Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

Найти фазы рассеяния для рассеяния в поле V (r) = a/r2 при a > 0.2136. Найти дифракционную картину, возникающую при упругом рассеянии электронов в газе двухатомных молекул. Расстояние междуатомами в молекуле a. Принять, что потенциал, создаваемый каждым атомом, имеет вид V (r) = (λ/r)e−r/r0 . Предполагается, чтоλ ~2/ma2 ; молекулы ориентированы хаотично. Считая a ≈ 3r0 ≈3 Å, оценить, при каких энергиях можно наблюдать эту картину.Рассмотреть случаи больших и малых переданных импульсов.Разобрать ту же задачу, не конкретизируя вид потенциала V (r).Выяснить, как по угловой зависимости дифференциального сеченияможно находить a.7.

Найти сечение рассеяния медленных частиц на потенциале V (r) =−Gδ(r − a). Рассмотреть s– и p– волновые вклады.8. Вычислить фазы для рассеяния в поле U (r) в борновском приближении.9. Вычислить в борновском приближении фазы рассеяния для потен22циала U (r) = U0e−r /a .10. Получите амплитуду рассеяния во втором борновском приближении.214Приложение AП1. δ – функция• Определение.

Как известно, δ – функция – не обычная функция,а обобщённая функция, или распределение. Эта функция обращается внуль при x 6= 0, она не определена при x = 0. На пространстве обычных гладких функций g(x) изучаемая δ – функция задаётся правиломсвёртки с любой из функций g(x),Zbag(x)δ(x) =g(0)0при a < 0 < b ,при a, b > 0 или a, b < 0 .(A.1)• δ – функция как предел последовательностей обычных функций. Во многих задачах δ – функция возникает как предел последовательности обычных функций, например,1 ε1 −x2 /a2sin2 xtδ1 (x) = lim, δ2 (x) = lim √ e, δ3 (x) = lim.t→∞ πx2 tε→0 π x2 + ε2ε→0πε(A.2)Все эти представления описывают одну и ту же δ – функцию, определённую равенством (A.1).

Для функции δ3 (x), совпадающей с (13.24),это было показано в гл. 13. Для функции δ1 (x) это видно из цепочкиравенствRR1 Rbε1 b/ε1x=yεg(x)δ1(x)dx = limg(x)dx=limg(yε)dy2+1ε→0 π −a x2 + ε2ε→0 πya/ε1 R∞ 1= g(0)= g(0) .π −∞ y 2 + 1Предельный переход δ1(x) описывает, в частности, как от описаниянестабильной частицы перейти к случаю, когда эффекты нестабильностине важны, и частицу можно считать стабильной.215• δ – функция от сложного аргументаПусть f (x) = 0 при x = x0.

Тогда1δ(x − x0).(A.3)|f 0 (x0)|RДействительно, рассмотрим I = ϕ(x)δ[f (x)]dx. Вблизи x = x0 имеемf (x) = f 0 (x0)(x−x0). Подставим это выражение в интеграл. Тогда послезамены y = f 0(x)(x − x0) получим соотношение, подтверждающее (A.3):Zyδ(y)ϕ(x0)I = ϕ(x0 + 0) 0dy = 0.f (x0) f (x0)|f (x0)|δ[f (x)] =П2. θ – функцияВ дополнение к δ – функции полезно определить также функциюθ(x) =Zxδ(x)dx =−∞01приприx < 0,x > 0.(A.4)Очевидно, что dθ(x)/dx = δ(x).П3. Γ – функцияΓ – функция определяется как интегралΓ(p) = apZ∞xp−1e−ax dx.(A.5)0Полезные для нас свойства Γ функции:Γ(p + 1) = pΓ(p);Γ(n + 1) = n!n – целое;√Γ(1/2) = π.216(A.6)П4. Свойства некоторых специальных функцийПеречислим некоторые свойства полиномов Лежандра P` (x) и функций Бесселя Jn (x):Pk (−x) = (−1)k Pk (x),(A.7)2` + 1 RπP` (cos θ)Pm (cos θ) sin θdθ = δ`m .2 0RaxJ (x)dx = aJ1 (a),(A.8)(A.9)0Pk (cos θ) → J0(kθ) при k → ∞.(x/2)nrJn (x) ⇒πn π 2cos x −−πx24217(A.10)приx → 0;приr → ∞.(A.11).

Характеристики

Список файлов лекций