Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 34
Текст из файла (страница 34)
10.2.1).Если состояние |di есть |n`mi, а состояние |ui = |n0 `0 m0 i, то (с учетомправил сложения моментов и сохранения чётности) должно быть`0 − ` = ±1, 0 m0 − m = ±1, 0 ,чётность состояния должна меняться на 1 .(13.32)Эти правила отбора можно понимать также как следствие того, чтофотон – это частица со спином 1.♦ Мы рассмотрели выше электрическое дипольное излучение. Возможны также переходы, для которых эти правила отбора не выполняются, они называются запрещёнными, поскольку их вероятности значительно меньше вероятностей электрического дипольного излучения.Амплитуда магнитно–дипольного излучения в v/c ∼ α раз меньше, т.е.его вероятность меньше в α2 раз. Вероятность квадрупольного излучения меньше вероятности дипольного излучения в (aB /λ)2 раз, где длинаволны λ = 2πc/ω. Для атома водорода (aB /λ) = α/8π ∼ 10−3.
Приэтом для магнитно–дипольных переходов и квадрупольных переходовчётность сохраняется, а для квадрупольных переходов к тому же можетбыть ∆` = ±2.13.6.4.Собственная ширина уровняРассматривая атомные системы до сих пор, мы учитывали только (кулоновские по происхождению) взаимодействия электронов и ядер другс другом. Это привело нас к концепции стационарных уровней энергииэтих систем. Учёт запаздывания фактически вводит дополнительное взаимодействие с электромагнитным полем вне ядер и электронов.
Это взаимодействие ничтожным образом смещает уровни энергии. Более важно,что при этом уровни перестают быть в точности стационарными, в этомприближении необходим учитывать возможность спонтанного переходас верхнего уровня u на один из нижних d с одновременным излучениемфотона частоты ωud . Скорость этих переходов описывается соотношением (13.31). Полная скорость уходов с уровня u даётся суммированиемпо всем нижележащим уровням d, она связана с временем жизни τ и188собственной шириной уровня Γ соотношениями:ru =Xdrud ,τ=1,ruΓ=hbar≡ ~ · ru .τ(13.33)Рассмотрим для примера скорость перехода, время жизни и собственную ширину для состояния |k + 1, ` = k, mi атома водорода.
Согласноправилам отбора, возможен только переход |k + 1, ` = k, mi → |k, ` =k − 1, mi. Вместо полного вычисления мы получим грубую оценку, справедливую при k 1.Энергии рассматриваемых состояний Eu = −Ry /(k + 1)2 и Ed =−Ry /k 2, поэтому ωud = Ry (2k + 1)/~k 2(k + 1)2 ≈ 2Ry /~k 3. Матричныйэлемент zud – близок к радиусу соответствующей орбиты aB k 2.
Поэтому в соответствии с (13.31) время жизни и собственная ширина уровнясоставляют 3 2 2 5~ ~cek~ k5~c3τ∼ 2 3 2 4∼=,4e ω aB kRy e22aB Ry8Ry 8α3Γ4α3≈ 2 .~ωmnkПодстановка чисел дает τ ≈ 2 · 10−12k 5 c, Γ/(~ωmn) ≈ 10−6/k 2.Время жизни уменьшается, а собственная ширина увеличивается длясостояний |k + 1, `hk, mi, поскольку для них становятся возможнымипереходы на несколько нижележащих уровней (см. задачу 11).13.7.Принципы работы лазеровРассмотрим тело, чьи атомы (или молекулы) имеют возбужденныесостояния u с запрещённым переходом в основное состояние d и с кратностями вырождения этих состояний gu и gd . Обозначим через N (u) иN (d) числа атомов в этих состояниях (заселённости), и через Eud = ~ωud– энергию возбуждения (разность энергий уровней). В термодинамическом равновесии заселённость верхнего уровня меньше, чем нижнего,N (u)/N (d) = (gu /gd)e−Eud /kT (распределение Больцмана).Пусть нам удалось создать инверсную заселённость N (u) > N (d)(один из способов ее создания мы обсудим далее).
Поскольку переходu → d запрещен, система может довольно долго оставаться в этом состоянии (состояние с отрицательной температурой – см. 2 часть курса).189Направим по этому телу луч света (пучок фотонов) с частотой ωud .Под действием поля этих фотонов к очень маловероятному (запрещенному) спонтанному излучению добавится вынужденное излучение, котороеусиливается по мере прохождения вещества, поскольку к первоначальным фотонам пучка будут добавляться все новые и новые излучённыефотоны. Если это тело представляет собой сплошной цилиндр, ограниченный параллельными зеркалами, то в соответствии с (13.27b), при обратном прохождении света сигнал усилится еще сильнее и т.д., до тех порпока инверсная заселённость не ликвидируется. Такую систему и называют лазером (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation).
Каки другие подобные системы, лазер может работать и в режиме усилителя(с внешним возбуждением) и в режиме генератора (когда он возбуждается фотонами от спонтанного перехода).По механизму рождения ясно, что получившееся излучение когерентно и имеет очень малую угловую расходимость (фотоны, летящие подуглом, вылетают наружу и не воспроизводятся; фотоны рождаются когерентно с "родителями"). Это излучение обычно поляризовано.Один из распространённых способов создания инверсной заселённости это – оптическая накачка. Она возможна, если в наших атомах вдополнение к паре уровней d и u существует еще один вышележащийуровень h (Eh > Eu > Ed ), причем переходы h → u, h → d — разрешенные.
Для накачки система освещается интенсивным источником немонохроматического света, среди характерных частот которого есть и ωhd .Забудем на минуту о существовании уровня u. Тогда под воздействиемнашего света средние заселённости уровней h и d практически сравняются (чтобы обеспечить равенство числа переходов сверху вниз и снизувверх; спонтанными переходами можно пренебречь по сравнению с вынужденными).
Наличие уровня u резко меняет дело. После возбужденияуровня h последний быстро излучает — либо в состояние d, либо в состояние u. Но с состоянием d происходит непрерывный обмен, а состояниеu оказывается "могилой", в которой атомы остаются долго, посколькуизлучение из этого состояния запрещено. Со временем в это состояниепереходит все больше атомов, а заселённости состояний d и h становятсявсе меньше — создается необходимая нам инверсная заселённость.19013.8.Задачи1.
Частица находитсяв поле V = −Gδ(x). Волновая функция ψ(x, t =√−|x|/b0) = e/ 2b. Найти вероятность того, что при t → ∞ частицаокажется в связанном состоянии.2. Атом трития (водород с ядром, втрое более тяжёлым, чем протонH 3 ) находится в основном состоянии. В атомном масштабе времени β – распад ядра (H 3 → He3 + e + ν̄) происходит мгновенно.Чаще всего энергия электрона значительно больше атомной. Поэтому получившиеся электрон и антинейтрино улетают, практическине взаимодействуя с атомным электроном, а ядро превращается вядро He3 .
Пренебрегая отдачей ядра, определить вероятность того,что получившийся водородоподобный атом He+ • останется в основном состоянии; • перейдёт на n-ый уровень. Оценить поправкуна отдачу ядра для перехода в основное состояние (дать численныеоценки).3. Найти вероятности переходов из n–го состояния бесконечно глубокой прямоугольной ямы и осциллятора под действием возмущения2V (x, t) = −eExf (t) для случаев •(a) f (t) = e−(t/τ ) при t0 = −∞,τ2•(b); f (t) = 2при t0 = −∞, •(c) f (t) = 1 − e−t/τ при t0 = 0.2τ +t(2)4. Найти амплитуду перехода am,n во втором порядке теории возмущений, вслед за (13.7).5. Найти амплитуду перехода из основного состояния в другие состояния при расширении бесконечной прямоугольной ямы а) медленном;б) мгновенном.
Каковы условия применимости теории возмущений.6. Частица находилась в связанном состоянии в поле V = −G0 δ(x). Вмомент времени t = 0 яма внезапно углубилась G0 → G1 = G0 +∆G. Найти вероятность того, что частица останется в яме. Найтираспределение по импульсам улетевших частиц.7. Плоский ротатор находится в состоянии с определенным значениемLz = ~m. Найти вероятности различных значений Lz под действиемэлектрического поля Ez = f (t)E0.8. Вычислить вероятности переходов из основного состояния в возбужденные для бесконечной потенциальной ямы ширины 2a под дей−t/T θ(t) иствием возмущений V = (F x+ Bx cos ωt)eV = F x + Bxe−t/T cos(ωt) θ(t).1919.
На заряженный осциллятор, находящийся в основном состоянии накладывается однородное электрическое полеE(t) =10.11.12.13.14.E0 e−|t|/τE0 (1 − et/τ )при t0 = −∞ (a)при t0 = 0(b).Найти вероятности возбуждения различных состояний осцилляторав первом порядке теории возмущений.Найти собственную (радиационную) ширину 1-го возбужденного уровня заряженного трехмерного осциллятора Ĥ = p~ˆ2 /2m + mω 2 x2 /2.Найти собственную (радиационную) ширину для состояний |2, 1, 0i,|3, 1, 0i и |n` = n − 1, mi для атома водорода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
