Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Сравнить ее с Доплеровской шириной при комнатной температуре.Γ211 3Ответ для n=2:= 9 α ≈ 3 · 10−8 с.~ω2,13На атом водорода, находящийся при t = 0 в основном состоянии,действует однородное электрическое поле E~ = E~0 sin ωt. Вычислитьвероятность ионизации в единицу времени в низшем порядке теориивозмущений (электрон в конечном состоянии считать свободным).Описать поведение системы, в которой две частоты перехода близкик частоте возмущения, (наподобиеописания в разд.
13.4).∞при x < 0,Для одномерной ямы U =0при 0 < x < a; x > b,U0(1 − x/b) при b > x > a .найти время жизни n-го состояния в квазиклассическом приближении; считать b/a большим.192Глава 14РАССЕЯНИЕ14.1.Постановка задачи. Общие соотношения14.1.1.Амплитуда рассеяния. Сечение рассеянияВ задаче рассеяния рассматриваются две частицы, первоначально удалённые друг от друга на большое расстояние. По этому известному начальному состоянию требуется определить возможные конечные состояния и вероятности перехода в каждое из них. К сожалению, решениеодномерной задачи рассеяния (разд. 2.6) содержит слишком много специфических деталей, и мы не можем прямо распространить эти выводына реальный трёхмерный случай.
Как известно (см. разд. 8.1), проблемастолкновении двух тел, взаимодействие которых описывается потенциалом V (r − r0 ), сводится к задаче о движении одной частицы в поле V (r),создаваемом некоторой (бесконечно тяжелой) мишенью.В силу принципа суперпозиции, за начальное состояние можно принять волну любого вида. Стандартный выбор, апеллирующий к простоте интерпретации, состоит в выборе начального состояния в виде стационарной плоской волны частиц с импульсом p = ~k ≡ ~(0, 0, k) (снеизменным потоком падающих частиц, движущихся из бесконечности).• Рассмотрим подробно упругое рассеяние, т.е. случай, когда взаимодействие с рассеивателем порождает расходящуюся сферическую волну,в которой импульсы частиц p0 направлены по радиусу от центра:rp21p ≡ ~k = (0, 0, ~k); p ≡ ~k = ~k ; E =; λ= .(14.1)r2mkУгол между направлениями p и p0 называют углом рассеяния θ.В нашей стационарной задаче искомые вероятности переходов представляют собой отношения потоков рассеянных частиц к потоку падающих частиц.00193Обозначим через a размер области, где существенно отличие потенциала взаимодействия V (r) от нуля1 .
Вдали от рассеивателя r a, λволновая функция должна быть суперпозицией падающей плоской волны eikz и рассеянной расходящейся сферической волны:eikrпри r a, λ .(14.2)ψ = ψпад + ψрас = eikz + f (k, k0) ·rЭто соотношение можно рассматривать как граничное условие для уравнения Шредингера(∆ + k 2 )ψ(r) = (2m/~2)V (r)ψ(r) ,(14.3)подобное условию (падающая волна + отражённая волна слева, прошедшая волна справа) для одномерной задачи рассеяния.Введённую в (14.2) величину f (k, k0) называют амплитудой рассеяния. Её исследование — основная задача теории рассеяния. (Нередкомы пишем f (k, θ) вместо f (bf k, k 0).) Поток вероятности и сечение.Вычислим поток вероятности на больших расстояниях, где справедлива асимптотика (14.2):i~(ψ ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ) = jпад + jинтерф + jрас .(14.4a)2m~ ikz = i~keikz и ∇[e~ ik~0~r /r] = [ik~0 − ~r ][eik~0~r /r], найдёмУчитывая, что ∇er3~kjпад =– поток падающих частиц,m~k0jрас =|f (k, k0 )|2– поток рассеянных частиц,2mr~jинтерф =(k + k0 )[f (k, k0 )e−i(kr−kr) + f ∗(k, k0 )ei(kr−kr) ] −2mrинтерференционный поток.(14.4b)В третьем выражении отброшены слагаемые, убывающие с ростом расстояния быстрее выписанного.
Полный поток, рассеянный в телесный угол dΩ (не включающийθ=0), естьdJрас = jрас r2 dΩ = (~k/m)|f |2dΩ.j=Этот размер задается формой взаимодействия. Для ядерных сил V (r) ∼e/r с a ∼ 10−13 см.1−r/a194Его отношение к плотности потока падающих частиц называют дифференциальным сечением упругого рассеяния:dσупр =dJрас≡ |f |2 dΩ.jпадСоответственно полное сечение упругого рассеяния есть:ZZσупр = dσупр = |f |2 dΩ.(14.5)(14.6)Очень часто рассеяние бывает чисто упругим, тогда эпитет "упругое"при описании сечений отбрасывают.O В задачах статистической физики рассеяние часто характеризуетсявеличиной транспортного сеченияZσtr = (1 − cos θ)dσ .(14.7)• Нередко часть падающих частиц после столкновения с рассеивателем меняет свою энергию или исчезает (при рассеянии электрона наатоме последний может перейти в возбуждённое состояние, позаимствовав энергию у электрона; при столкновении с ионом электрон можетпоглотиться с образованием атома и испусканием фотона,...). В стационарном режиме поглощенные частицы не копятся в рассеивателе, потокиэтих "переродившихся"частиц – также расходящиеся волны, подобные(упругой) рассеянной волне.
В таком случае величины, подобные (14.6)называют сечениями неупругих каналов реакции, их сумма и составляет сечение неупругого рассеяния σнеупр . Полное сечение – этосуммаσtot = σупр + σнеупр .(14.8)H В полный интерференционный поток Jинтерф = jинтерф dS входит только амплитуда упругого рассеяния (остальные состояния отличаются от исходного). Подставим в этот интеграл определение (14.4b) иравенство dS = r2 d cos θdφ:Z~kJинтерф =(1+cos θ)[f (k, θ)e−i(kr−kr) +f ∗(k, θ)ei(kr−kr) ]rdrd cos θdφ .2mВыполним теперь тривиальное интегрирование по dφ и замену x = cos θ.195Математическая вставкаРассмотрим при r → ∞ интегралZ 1J=eikrx g(x)dx .(14.9a)−1Проинтегрируем его по частям:J = (1/ikr)eikrxg(x)|1−1 − (1/ikr)Z1eikrx g 0 (x)dx .−1Повторение этой процедуры дает ряд по 1/r. При больших r в этом рядудостаточно удержать только первый член, что дает:J = (1/ikr)[eikr g(1) − e−ikr g(−1)] .(14.9b)Применяя полученный результат к функции Jинтерф, для которойg(cos θ) = f (k, θ)(cos θ + 1), получим2π~ ∗Jинтерф =(f (k, θ = 0) − f (k, θ = 0)) ⇒(14.10)imJинт = −(4π~/m)Im f (k, 0) .
∗ Описание потоков частиц плоскими волнами – это, конечно, приближение. В действительности потоки частиц образуют волновые пакеты (1.2),и физические амплитуды рассеяния представляют собой свёртки обсуждавшихся выше монохроматических амплитуд с амплитудами волновых пакетов A(~k). В большинстве случаев интервал усреднения волнового пакетаменьше, чем масштаб изменения амплитуды рассеяния, и эта "пакетность"не вносит ничего нового. Однако, иногда реализуются и противоположныеситуации. В этих случаях понятие сечения рассеяния неприменимо, наблюдаемые величины зависят от соотношения между распределением частиц всталкивающихся сгустков и характерными длинами их волн. Ниже мы нерассматриваем эту возможность.14.1.2.Оптическая теорема Рассеяние – стационарный процесс без накопления чего–нибудь врассеивающем центре.
Поэтому должно иметь место сохранение вероятности: в случае упругого рассеяния число выходящих за секунду частицдолжно совпадать с числом входящих частиц, а в случае неупругого рассеяния разумным образом рассчитанный полный расход частиц такжедолжен совпадать с полным приходом.196Проинтегрируем полный поток j (14.4b) по поверхности сферы большого радиуса, включив сюда и потоки частиц в других конечныхH состоRяниях. Источников при конечных r нет, поэтому должно быть j dS =divj dV = 0.
Вклад падающего потока в этот интеграл обращается внуль. Следовательно, должно бытьIjdS ≡ 0 ⇒ Jинтерф + Jрас = 0.Подставим сюда полученное выражение Jинтерф (14.10). В Jрас следует учесть потоки частиц во всех конечных состояниях, т.е. Jрас =(~k/m)σtot. В итоге получается оптическая теорема – важнейшее следствие сохранения вероятности:Im fel (k, 0) =kσtot .4π(14.11)(Значок el напоминает, что слева стоит амплитуда упругого рассеяния.)Иными словами, интерференция падающей волны с волной, рассеянной на нулевой угол ("прошедшей через рассеиватель"), уменьшает поток частиц, летящих вперед. Это обеспечивает сохранение вероятности –в полной аналогии с уравнением сохранения вероятности в одномерномслучае (2.25).
В частности, рассеяние не может быть чисто неупругим.При рассеянии частиц очень высокой энергии рождается много новыхчастиц, наблюдать их все в каждом случае практически невозможно. Поэтому не удаётся прямо измерить полное сечение. В этом случае нередкооказывает помощь оптическая теорема. Для упругого рассеяния удаётся определить амплитуду рассеяния на угол ноль, и отсюда с помощью(14.11) находят полное сечение.
Особенности рассеяния частиц со спином.При рассеянии частиц со спином все амплитуды и сечения зависятеще и от спинов. Число отличных от нуля спиновых амплитуд определяется законом сохранения момента. В частности, для рассеяния вперед (в системе центра масс) сохраняется проекция спина на импульс(спиральность). Так, для рассеяния электрона на протоне (спины 1/2)эти проекции λe и λp могут быть равны ±1/2 (±) и полная спиральность есть λ ≡ λe − λp .
Для рассеяния вперед отличны от нуля только амплитуды f+,+→+,+ ≡ f−,−→−,−, f+,+→−,− ≡ f−,−→+,+ (λ = 0) иf+,−→+,− ≡ f−,+→−,+ (λ = ±1). Равенства между амплитудами с противоположными спиральностями следуют из сохранения чётности. Наличие197переходов (+, +) → (−, −) означает, что рассеянный вперед электронможет изменить свою поляризацию.Если сечение рассеяния мало, то слой рассеивателей практически прозрачен для падающих частиц (как Земля для потока нейтрино). Приэтом, однако амплитуда рассеяния не настолько мала и вычисление, подобное тому, что привело нас к оптической теореме, показывает, что интерференция падающей волны с рассеянной на поляризованной мишени,различная для разных переходов, может привести к перераспределениюпрошедших частиц по поляризациям (как в прозрачной среде с двоякопреломлением) при сохранении полного их числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
