Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Если теперь принять, чтоэта внутренняя степень свободы подобна моменту импульса, т.е. описывается переменными с перестановочными соотношениями (7.2), то с учетом(7.11) переменная, отвечающая внутренней степени свободы и подобнаяквадрату момента, может принимать значения ~2 `(` + 1) не только с целыми `, но и с ` = 1/2, 3/2, 5.2, ... и соответствующими собственнымизначениями оператора `z = `, ` − 1, ....В опытах Штерна и Герлаха нейтральные атомы пролетали черезнеоднородное магнитное поле, где средняя действующая на атом силаF = µz ∂Bz /∂z в классической механике может принимать любые значения в пределах ±µ∂Bz /∂z, что должно было приводить к размытию137на пластинке линии, вдоль которой осаждаются пролетевшие атомы. Всоответствии с изложенным в разд. 9.2.1, квантованность значений µzприводит к появлению на пластинке 2` + 1 полос.Для водорода и серебра на пластине оказалось по две полосы, что формально соответствует ` = 1/2. Этот факт можно связать с внутреннейстепенью свободы электрона, похожей на момент.
Ее назвали спином. В релятивистской квантовой теории трудно обойтись без понятияспина. В нерелятивистской квантовой механике постулируется, что частицы могут иметь внутреннюю степень свободы, не связаннуюс пространственным движением и называемую спином. Оператор спина — вектор Ŝ ≡ ~ŝ. Перестановочные соотношения длякомпонент этого вектора такие же, как и для компонент оператора момента импульса (7.2), т.е.[ŝi , ŝj ] = ieijk ŝk ;[ŝ2, ŝi ] = 0.(9.1)Величина спина s (собственное значение оператора ŝ2 = s(s+1))— свойство данного сорта частиц.Как и для момента импульса, собственные состояния спина можноклассифицировать по значениям его проекции на какую–нибудь ось.
Собственные значения операторов ŝ2 и ŝz находят так же, как и для оператора момента (см. разд. 7.1). Отличие в том, что здесь нет представления ŝzв пространственных координатах (это — внутренняя степень свободы!).Поэтому число s не обязано быть целым. В соответствии с (7.11) разрешено и s = 1/2. Результаты Штерна и Герлаха показывают, что именнотакое значение реализуется для электрона. (Это значение естественнополучается в релятивистской теории.)В природе реализуются частицы с разными значениями спина:• Спин 0 — α – частицы (ядра 2 He4 ), π и K – мезоны, бозон Хиггса.• Спин 1/2 — электроны, нейтрино, протоны, нейтроны, кварки, 2 He3 .• Спин 1 — фотоны, W – и Z– бозоны (переносчики слабых взаимодействий), ρ – мезоны, дейтоны (ядра 1H 2 ).• Спин 3/2 — ядра Li7, Be9 , N a21 .• Спин 2 — гравитоны (?), ядра Li8 .• Существуют ядра и с более высокими значениями спина.Далее говоря о спинорных частицах, мы будем иметь в виду частицысо спином 1/2 — электроны, протоны, нейтроны, ...Поскольку значение s для электронов фиксировано, мы не будем указывать эту величины в обозначении собственных векторов |s, sz i.
Соб13811ственные векторы |s = , sz = ± i мы будем обозначать просто |±i.22Любое спиновое состояние χ = a1 |+i + a2 |−i, причем |a1 |2 + |a2 |2 = 1;числа ai — функции координат и времени. Это состояние записывают ввиде столбца, который называют спиноромa1χ≡|i=.a2Сопряженный вектор состояния (спинор) h | — строка χ+ ≡ h | = (a∗1 , a∗2).Набор матричных элементов hsm|ŝi |sm0 i, который получается из (7.12)и из определения ŝz , удобно представить в виде матриц, подобных (7.13);их называют матрицами Паули:σ̂i1 00 10 −i: σ̂z =; σ̂x =; σ̂y =. (9.2)ŝi ≡0 −11 −0i 02Легко проверить, что выполняются соотношенияσ̂iσ̂j = I · δij + ieijk σ̂k , σ̂i2 = I, T rI = 2, T rσ̂i = 0.(9.3)Обычно спиновое и пространственное движения разделяются, и можно записатьψ(q) = ψ(~r) · χ(sz ).(9.4)(Мы ввели здесь обобщенные координаты q ≡ (ri, sz ).)♦ Замечание: Разложение по базису матриц Паули — удобный способ работы при описании объектов с двумя возможными состояниями(спиновых систем, двухуровневых систем, двоичных элементов памяти и т.п.).
Так, любую 2 × 2 матрицу A можно представить в видеT rA ~ T r(A~σ), b=.(9.5)22В частности, рассмотрим изменение системы с двумя вырожденнымиили близко расположенными уровнями ε1 и ε2 под действием возмущения V с матричными элементами по этим состояниям Vij (i, j = 1, 2) (раздел 5.2.3). Уровниэнергии такойсистемы – собственные числа матрицыV11 + ε1V12||ε + V|| ≡. Разложим эту матрицу по матрицамV21V22 + ε2 PПаули (9.5), ||ε + V|| = a · I + bi · σi .
Уровни энергии – собственныеA = a · I + ~b · ~σ; a =iзначения этой матрицы. Унитарное преобразование, диагонализующееэту матрицу, приводит её к форме a · I + b · σ3 с собственными значениями pa ± b. Это преобразование отвечает вращению вектора ~b, при этомb = b21 + b22 + b23.1399.2.9.2.1.Движение частицы в магнитном полеМагнитный момент заряженной частицыВ классической теории магнитный момент атома обусловлен движеPнием электронов µ =ea ra × va /2c = −(|e|/2mc) · L, где L — момент импульса системы электронов.
Взаимодействие нейтрального ато~ описывается добавкой V = −(µB)ма с внешним магнитным полем Bк энергии (функции Гамильтона). В неоднородном магнитном поле натакой атом действует сила - ∇V.ˆ и потому для частиц без спина операторВ квантовой механике L̂ = ~`,µ̂ = µB `ˆ . Величину µB = |e|~/2mc называют магнетоном Бора. Проекция магнитного момента на ось z, µz = −µB `z принимает дискретныйряд значений −µB `, −µB (` − 1), ..., µB `.
Гамильтониан взаимодействияс внешним магнитным полем имеет вид:ˆ~ĤM = −µB ~`B.(9.6)Наличие спина приводит к существованию дополнительного (спинового) магнитного момента, который по другому связан со спином:µ̂i = giµBi ŝ .(9.7)Здесь µBi ≡ e~/2mic — магнетон Бора для частиц сорта i (электронов,протонов,...). В отличие от орбитального движения спин может порождать магнитный момент и у нейтральной частицы, например, у нейтрона.Наличие такого момента — сигнал существования нетривиальной внутренней структуры частицы.Если пренебречь взаимодействием с колебаниями вакуума, то gi = 2для заряженных частиц, и gi = 0 для нейтральных частиц. Учет этихколебаний приводит к небольшим отличиям для электронов и к большим— для протонов и нейтронов:ge /2 = 1.001159625;gp /2 = 2.79;gn /2 = −1.91.(9.8)Далее, говоря об электроне, мы будем считать ge = 2 (хотя отличие geот 2 всерьёз используется в ускорительной технике).9.2.2.Уравнение ШредингераДля частицы в электромагнитном поле импульс связан со скоростью~~ – вектор – потенциал электромагсоотношением p~ = m~v + eA/c,где Aнитного поля.
Поэтому классическая функция Гамильтона имеет вид140~ 2/2m + eφ(r) (см. решение задачи 8 главы 3). СоотH = (~p − eA/c)ветственно, гамильтониан электрона в электромагнитном поле с учетомспинового магнитного момента имеет вид (получен в 1927г. В. Паули):~ 2(p~ˆ − eA/c)ˆe B).~Ĥ =+ eφ(r) − (~µ2m(9.9)Нетрудно проверить, что отсюда следует квантовая версия исходного~равенства d~r/dt = [~r, Ĥ]/i~ = (p~ˆ − eA/c)/m.Пусть неоднородность внешнего поля на атомных размерах невелика, т.е.
магнитное поле B можно считать однородным. Выберем вектор–~ = −[~r × B]/2.~потенциал в виде AТогда, раскрывая скобки, запишем:Ĥ =2~ 2p̂2~ + e ~p[~r × B]~ + e [~r × B] .+ eφ(~r) − 2µB ~sB2m2mc8mc2~ ≡ ~~`, получаем отсюда (ср. (9.6))Учитывая, что [~r × p~] = LĤ =2~ 2p~ˆ2ˆ~ + e [~r × B] .+ eφ(~r) − µB (~` + 2~sˆ)B2m8mc2(9.10)При описании атомных систем характерные смещения не очень велики,тогда последним слагаемым можно пренебречь, и взаимодействие с магнитным полем записывается в виде~U = −µB (~` + 2~s)B.(9.11)При описании свободного движения характерные смещения могут бытьне малыми, тогда слагаемое квадратичное по полю становится важным.
Калибровочная инвариантностьНетрудно проверить, что уравнение Шредингера не изменяется приодновременных преобразованиях~→A~ + ∇f~ (~r, t), φ(~r) → φ − 1 ∂f (~r, t) , ψ → ψ · eief (~r,t)/~c .Ac ∂t(Здесь f (~r, t) — произвольная функция координат и времени.) Это свойство называют калибровочной инвариантностью.Можно стартовать и с инвариантности вероятностей относительно изменения фазы волновой функции (одинаковой во всем пространстве ине зависящей от времени). Естественное обобщение этого – возможнаяинвариантность относительно фазы, меняющейся в пространстве и времени. Чтобы такая инвариантность имела место, изменения в величине141p̂2ψeiφ(~r) должны быть скомпенсированы изменениями в слагаемых, отвечающих взаимодействию.
Электромагнитное поле с выписанными преобразованиями как раз и компенсирует эти изменения. Поэтому электромагнитное поле можно рассматривать как компенсирующее поле по отношению к нашим преобразованиям. Если бы мы не знали заранее о егосуществовании, мы предположили бы, что такое компенсирующее поледолжно быть в Природе.Эта идея для фазовых преобразований более общего вида была выдвинута в 1954 г. Янгом и Миллсом. Она составила основу современногоописания взаимодействий элементарных частиц, состоящего из единойтеории электромагнитных и слабых взаимодействий и квантовой хромодинамики.
В теории электрослабых взаимодействий частицами компенсирующих — калибровочных – полей являются фотон и его аналоги —W – и Z– бозоны со спином 1 и с массами в 85–100 раз тяжелее протона.Они обнаружены в 70-х гг. В квантовой хромодинамике частицы калибровочного (компенсирующего) поля называются глюонами, они не могутулетать далеко от своих источников.9.2.3.Электрон в однородном магнитном полеДля свободного электрона последний член гамильтониана (9.10) становится определяюще важным, и гамильтониан не сводится к простомувыражению (9.11). Кроме того, в этом случае пространственные и спиновые степени свободы практически не взаимодействуют.Выберем векторный потенциал в виде, отличающемся от использован~ = (0, xB, 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
