /dt = (e/mc)~v × B,но.

Как мы видим, уравнение для спина выглядит точно так же. Поэтомуоно имеет такое же решение: как вектор скорости, так и вектор спина~ с (циклотронной)электрона прецессируют вокруг направления поля Bчастотой (9.12). Поэтому проекция спина на направление ~v остается неизменной. Учет малого отличия величины ge от 1 приводит к небольшомурассогласованию этих скоростей. Если в начале спин был параллеленимпульсу, то после одного оборота их направления станут немного различаться, и совпадут только через N ≈ 1/(ge − 2) оборотов. Измерениеэтого числа оборотов позволяет измерить величину ge −2 с очень высокойточностью.Если движение электрона квазиклассично, усреднение уравнения движения для спина по волновому пакету дает для средних значений d~s/dt =~ Поскольку намагниченность вещества M определяется спи(e/mc)~s × B.нами его электронов, то отсюда следует уравнение для намагниченностиi~144(уравнение Ландау – Лифшица)~dMe ~~ ≡ [~ωB × M].~=[M × B]dtmc9.3.ЗадачиНиже ~n – единичный вектор, ~n2 = 1.1.

Найти оператор проекции спина на ось ~n (угол между ~n и осью zравен θ).2. В состоянии, где собственное значение ŝz есть 1/2, найти вероятности того, что проекция спина на ось ~n есть +1/2 и -1/2. Найти |χi,для которой sx|χi = |χi/2.3. Получите соотношение (9.5). Найти собственные значения операторов a + ~b~σ , f (a + ~b~σ ).4. Показать, что ei~σ~nθ = cos θ + i~σ~n sin θ.5. Найти (~σ~a)(~σ~b); (~σ~a)n; exp(i~σ~a).6. Найти U −1(φ)σmU (φ), где U (φ) = eiσzφ/2 . Убедитесь, что U (φ) –оператор вращенияна угол φ вокруг оси y.cos α.

Найти такую ось z 0 , чтобы было sz 0 χ =7. Пусть χ = eiγiβe sin α(1/2)χ.8. Найти относительные интенсивности расщеплённых пучков нейтронов в опыте типа Штерна–Герлаха, если поляризованные вдоль осиx нейтроны движутся вдоль оси z, а магнитное поле направлено вплоскости xy под углом 45◦ к оси x.9. Найти компоненты вектора спина в матричной форме, подобные(9.2) для s = 1.10. Докажите, что P+ = (1 + ~σ~n)/2 — проекционный оператор.

Найти собственный вектор этого состояния (состояния, на которое осуществляется проектирование).11. Найти собственные значения оператора (~s1~s2 ).12. Электроны, поляризованные вдоль оси z, движутся вдоль этой оси.Они проходят последовательно фильтры, пропускающие частицы,поляризованные вдоль оси x (вверх), и под углом θ к оси x – вплоскости xy. Найти долю прошедших частиц.13.

Пучок нейтронов (спин 1/2), поляризованных вдоль оси x, влетает в однородное магнитное поле, направленное вдоль оси z. Найтисредние значения hsx i и hs2x i.14514. Пучок частиц, поляризованных вдоль оси z, движется вдоль этойоси. Он проходит последовательно фильтры, пропускающие частицы, поляризованные вдоль оси x (вверх), и под углом θ к оси x - вплоскости xy. Найти долю прошедших частиц.15. Пучок нейтронов, движущихся вдоль оси x со скоростью v и поляризованных по направлению движения, проходит область длиной Lс однородным магнитным полем B, направленным по оси z.

Послеэтого пучок проходит через фильтр, пропускающий лишь нейтроны,поляризованные под углом θ к оси x в плоскости xz. Найти долюнейтронов, проходящих через фильтр.16. Пучок нейтронов движется по оси x и попадает при x = 0 в областьоднородного магнитного поля, направленного по оси z. Найти коэффициент отражения для нейтронов, поляризованных по оси z вверхили вниз. Найти вероятность переворота спина при отражении длянейтронов, поляризованных по оси x.17. Найти плотность тока вероятности для электрона в магнитном поле.mω 2 218.

Найти уровни энергии электрона в поле U =(x + y 2 ) и в од2нородном магнитном поле В, направленном по оси z.19. Описать движение спина в магнитном поле~B(t)= ~ex Bcosωt + ~ey Bsinωt + ~ez B0 .20. Показать, что!2!!2~~eAe~ ~eA~p −− 2m~σ B = ~σ (~p −.c2mcc21. Уровни энергии частицы 0 и Е. Как они сдвинутся под действием возмущения, которое можно записать в виде матрицы по этимсостояниям: V = aσy + bσx. Рассмотрите переход к случаю с вырождением, E = 0. (Другие уровни расположены далеко).146Глава 10СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВНачиная с этой главы буквой j обозначаются и орбитальный момент` и спин s. Для соответствующих операторов ĵi справедливы перестановочные соотношения (7.2), но связь с координатами типа (7.15), вообщеговоря, отсутствует.Для определённости будем считать всегда j1 ≥ j2 .10.1.Сложение моментов♦ Рассмотрим сначала пример, в котором должна быть решена задача сложения моментов.

— Электроны в атоме. Эта система в целомобладает сферической симметрией, и полный момент импульса системы сохраняется. В первом приближении каждый электрон движется вцентрально–симметричном самосогласованном поле ядра и остальныхэлектронов, определены моменты каждого электрона. При учёте различия взаимодействия между электронами от взаимодействия с их усреднённым распределением, эта сферическая симметрия для отдельных электронов нарушается, т.е. моменты отдельных электронов не сохраняются,но сохраняется суммарный момент всех электронов. Однако, пока этовзаимодействие между электронами остаётся слабым, "память" о моментах отдельных электронов должна сохраняться в полном описании. Итак, пусть рассматриваемую сферически симметричную системуможно разбить на две подсистемы; каждая из подсистем сама по себеобладает сферической симметрией, а их взаимодействие нарушает этиотдельные симметрии.

Сферические симметрии подсистем означают вчастности, что их состояния характеризуются значениями моментов j1и j2 . Нарушающее симметрию взаимодействие часто зависит от относительной ориентации этих моментов так, что соответствующее возмуще147ние можно записать в виде V̂ = 2A(~j1~j2 )Действуя по теории возмущений, нужно найти собственные значенияоператора V̂ и построить его собственные состояния из собственных состояний подсистем. Для этого перепишем оператор V через операторсуммарного момента системы ~j = ~j1 + ~j2222~~~V̂ = A j − j1 − j2 , (~j = ~j1 + ~j2 ) .(10.1)Из перестановочных соотношений (7.2), (7.5) для операторов ĵ1i и ĵ2iполучаются точно такие же соотношения для суммарного момента ĵi .Собственные значения оператора ĵ 2 определяются стандартным образом(7.10). Поэтому все выводы, следующие из алгебры операторов, справедливы и в этом случае.

Характеристики

Список файлов лекций