Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Квадратичный эффект Штарка. Поляризуемость~ = 0, то E 1 =0, иНапомним, что если в состоянии hk| среднее hk|d|kikдля произвольного атома поправка к энергии∆E = E(2)=X |hk|d~E|pi|~ 2p6=kEk0−Ep0≡ −βPk ij a3B Ei Ej /2 .В силу сферической симметрии задачи, βP ij = βPk δij . Величина α ≡ βPk a3Bназывается поляризуемостью в состоянии k:2 X hk|dz |pihp|dz |ki X |hk|dz |pi|2kβP = 3≡.(8.17)aBEp0 − Ek0Ep0 − Ek0Для поляризуемости в основном состоянии βP0 нетрудно получить простые оценки, заметив, что в этом случае все слагаемые в нашей суммеположительны. Если заменить все знаменатели на наименьший, т.е.
заменить Ep0 − E00 → E10 − E00, то правая часть увеличится:P|h0|dz |pi|22 p6=0.βP0 < 3aB E10 − E00Но сумму в числителе можно преобразовать, используя полноту системысостояний |pi к видуXX2|h0|dz |pi| ≡h0|dz |pihp|dz |0i = h0|d2z |0i .p6=0p6=0132Если пренебречь состояниями непрерывного спектра (которые действительно дают очень малый вклад в сумму), то наименьший возможный знаменатель получается при Ep = 0. В итоге получаем оценкуh0|d2z |0ih0|d2z |0i0 3<β a h2.2|E0 | ∼ P B E1 − E0(8.18)В частном случае атома водорода в основном состоянии эта оценка выглядит как 4 < βP0 < 16/3. Точный расчёт даёт βP0 = 4.5.A2. Эффект Штарка для атома водорода с n=2.Для возбуждённых состояний атома водорода имеет место вырождение по `, т.е.
и по чётности. Под действием электрического поля атомпереходит в состояния, которые не являются собственными функциями`. Всё это описывается стандартной теорией возмущений для случая вырожденных состояний.Простейший пример даёт атом водорода с n = 2. В отсутствие поля 4вырожденных состояния можно записать в виде базиса (8.16c) состоянийс определённой чётностью. Запишем теперь оператор возмущения в видематрицы, как это делалось в разд. 5.2.2. Как отмечалось выше, все диагональные матричные элементы возмущения обращаются в нуль. Направив ось z вдоль поля, запишем возмущение в виде V = eEz ≡ eEr cos θ.Под действием такого возмущения `z сохраняется. Значит, матричныеэлементы h2, `, 0|V |2, 1, ±1i, h2, `, ∓1|V |2, 1, ±1i обращаются в нуль (вкоординатном представлении это соответствует обращению в нуль интегралов по φ из–за множителя e±iφ под интегралом).
В два остающихся матричных элемента входят состояния с противоположными чётностями и одинаковым значением m = 0. Поэтому они отличны от нуля:h2, 1, 0|V |2, 0, 0i = (h2, 0, 0|V |2, 1, 0i)∗ = i∆, ∆ = 3eEaB . В итоге секулярное уравнение имеет вид (E (1))2[(E (1))2 − ∆2] = 0. Его решениядают сдвиг уровней в электрическом поле. Два состояния |2, 1, ±1i не(1)смешиваются, для них уровни не сдвигаются, E1,2 = 0. Два других состояния |2, `, 0i смешиваются, и уровни сдвигаются, обеспечивая линей(1)ный эффект Штарка: E3,4 = ±∆.
При этом новые состояния имеют вид√|±i = (|2, 0, 0i ∓ |2, 1, 0i)/ 2.Б. Силы Ван дер Ваальса.Рассмотрим теперь взаимодействие нейтральных атомов, находящихся на расстоянии R, большом по сравнению с их "размерами". Здесьможно пользоваться адиабатическим приближением, которое состоит в133том, что движения электронов в атомах и атомов, как целого, разделяются, т.е. на электроны каждого из атомов другой атом воздействует какцелое, и атомы не обмениваются электронами.На больших расстояниях R два атома взаимодействуют как диполи~di = e~ri (i = 1, 2), и a 33(d1n)(d2n) − d1 d2d1α d2βBV =≡Nαβ ≡ Ry v,33|R|RRRn = , Nαβ = 3nα nβ − δαβ .RПоправку к энергии основного состояния за счет взаимодействия можнозаписать в виде a 6X h0|V |n1 n2 ihn1 n2 |V |0iBU (R) =≡ −2Ry ηV.2E0 − En1 − En2RУгловое усреднение с учётом сферической симметрии атомов даётX |h0|d2 |pi|2 |h0|d2 |qi|21z2zηV = 3Ry.(8.19)E+E−2Epq0pqВычисление, подобное сделанному выше для поляризуемости, даёт3 h0|d2z |0i23 h0|d2z |0i2>iη.V ∼2Ry a3B E1 − E02Ry a3B |E0|Для взаимодействия двух атомов водорода в основном состоянии этодаёт 8 > η <∼ 6.
Аккуратный расчет дает ηV ≈ 6.5.8.4.Задачи1. Для прямоугольной сферически симметричной потенциальной ямы• Докажите условие (8.4).• Рассмотреть предельный переход U → ∞, a → 0. При какомусловии в пределе остается связанное состояние?2. Могут ли быть в центрально-симметричном поле уровни с кратностью вырождения 2, 7, 9? Какому вырождению по ` они могутсоответствовать?3.
Определить уровни энергии En` электрона с моментом `, заключенного в непроницаемую сферу радиуса R, используя квазиклассическое правило квантования.Сравнить с точным решением при больших R и n `.1344. Найти уровни плоского осциллятора U = mω 2 (x2 + y 2 )/2. Описатьвырождение в терминах проекции момента импульса.5. Покажите, что уровни энергии сферического осциллятора описываются соотношением E = ~ω(n + 3/2) с кратностью вырождения(n + 1)(n + 2)/2. Покажите, что в состоянии с данным значением nпредставлены все значения ` = n, n − 2, n − 4, ...6. Для сферического осциллятора найти уровни энергии в квазиклассическом приближении. Найти минимальное значение энергии призаданном `.
Сравнить с точным решением.7. Для сферического осциллятора найти уровни энергии с nr = 0, ` =0, 1 и nr = 1, ` = 0, пользуясь вариационным методом с пробнымифункциями вида P (r)e−r/a (P (r) – простейшие полиномы). Сравнить с точным решением.8. Найти поправки к трем нижним уровням энергии сферического осциллятора U = mω 2 r2/2 под действием возмущения V = γx2y 2 .9. Для атома водорода в основном состоянии (1s) построить графикиdW/d3r и dW/dr в зависимости от r.
Найти φ100(p) и построитьграфики dW/d3p и dW/dp. Найти h~pi, hpi и ∆p, hri и ∆r. Оценитьнапряженность электрического поля на расстоянии r = aB от ядра.10. Для 2s– и 2p– состояний построить графики dW/d3r в зависимостиот r и θ. Найти среднее магнитное поле, создаваемое электроном вцентре атома водорода в состоянии 2p.11. Найти средние значения кинетической и потенциальной энергии дляразличных состояний атома водорода.12. Оценить размеры и уровни энергии водородоподобных атомов He+ ,Li++, P b82+, e+ e− , µ− p, µ− π + , µ− P b82+ (P b82+ – ядро свинца).13. Найти поправки к энергии водородоподобного атома, обусловленныевозмущением ∆V = γ~2/2mr2 (моделирующим эффект поляризуемости атомного остатка под действием валентного электрона).Использовать два метода: дифференцирование энергии по параметру (5.11) и введение нового эффективного момента импульса`0 (`0 + 1) = `(` + 1) + γ.
Сравнить результаты.С помощью второго из этих подходов выделить колебательные ивращательные уровни.Ответ (для малых γ):Z 2 Ry8γ· 1+.En` = −2n2n(2` + 1)13514. Найти поправки к энергии атома водорода, обусловленные конечными размерами ядра.15. Найтирелятивистские поправки к энергии атома водорода (p̂2 /2m →pp̂2 c2 + m2 c4 − mc2 = p̂2/2m − p̂4/8m3c2 + ...).Указание: Использовать соотношение p̂2 = 2m(Ĥ0 + e2 /r) с невозмущенным гамильтонианом атома водорода H0 .16. При каких значениях коэффициентов А и В в векторе состояния|N i = A|2, 1, 0i + B|2, 0, 0i среднее значение дипольного момента~ максимально? Найти величину hdi при этом.hN | − e~r|N i = hdi17.
Улучшить оценки (8.18), (8.19) для атома водорода в основном состоянии, учтя точно слагаемые, отвечающие первым возбуждённымсостояниям.18. Найти поправки к уровням энергии с n = 1, 2 для потенциала Юка2вы U = −ge−µr /r и потенциала U = −ge−(µr) /r, рассматриваяотклонение поля от кулоновского как возмущение.
Рассмотреть случаи µaB 1 и µaB 1.Решить ту же задачу для n = 1 вариационным методом, используяводородоподобные и осцилляторные волновые функции. Сравнитьрезультаты.19. Рассмотрите оператор Рунге–Ленцаo e2 r̂~ n =[p̂L̂] − [L̂p̂] −.(8.20)2mrа) Найдите перестановочные соотношения [Âi, Âj ], [Âi, Â2].Покажите, чтоб) [Âi, H] = 0.в) [Âi, L̂2] = 0.г) [Âi, L̂j ] = ieijk Âk – ср. (1.33), но {Âi, L̂j }+ = 0.д) Оператор Â2 не коммутирует с оператором пространственногоотражения, т.е.
общие собственные состояния операторов гамильтониана и Â2 не имеют определённой чётности.136Глава 9СПИН. ЧАСТИЦА В МАГНИТНОМПОЛЕ9.1.СпинКвантовая частица может иметь квантовые внутренние степени свободы, подобные моменту, отсутствующие у классических частиц. Их квантовая природа означает, что соответствующие величины исчезают в классическом пределе. Поэтому такие величины должны быть пропорциональны постоянной Планка ~.Пример. У ядра есть собственный орбитальный момент L. В классическом случае L = mvr стремится к нулю при r → 0. В квантовойтеории этот момент остается конечным и при исчезающе малых размерах ядра, поскольку единица квантования момента ~ от размеровядра не зависит.Внутренние степени свободы не связаны с какими–либо пространственными координатами. В то же время полученный ранее вывод о том,что значения момента есть ~` с целым `, основывался на связи операторамомента с пространственными координатами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
