Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 38
Текст из файла (страница 38)
При небольших значениях Γi эти полюса отвечают резонансам врассеянии, разд. 14.3.6, или квазисвязанным состояниям – виртуальнымуровням разд. 2.6.1 или квазиуровням разд. 5.3.3 с данным значениеммомента импульса ` (Mi – его масса, Γi – ширина).14.3.2.Фазы рассеяния. Разложение плоской волны. Плоскую волну можно разложитьпо сходящимся и расходящимся волнам (8.2). В соответствии с (14.27), вответ входят только сферические гармоники с m = 0.
Далее, посколькуэнергия в задаче фиксирована, то радиальные функции зависят от тойже величины k. Таким образом, используя (8.9) можно записатьikze=∞XsC` P` (cos θ)Rk`(r).`=0207Коэффициенты C` определяются стандартным образом, с помощью интегрирования по углам выражения Pn (cos θ)eikz или сравнением избранных членов степенного разложения в двух частях равенства (как этосделано, например, в учебнике [1]). Окончательно, получается r ` 1 d ` sin kr∞Pikz`e = (−i) (2` + 1)P`(cos θ)kr drkr`=0(r→∞) P 2` + 1⇒P` (cos θ) eikr − (−1)`e−ikr .(14.31)2ikr Фазы рассеяния.В полной волновой функции сходящаяся волна (in) получается толькоиз разложения (14.31), а вклад в расходящуюся (out) дают и падающаяи рассеянная волны. В итоге при r → ∞ можно записать, вводя новуювеличину S` :X 2` + 1P` (cos θ) S` eikr − (−1)`e−ikr .
(14.32)ψ(r) = ψout + ψin =2ikrСравнивая с (14.2), (14.28), получаемS` = 1 + 2ikf`.(14.33)С другой стороны, согласно (8.11) при r → ∞ функцияr2 ei(kr−`π/2+δ`) − e−i(kr−`π/2+δ`)Rk` →·.π2irРазложение на сходящуюся и расходящуюся волны можно согласовать с(14.15a), (14.17), если положитьr1 πA` =· (2` + 1)i`eiδ` .k 2При этом (ср. (14.29))S` − 1e2iδ` − 1sin δ`S` = e , f ` =≡= eiδ` ·;(14.34)2ik2ikkPπσel =σ`(el), σ`(el) = 2 (2` + 1)|1 − S` |2 .(14.35)kЕсли рассеяние чисто упругое, то все фазы действительны, и4πσ` = 2 (2` + 1) sin2 δ` .(14.36)kЗначения фаз получаются из решения уравнения Шредингера дляодномерного радиального движения на полупрямой с известным эффективным потенциалом Vef f (r) = V (r) + ~2 `(` + 1)/2mr2.2iδ`20814.3.3.Рассеяние при наличии неупругостиНиже мы говорим о неупругих процессах, не рассматривая их детально.Напомним, что парциальная амплитуда расходящейся волны отличается множителем (−1)`+1S` от соответствующей амплитуды в сходящейся волне.
Если поглощения нет, то в силу сохранения вероятности |S` | = 1. Если есть поглощение, то |S` | < 1, и величина 1 − |S` |2 описываетуменьшение потока частиц в расходящейся (out) волне по сравнению сосходящейся (in). Действительно,Jin = −π~k X(2` + 1);mJout =π~k X(2` + 1)|S`|2 .mНеупругое сечение – разность этих интегралов, делённая на падающийпоток jinc , а полное сечение σtot = σel + σin. ОкончательноPπσel = σ`(el), σ`(el) = 2 (2` + 1)(|1 − S` |2 );kπPσin = σ`(in) , σ`(in) = 2 (2` + 1)(1 − |S` |2 );(14.37)kP2πσtot = σ`(tot) , σ`(tot) = 2 (2` + 1)(1 − ReS` ).kИтак, при S` = 1 нет ни поглощения, ни рассеяния, при |S` | = 1 естьтолько рассеяние и нет поглощения, при S` = 0 поглощение и рассеяниеодинаково сильны.Соотношение (14.35) позволяет вычислить и Imf` (k) = (1−ReS` )/2k.Сравнение с (14.37) даёт новую форму оптической теоремы(2` + 1)Im f` (k) =14.3.4.kσ`(tot) (k).4π(14.38)Упругое рассеяние медленных частицПри ka 1 прицельные параметры ρ` = `/k a для ` 6= 0, поэтомулишь s– волна (` = 0) может давать заметное рассеяние.
Таким образом,дифференциальное сечение изотропно.Если потенциал достаточно быстро убывает с расстоянием, то фазырассеяния малы при k → 0:δ` ∝ k 2`+1 ⇒ f` ∝ k 2l .209(14.39a)Напомним, что фаза рассеяния безразмерна. Единственный размерныйфактор, присутствующий в задаче помимо k, – характерный размер поляa. Поэтому выписанные оценки уточняются следующим образом:δ` ∝ (ka)2`+1 ⇒ f` ∝ a(ka)2l .(14.39b)Видно, что вклады высших гармоник в условиях задачи подавлены.Покажем, что это свойство имеет место в случае, когда применимоеще и борновское приближение (с небольшими уточнениями приводимыйвывод работает и в общем случае).
Для этого подставим в (14.28) формулу (14.15b), где разложим sin qr в ряд, и воспользуемся тождествомq 2 = 2k 2(1 − cos θ). Обозначив cos θ = z, получаемZX (−2k 2r2(1 − z))n2mf`(k) = − 2r2drV (r)dcP` (z).(14.40)~(2n + 1)!kФункции P` (z) – полиномы (Лежандра) по z степени `, ортогональныедруг другу на отрезке (−1, 1). Это означает, что вклад в f` дают толькоте слагаемые ряда, номер которых n ≥ `. При k → 0 это означает, чтоf` ∝ k 2`, что подтверждает утверждение (14.39a).Такое вычисление дает правильный ответ, если интеграл (14.40) сходится для всех n. Это справедливо для ядерных сил, убывающих на больших расстояниях по закону e−(r/a) /r. Межатомные и межмолекулярныесилы убывают обычно медленнее — по степенному закону V ∼ 1/rγ .Для таких потенциалов зависимость (14.39a) имеет место только при` < (γ − 3)/2. Для фаз с ` > (γ − 3)/2 оценка того же интеграла даетзависимость δ` ∝ k γ−2.Итак, при низких энергиях f` ∝ k 2`.
В частности, при низких энергиях основной вклад дает s–волна, для которой δ0 = ak. Величина aназывается длиной рассеяния. При этом в соответствии со сказанным вначале разделаdσ = a2 dΩ, σ = 4πa2 .(14.41)14.3.5.Рассеяние быстрых частиц на черном шаре.В этом разделе мы обсуждаем предел ka 1. В этом случае квазиклассическое приближение применимо для оценок.
Момент импульсачастицы, движущейся с прицельным параметром ρ, есть L = pρ ≡ ~kρ.Поэтому значения момента, участвующие в соударениях, ` . `0 = ka.210При ` `0 частицы не сталкиваются с рассеивателем, соответствующиеS` = 1. Как это часто бывает, основной вклад дают значения 1 ` < `0 .Рассмотрим дифракционное рассеяние быстрых частиц на поглощающем (черном) шаре радиуса a. (Пример: рассеяние нейтронов с энергией100 МэВ на тяжелом ядре радиуса a ∼ 10−12 см, при этом ka ∼ 10.)Эта задача полностью аналогична дифракции плоской волны на черномшаре.
При ` `0 = ka частицы не сталкиваются с шаром, соответствующие S` = 1. При ` `0 частицы полностью поглощаются, S` = 0.Область ` ≈ `0 не дает большого вклада в сечение. Таким образом, вхорошем приближении`0π Xπ`2σel = σin = 2(2` + 1) = 20 = πa2 ;kkσtot = 2πa2 ,`=0т.е. полное сечение вдвое больше классического (14.30).Согласно (14.35) амплитуда упругого рассеяния`0i Xf (k, θ) =(2` + 1)P`(cos θ).2k`=0При больших ` можно заменить суммирование интегрированием (A.10).Тогда получаетсяif (k, θ) ≈kZ`0`J0(`θ)d` =iaJ1(kaθ).θ0Поэтому (с учетом (A.11))dσela 2= |f | ≈dΩ4 2(ka)2приθ 1/ka,(8/πkaθ2) sin2 (ka − π/4)приθ 1/ka.Иными словами, сечение упругого рассеяния велико лишь в области малых углов θ ≤ (1/ka).Для классических частиц дифракция практически не наблюдаема.Так, при m ∼ 1 г и v ∼ 1 см/с углы дифракции на шаре радиуса a ∼ 1см – порядка θ ∼ (~/mva) ∼ 10−27.
Увидеть это рассеяние можно былобы лишь на расстояниях а ∼ θ−1 ∼ 1027 см (размер видимой Вселенной).21114.3.6.Резонансное рассеяниеРассмотрим, как проявляются в рассеянии квазистационарные состояния, подобные изучавшимся в разд. 5.3.3. Ниже мы будем рассматриватьамплитуду как функцию энергии частицы E.Перепишем Rk`(r) ∼ sin(kr − π`/2 + δ` )/r в видеRk`(r) →Ca` (E)eikr + a∗` (E)e−ikr ;ra` (E) = −iei(δ` −π`/2) .При этом в соответствии с (14.34) парциальная амплитуда естьa(E)11`e2iδ` − 1 =(−1)` − 1 .(14.42)f`(E) =∗2ik2ik a` (E)Пусть в рассматриваемом поле V (r) возможно квазистационарное состояние при E = E0 = Er − iΓ/2 и Γ E.
Тогда асимптотика Rk`(r)при данной энергии должна содержать только расходящуюся волну3, т.е.должно быть a∗` (E0) = 0. Тогда простейшая аппроксимация вблизи резонанса имеет вид: a∗` (E) ≈ β`∗ (E − E0) ≡ β`∗(E − Er + iΓ/2).Отсюда следует, что парциальная амплитуда имеет полюс при E =∗E0 = Er − iΓ/2: E−E−iΓ/2β1r`f`(E) =e2iδ`0− 1 , e2iδ`0 = (−1)` ∗ . (14.43)2ikE − Er + iΓ/2β`При этом δ` = δ`0 − arctg[Γ/2(E − Er )], и δ`0 – фаза рассеяния вдали отрезонанса. При прохождении через резонанс фаза рассеяния изменяетсяна π. Обычно фаза δ`0 невелика, и парциальное сечение имеет резонансную зависимость от энергии, при Γ Erσ` =π(2` + 1)Γ2k 2 (E − Er )2 + Γ2 /4(Сравните с резонансной кривой для колебательного контура).Форма кривой сильно меняется, если нерезонансная (медленно меняющаяся) фаза δ`0 заметно отличается от нуля.
В частности, если δ`0 = π/2,то сечение в точке резонанса обращается в нуль, и появляются два пикапри |E − Er | = Γ/2 (с провалом между ними).Именно такое условие использовалось в разд. 5.3.3 для определения ширины квазиуровня Γ в заданном поле.3212Чтобы выяснить смысл величины β`, вернемся к нестационарной задаче, изучавшейся в разд. 5.3.3. При E = Er −iΓ/2 радиальная волноваяфункция на больших расстояниях естьRk` (r) =eikr∗β` (−iΓ).rЕсли Rk` (r) нормирована во внутренней области на единицу, то полныйпоток в расходящейся волне vΓ2 |β` |2 должен равняться вероятности распада Γ/~.
Отсюда1|β` |2 =.~vΓСоотношение (14.43) показывает, что резонансам в рассеянии отвечают полюса в нижней полуплоскости комплексной энергии. Можно показать, что при аналитическом продолжении f`(E) в область отрицательных энергий E связанным состояниям с энергией En < 0 соответствуютполюса амплитуды рассеяния при E = En (ср. (2.23)). Это еще одно проявление "родства" связанных состояний и резонансов (квазиуровней).14.4.Задачи1. Получите в борновском приближении дифференциальное сечениерассеяния и указать критерий применимости для потенциалов(a) V (r) = (g/r)e−µr (Юкава);(b) Are−br;−U при |r| < a,(c) V =(прямоугольная яма).0при |r| > a2. Вычислить сечение упругого рассеяния быстрых электронов атомомводорода в основном состоянии.3.
Быстрый электрон упруго рассеивается протоном, находящимся восновном состоянии в поле U = mω 2~r2 /2. Вычислить дифференциальное сечение.4. Для сферической потенциальной ямы (барьера) радиуса R найтисечение рассеянияа) в борновском приближении;б) для медленных частиц (включая и резонансное рассеяние – ср.Галицкий и др., задача 13.35).5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
