Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В частности, собственные значения оператора(10.1) можно записать в виде A[j(j + 1) − j1 (j1 + 1) − j2 (j2 + 1)].Таким образом, необходимо по известным исходным состояниям |j1 , m1i,|j2 , m2 i построить собственные состояния оператора полного момента инайти возможные собственные значения этого оператора.Состояние такой системы можно описать двумя разными способами:• Набором собственных функций Ψm1 ,m2 = |j1 , m1 i|j2 , m2 i коммутирующих операторов ĵ12 , ĵ1z , ĵ22 , ĵ2z с собственными значениямиj1 (j1 + 1), m1 , j2 (j2 + 1), m2 :• Набором собственных функций Φjm = |j, m; j1 , j2i коммутирующихоператоров ĵ 2 , ĵz , ĵ12 , ĵ22 с собственными значениями j(j + 1), m,j1 (j1 + 1), j2 (j2 + 1):(Функции Ψ и Φ следовало бы снабдить также индексами j1 и j2 , но этизначения фиксированы, и они не выписываются явно.) Проблемой сложения моментов называют следующий набор задач:1.
Какие значения m возможны при заданных m1 и m2 ?2. Какие значения j возможны при данных j1 и j2 ?3. Каковы чётности суммарных состояний?4. Ясно, что любая функция Φ может быть выражена через линейныекомбинации функций Ψ, и наоборот:P jm|j1 , j2; j, mi =Cm1 m2 |j1 , m1i|j2 , m2 i;m1 ,m2P jm(10.2)|j1 , m1 i|j2 , m2 i =C̃m1 m2 |j, m; j1 , j2i.j,mКак найти коэффициенты C и C̃ (их называют коэффициентамиКлебша-Гордана)?148jmjm Отметим, что C̃m= hΦjm |Ψm1 m2 i и Cm= hΨm1 ,m2 |Φjm i =m121 m2∗jmC̃m. Поэтому если выбрать коэффициенты C вещественными, то1 m2jmjmCm= C̃m.1 m21 m2(10.3)Далее мы сначала изложим результаты, а затем опишем способ отыскания коэффициентов Клебша-Гордана и убедимся в полноте получившейся конструкции.
Это и составит полное решение задачи.Ответы на первые вопросы составляют содержание "векторной модели" сложения моментов: Моменты – это стрелочки длиной j1 иj2 , которые могут быть направлены по–разному, и их суммарные величины пробегают все возможные значения. Иными словами, ответына первые два вопроса (10.4) таковы же, как и в классической механике.Ответы на остальные вопросы являются специфически квантовыми.1. Так как ĵz = ĵ1z + ĵ2z , тоm = m1 + m2 .(10.4a)2.
Величина j принимает значенияj = j1 + j2 , j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2, |j1 − j2 |.(10.4b)3. Чётность состояний суммарного момента P не определяется величиной j, но во всех случаях P = P1 · P2 , где Pi – чётности состояний |ji , mi i. Если один из входящих в сумму моментов – спиновый,то понятие чётности для него не определено (спин – внутренняястепень свободы).
Можно определить понятие внутренней чётностиспинового состояния, и она сохраняется в сумме моментов.O Чтобы убедиться, что в ответах (10.4) учтены все состояния, пересчитаем их в обоих описаниях системы.При описании через состояния складываемых моментов число различных состояний есть N = (2j1 + 1)(2j2 + 1). При втором описании длякаждого j имеется 2j +1 различных значений m = −j, −j +1, . . .
, j. ЧисPло таких функций есть (2j +1), где сумма берется по всем допустимымпри данных j1 и j2 значениям j:j1 +j2Xj1 +j2(2j + 1) =|j1 −j2 |X0(2j + 1) −|j1 −j2 |−1X(2j + 1) =0(j1 + j2 + 1)2 − |j1 − j2 |2 = (2j1 + 1)(2j2 + 1).149Как и следовало ожидать, это число совпадает с N.2 Получим теперь (10.4b) и найдем коэффициенты C, приняв дляопределенности j1 ≥ j2 ≥ 1.
Основная идея построения – для каждогодопустимого значения суммарного момента j должны реализовываться(при различных проекциях моментов j1 и j2 ) все возможные значенияпроекций этого момента. Теперь мы построим векторы состояний |J, Jz = mi, разложив их пофункциям исходного базиса |J1 J1z = m1 i|J2 , J2z = m2 i. Коэффициентыэтого разложения и есть коэффициенты Клебша–Гордана.♦ Рассмотрим сначала простейший пример сложения двух спиновыхмоментов, J1 = J2 = 1/2.
Суммарные значения момента импульса такой системы J могут составлять 1 ("спины параллельны") и 0 ("спиныантипараллельны").Набор спиновых состояний такой системы состоит из векторов,|Ii ≡ |1/2, +1/2i|1/2, +1/2i ,|IIi ≡ |1/2, +1/2i|1/2, −1/2i , |IIIi ≡ |1/2, −1/2i|1/2, +1/2i ,|IV i ≡ |1/2, −1/2i|1/2, −1/2i, .Вектор |Ii – единственный вектор, который отвечает проекции полного момента на ось z, равной 1, в нашем случае это может реализовываться только при J = 1. Поэтому можно принять |J = 1, m = 1i = |Ii.Векторы |IIi и |IIIi отвечают проекции полного момента на ось z,равной 0, в нашем случае это может реализовываться и при J = 1 и приJ = 0.
Поэтому состояния |J = 1, m = 0i и |J = 0, m = 0i должны бытьсуперпозициями состояний |IIi и |IIIi.Наконец, вектор |IV i – единственный вектор, который отвечает проекции полного момента на ось z, равной -1, в нашем случае это можетреализовываться только при J = 1. Поэтому |J = 1, m = −1i ∝ |Ii(здесь может появиться какой-нибудь фазовый множитель).Чтобы построить состояния |J = 1, m = 0i и |J = 0, m = 0i, стартуяот выбранного вида |Ii = |J = 1, m = 1i, подействуем на |Ii понижающим оператором√ ĵ− ≡ ĵ1− + ĵ2−. С учётом (7.12), ĵ− |1, 1i = 2|1, 0i иĵ− |1/2, 1/2i = 2|1, 0i.
Поэтомуĵ− |1, 1i = 2|1, 0i ≡ ĵ1− + ĵ2− |1/2, +1/2i|1/2, +1/2i√2 (|1/2, −1/2i|1/2, +1/2i + |1/2, +1/2i|1/2, −1/2i)1⇒ |1, 0i = √ (|IIi + |IIIi) .2150Состояние |0, 0i строится из тех же состояний |IIi и |IIIi и оно ортогонально к состоянию |1, 0i. Поэтомувектор этого состояния должен√2 (выбор общей фазы – наш произвол).иметь вид |0, 0i = (|IIi−|IIIi)/√Коэффициенты ±1/ 2 – это коэффициенты Клебша – Гордана в нашемслучае.Легко убедиться, что подобное же действие оператора ĵ− ≡ ĵ1− + ĵ2−на состояние |0, 0i даёт ноль, а действие этого оператора на состояние|1, 0i даёт |1, −1i = |IV i.♦ Процедура общего случая воспроизводит вышеизложенную.O В силу (10.4a), максимальное значение m = j1 + j2 .
Поэтому и максимальное значение j = j1 + j2 . Это состояние получается единственнымобразом. Поэтому|j = j1 + j2 , m = j1 + j2 i = |j1 , m1 = j1 i|j2 , m2 = j2 i.O Под действием оператора ĵ− ≡ ĵ1− + ĵ2− это состояние переходит в|j = j1 + j2 , m = j1 + j2 − 1i. С учетом (7.12)pĵ− |j1 + j2 , m = j1 + j2 i = 2(j1 + j2 ) · |j1 + j2 , m = j1 + j2 − 1i ≡(ĵ1− + ĵ2−)|j1 , m1 = j1 i|j2 , m2 = j2 i =pp2j1 · |j1 , m1 = j1 − 1i|j2 , m2 = j2 i + 2j2 · |j1 , m1 = j1 i|j2 , m2 = j2 − 1i.(Далее мы опускаем указания j = ..., mi = ... в обозначениях векторовсостояний.)Отсюда следует:r|j1 + j2 , j1 +rj2 − 1i =j1j2· |j1 , j1 − 1i|j2 , j2 i +· |j1 , j1 i|j2 , j2 − 1i.j1 + j2j1 + j2(10.5a)Из двух векторов состояний, стоящих в правой части этого равенстваможно сформировать другой вектор состояния, ортогональный к (10.5a).Для такого состояния снова m = j1 + j2 − 1, но для него эта величина –наибольшее значение m.
Поэтому оно соответствует j = j1 + j2 − 1, т.е.r|j1 + j2 − 1, j1 r+ j2 − 1i =j2j1· |j1 , j1 − 1i|j2 , j2 i −· |j1 , j1i|j2 , j2 − 1i.j1 + j2j1 + j2(10.5b)O Дальнейшее действие оператора ĵ− на состояния (10.5a) и (10.5b)дает состояния |j1 + j2 , j1 + j2 − 2i и |j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 2i. Эти два151новых состояния - суперпозиции базисных состояний|j1 , j1 − 2i|j2 , j2 i,|j1 , j1 − 1.|j2 , j2 − 1i,|j1 , j1i|j2 , j2 − 2i.Сформированное из этих базисных состояний третье состояние, ортогональное к двум первым, есть |j1 + j2 − 2, j1 + j2 − 2i.O Этот процесс появления новых значений j продолжается до техпор, пока с уменьшением m увеличивается число различных базисныхфункций |j1 , m1i|j2 , m2 = m − m1 i, т.е. до m = j1 − j2 (10.4b).Итак, задача в принципе решена. Существуют и другие методы еёрешения. Один из них указывает задача 5 к этой главе.
Кроме того,коэффициенты Клебша–Гордана можно найти в многочисленных таблицах.10.2.Матричные элементы скаляров и векторовНиже рассматриваются матричные элементы операторов по состояниям |αjmi, где квантовые числа α описывают не зависящие от моментахарактеристики. Интересуясь только свойствами операторов по отношению к вращениям, мы не выписываем ниже значок α.10.2.1.Правила отбораМы рассмотрим сначала правила отбора для различных операторов, перечисляющие те состояния, между которыми матричные элементы этих операторов заведомо равны нулю.
Это особенно важно в наше время широкого распространения компьютерных вычислений, когдабездумное вычисление какого–нибудь матричного элемента может датьочень малую величину, и без учёта правил отбора пришлось бы думать,есть ли эта малость просто неточно вычисленный нуль (следствие ошибок округления), или это действительно очень малая конечная величина,которую следует учитывать в детальном анализе. Скалярный оператор. Скалярным называется оператор P̂ , видкоторого не меняется при вращениях системы координат. Такой операторP̂ коммутирует с оператором момента импульса системы ĵ:[ĵi, P̂ ] = 0 ⇒ [ĵz , P̂ ] = 0, [ĵ 2, P̂ ] = 0.152Пусть |jmi - собственный вектор операторов ĵ 2 и ĵz с собственнымизначениями j(j + 1) и m соответственно, Из соотношения[ĵz , P̂ ] = 0 ⇒ hj 0 m0 |ĵz P̂ − P̂ ĵz |jmi = (m0 − m) · hj 0 m0 |P̂ |jmi = 0следует, что матричный элемент hj 0 m0 |P̂ |jmi может отличаться от нулялишь при m0 = m. Точно так же, из соотношения [ĵ 2, P̂ ] = 0 ⇒hj 0 m0 |ĵ 2 P̂ – P̂ ĵ 2 |jmi = 0 следует, что этот же матричный элемент можетбыть отличен от нуля лишь при j 0 = j.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
