Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Это и делается ниже.• Если U (r) не зависит от направления, то гамильтониан коммутирует с компонентами оператора момента импульса, например, [`ˆx, Ĥ] = 0,[`ˆy , Ĥ] = 0. Поэтому в силу теоремы (2.11) стационарные состояния вырождены. В силу той же коммутативности, существуют общие собственные функции гамильтониана и операторов `ˆ2 и `ˆz . Это означает, что приотыскании таких функций должен работать метод разделения переменных. Для детального описания здесь удобны сферические координаты, вних уравнение Шредингера имеет вид: 2~2∂2∂~2∆θ,φ−+−+ U (r) ψ(r, θ, φ) = Eψ(r, θ, φ).2m ∂r2 r ∂r2mr2Здесь ∆θ,φ – угловая часть оператора Лапласа1.
Она совпадает с оператором −ˆl2 (7.15).Разделяя переменные, т.е. записав ψ = R(r)Z(θ, φ), мы можем использовать для угловой части Z найденные выше решения задачи насобственные значения `ˆ2Y`m (θ, φ) = `(` + 1)Y`m(θ, φ). В итоге волноваяфункция принимает вид:ψ = R` (r)Y`m(θ, φ) ,(8.2)и для радиальной функции получается уравнение 2~2d2 d−+RE` + Uef f RE` = E`RE` ,2m dr2 r dr(8.3a)~2 `(` + 1)Uef f = U (r) +.2mr21В классическом случае первый член отвечает квадрату оператора радиального импульса p̂2r . Однако, в криволинейных (сферических) координатах этот оператор уже не связан с радиусом–вектором r соотношениемp̂r = −i~(∂/∂r).
Именно поэтому радиальная часть лапласиана не являетсяквадратом какого-нибудь "естественного" оператора.123Вопреки ожиданиям, это уравнение не выглядит похожим на одномерное уравнение Шредингера, но оно преобразуется в обычное одномерноеуравнение Шредингера на полупрямой с зависящим от ` потенциаломUef f (r), заменившим U (r) для функции χE` = rRE` ,d2χE` 2mUef f (r)2mE−+χE` = k 2χE`k2 =, χE` = rRE` . (8.3b)22dr~~2и с обычным условием нормировки в дискретном спектреZ∞0|RE` |2 r2dr =Z∞0|χ2E`| dr = 1 .(8.3c)Конечность RE` (r) в нуле выглядит как граничное условиеχE` (r = 0) = 0 .(8.3d)Ниже мы нередко будем использовать значок k вместо E в обозначениирадиальных функций.• В одномерном случае в поле притяжения при U (x → ±∞) = 0 всегда существовал хотя бы один дискретный уровень энергии.
В трёхмерном случае это не так. Граничное условие (8.3d) "выталкивает" уровень.В общем случае потенциала, сосредоточенного в области размера a. гдеего характерное значение составляет V ,дискретные уровни не существуют, если |V | < ~2/(2ma2) .(8.4)Иными словами, дискретный уровень может существовать только еслиабсолютное значение средней характерной потенциальной энергии в области локализации потенциала больше кинетической энергии, необходимой для локализации внутри этого объёма. Собственные значения энергии нумеруются, начиная с наименьшего.
Поэтому – по определению – с ростом nr при фиксированном ` энергия состояния возрастает. Используем правило дифференцирования энергии по параметру:∂Enr `∂ Ĥ~2(2` + 1)= hnr , `||nr , `i = hnr , `||nr , `i ≥ 0.∂`∂`2mr2(8.5)Это означает, что в центрально–симметричном поле с ростом ` прификсированном nr энергия возрастает.124H Поведение при r →0. Пусть r2 U (r) → 0 при r → 0.
Тогда при малыхr в радиальном уравнении (8.3b) остаётся только центробежный член, и00оно принимает вид χk` = `(` + 1)χk`/r2. Его решение можно искать ввиде χ` = ra , и уравнение принимает вид a(a − 1) = `(` + 1), т.е. егорешения имеют вид Rk` = χE` /r ∼ r` и Rk` = χE` /r ∼ r−`−1. В итогеRE` → r` или → r−(`+1) при r → 0 .(8.6)Второе решение не удовлетворяет граничному условию, обычно оно отбрасывается. Отметим, что ψ(0) 6= 0 лишь для ` = 0.H Поведение при r → ∞. Если поле убывает с расстоянием достаточнобыстро, то при r → ∞ можно пренебречь эффективным потенциалом, и00уравнение Шредингера (8.3b)принимает вид χk` = −k 2 χk` .
Поэтомуsin(kr + α)2mERE` ∼при E > 0k2 =,r~2 (8.7)2m|E|e−κr2RE` ∼при E < 0κ =.r~2• Терминология. Величину ` называют орбитальным квантовым числом, а m – магнитным . Значения ` = 0, 1, 2, 3, ... обозначают буквамиs, p, d, f, ..., соответственно. (Эти обозначения сложились из названий спектральных линий атома водорода — sharp, principal, diffusive,fundamental, а дальше просто по алфавиту.) Радиальным квантовымчислом называют число нулей nr функции R` (r). Главным квантовымчислом называют число n = nr + ` + 1.O В дальнейшем мы будем обозначать состояния атомных системзначком |N i, понимая под N набор квантовых чисел nr . `, m и другиевозможные квантовые числа, появляющиеся при описании более сложных систем.8.2.Поле, быстро убывающее с расстояниемВ большинстве физически интересных случаев взаимодействие быстро убывает с расстоянием так, что начиная с некоторого расстояния R0движение можно считать свободным.
Если к тому же kR0 1, то приr > R0 реализуются обе рассмотренные выше асимптотические возможности, а требование обращения χ` (r) в нуль при r → 0 для решения вэтой области перестаёт быть обязательным. Мы и разберём сейчас такое"свободное"движение.12500При ` = 0 уравнение Шредингера имеет вид χ + k 2 χ = 0. Выберемдва независимых решения этого уравнения:rrcs2 sin(kr)2 cos(kr)χ (r)χ (r)cs=; Rk0(r) ≡ k=. (8.8)Rk0(r) ≡ krπ rrπrЭти решения нормированы на δ – функцию "по шкале k":Zχk · χp dr = δ(k − p).Для случая ` 6= 0 выделим из Rkl множитель r` (поведение при малыхr) Rk` = r` φ` (r).
Тогда уравнение Шредингера (8.3b) примет видφ0`φ` + 2(` + 1) + k 2φ` = 0.rПродифференцируем это уравнение по r и подставим f (r) = φ0` /r.Получившееся уравнение совпадает с уравнением для φ`+1. Это означает,1 dφ`что φ`+1 ∝ f (r) =. Решая это рекуррентное соотношение, найдемr dr(ниже еще восстановлена нормировка)! r r ` 1 d ` r 2 sin(kr)ksRk`(r) =−≡J`+1/2(kr);kr drπ rr(8.9)! rr` r `1 d2 cos(kr)kc−Rk` (r) =≡N`+1/2(kr).kr drπrr00Здесь Jα (x) и Nα (x) — функции Бесселя и Неймана соответственно.
(Дляполностью свободного движения χ(0) = 0, остается только решение Rs .)Проверим, что асимптотики этих решений совпадает с (8.6) и (8.7).• При kr 1 sin(kr)/r раскладывается в ряд по степеням r2, идифференцирование [(1/r)d/dr]` "убивает"` первых членов этого ряда,sоставляя константу. В итоге Rk`∝ r` . Точно так же в "косинусном"решениипри малых r имеем cos(kr)/r ∼ 1/r. Дифференцирования превращают1/r в r−(2`+1).
В итоге при kr → 0 имеем в соответствии с (8.6)rr`2k(kr)2 (2` + 1)!!scRk`→; Rk`→.π (2` + 1)!!π r(kr)`• При kr 1 d sin(kr + α)sin(kr + α − π/2)1−→k+O 2 ,drrrr126т.е. в этом пределе "выживает"только первый член и каждое дифференцирование сдвигает аргумент синуса или косинуса на π/2. В итогеrr2 sin(kr − `π/2)2 cos(kr − `π/2)cs; Rk`→.(8.10)Rk`→πrπrВ реальном случае поле быстро убывает с расстоянием, при большихr движение практически свободное, и волновая функция есть суперпозиция решений (8.9).
При kr 1 её записывают в виде суперпозицииасимптотик (8.10)Rk`(r) ∼sin(kr − `π/2 + δ` ).r(8.11)Получившийся сдвиг фаз δ` называют ещё фазой рассеяния. Чтобы найтиеё, надо решить соответствующее радиальное уравнение Шредингера ив окрестности начала координат.2 Пример решения радиального уравнения даёт нам компьютерноемоделирование. Центрально–симметричный потенциал аппроксимируют последовательностью ступенек (по радиусу). В каждой из них решения имеют вид (8.9) с соответствующим k, действительным или мнимым(при E − Uih0). Правила сшивки на каждой границе те же, что и дляобычного одномерного движения.
Компьютер стартует с r = 0, где решение имеет форму Rs (r). После последней границы должно получатьсялибо экспоненциально убывающее решение (дискретный спектр), либорешение в форме (8.11) (непрерывный спектр). В первом случае условие исчезновения растущей экспоненты дает уровни энергии, во второмслучае из решения получаются фазы рассеяния. Квазиклассическое приближение для Rn` (r).Для ` = 0 центробежная энергия ~2`(` + 1)/(2mr2) отсутствует, иполучается одномерная задача на полупрямой (с условием χ(0) = 0).Для ` 6= 0 в условие применимости квазиклассического приближениявходит Uef f , а не U .
Для малых r это сводится к условию ` 1. Можнопоказать, что правильная асимптотика R(r) получается если в выражении для Uef f заменить `(` + 1) на (` + 1/2)2. (Это связано с тем фактом,что при малых r поведение Uef f вблизи точки поворота заметно отличается от случая однородного поля, который использовался при выводеквазиклассических условий квантования.) Следует помнить, что за счетцентробежного члена обе точки поворота расположены при r 6= 0.1278.3.Кулоновская задача. Атом водородаОписание строения атома – важнейшая задача квантовой механики.Для всех атомов такое описание строится по образцу того, что удаётсясделать для простейшего атома – атома водорода с гамильтонианом2p̂2e2− .Ĥ =2mr(8.12)Мы рассмотрим только связанные состояния E < 0.Введем естественные для задачи единицы – длины aB = ~2/me2 =0.53·10−8 см (боровский радиус) и энергии Ry = me4 /2~2 = 13.6 эВ (Ридберг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
