Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Операторы b̂(q) и b̂+ (q) — операторыуничтожения и рождения фононов данного типа. Здесь применимы всерезультаты, полученные ранее для линейного осциллятора. В частности,произвольное состояние колебаний нашей цепочки можно определять набором натуральных чисел, обозначающих число фононов в каждом изсостояний (вторичное квантование– см. раздел 11.1.2).R♦ Вклад в энергию (1/2) ~ω(q)dq в (6.29) отвечает "нулевым колебаниям" осцилляторов и наблюдается в виде размазки положений ионовв решётке даже при нулевой температуре.
Из-за этого дифракция рентгеновских лучей на кристалле при очень низких температурах даёт неточки, как должно было бы быть для закреплённых ионов, а пятна, размер которых определяется амплитудой нулевых колебаний.Внешние воздействия на кристалл не могут изменить этого вклада.Поэтому часто его принимают за начало отсчёта энергии, и отбрасываютв дальнейшем анализе.Специальная возможность наблюдать подобный вклад – изучение эффекта Казимира обсуждается во второй части курса.6.3.2.Цепочка двухтомных "молекул".Рассмотрим ещё модель цепочки из двухатомных молекул, состоящихиз одинаковых "ионов" массы m, связанных пружинками чередующейсяжесткости k1 = mω12 и k2 = mω22 .
При k1 > k2 естественно считать "молекулой" пару ионов, связанную пружинкой жесткости k1 , а пружинкижесткости k2 сопоставлять межмолекулярным связям. Обсудим сначала простейшую модель двухатомной молекулы в кристалле: 2 иона, связанных пружинкой k1 и соединённых со стенками справа и слева пружинками меньшей жесткости k2, смещения этих ионов отположения равновесия обозначаются u1 и u2 соответственно. Гамильтониан этой "молекулы"p21p22mω12 (u1 − u2)2 mω22 (u21 + u22 )Ĥ =+++.2m 2m22Перейдём к комбинированным смещениям√u± = (u1 ± u2)/ 2100(6.30a)(6.30b)и соответствующим импульсам. В этих координатах наш гамильтониан разбивается на сумму гамильтонианов Ĥ+, описывающего движение"молекулы" как целого (движение центра масс), и Ĥ−, описывающегоотносительное движение "атомов" в "молекуле" – симметричные колебания относительно центра тяжести,u+ ± u−u± = √⇒ Ĥ = Ĥ+ + Ĥ− ,2(6.30c)2 2p2±mω±u±222Ĥ± =+; ω− = 2ω1 + ω2 , ω+ = ω2 .2m2Нетрудно проверить, что использованные преобразования сохраняютдля новых смещений и импульсов те же перестановочные соотношения(1.20), что и для исходных, ср.
(6.26). Поэтому для описания состоянийкаждого из осцилляторов достаточно повторить сказанное в разделе 4.1.Мы видим, что частота колебаний "молекулы" как целого ω+ определяется только жесткостью "внешних" связей "молекулы", она относительно невелика. Частота колебаний расстояния между "ионами" ω−относительно велика.
(У√ свободной молекулы это были бы обычные колебания с частотой ω1 2.) Цепочка двухатомных "молекул".Гамильтониан рассматриваемой цепочки двухатомных "молекул"имеетвид22222X p2pk(u−u)k(u−u)2n2n+12n2n−12nH=+ 2n+1 + 1+ 2. (6.31)2m2m22n("Пружинки" (2n) − (2n + 1) отвечают связям внутри "молекулы", а"пружинки" (2n) − (2n − 1) – межмолекулярным связям.) Здесь за элементарную ячейку можно принять отрезок от чётного иона до следующего чётного иона, или от нечётного до нечётного, или ... Размер элементарной ячейки мы принимаем равным 2a (так что расстояние междусоседями составляет a), т.е.
мы обозначаем xn = 2na.Разложение по собственным функциям оператора конечного сдвига(разложение Фурье) вида (6.19) выполняется отдельно для смещенийчётных и нечётных частиц:rr1 P1 Pu2n =Uev (q)e−iqxn , u2n+1 =Uod (q)e−iq(xn+a) ,NN nr nr(6.32)P1 P1p2n =Pev (q)eiqxn , p2n+1 =Pod (q)eiq(xn +a) .N qN q101(Дополнительный сдвиг аргумента у координат нечётной частицы учитывает реальное расстояние между соседями. Обратные преобразованиялегко выписываются по образцу (6.19)).Подстановка этих выражений в гамильтониан – в полной аналогии с(6.21) – преобразует его в сумму гамильтонианов пар связанных осцилляторов, отвечающих отдельным значениям квазиимпульса,Ra π/2a1 PH=H(q) ⇒dqH(q) ,N qπ −π/2a∗∗Pev (q)Pev(q) Pod (q)Pod(q)H(q) =+2m2m22ω + ω2∗∗[Uev (q)Uev(q) + Uod (q)Uod(q)]+m 12ω12 + ω22∗∗−m(q) + Uod (q)Uev(q)]cos(qa/2) [Uev (q)Uod2ω12 − ω22∗∗+imsin(qa/2) [Uev (q)Uod(q) − Uod (q)Uev(q)] .2(6.33)Таким образом, гамильтониан преобразован в сумму гамильтониановсистем с двумя степенями свободы каждый, чьи параметры зависят отквазиимпульса q, пробегающего значения (6.2c) (частичная диагонализовация).
Каждый из этих гамильтонианов напоминает гамильтониануединённой молекулы (6.30) и обладает теми же свойствами симметрии.Далее гамильтониан H(q) преобразуется к диагональной формеH(q) = H+ (q) + H− (q) ,2P±2mω±(q)U±2 (q)H± (q) =+2m2(6.34a)с помощью преобразований (ср. (6.30b)Uev (q)eiφ ± Uod (q)e−iφ√U±(q) =,2Pev (q)e−iφ ± Pod (q)eiφ√P± (q) =.2(6.34b)Угол φ и частоты нормальных осцилляторов определяются стандартнымобразом (диагонализация квадратичной формы потенциальной энергии):ω 2 − ω22tg2φ = 12tg(qa) ,ω1 + ω22p2ω±= ω12 + ω22 ∓ (ω12 + ω22 )2 − 4ω12ω22 sin2 (qa) .102(6.34c)ω/ωmax10.80.60.40.2qa−π−π/20π/2πРис. 6.1.
Две ветви колебаний в решётке с двумя типами связей при ω2 = 3ω1 /4.Этот спектр изображен на рис. 6.1.Нетрудно проверить, что, как и в случае одной молекулы, использованные преобразования сохраняют для новых смещений U (q) и импульсов P (q) те же перестановочные соотношения (1.20), что и для исходных.♦ При небольших q получается2ω+2ω12 ω22≈ 2sin2 (qa) ,2ω1 + ω22ω−≈ 2(ω12 + ω22).(6.35)В соответствии с (6.34b) колебания ω− – высокочастотные, в этих колебаниях соседние ионы колеблются в противоположные стороны (противофазно). Такие колебания могут возбуждаться электромагнитной волной с длиной волны ∼ a – светом. Поэтому они называются оптическими (оптическая ветвь колебаний).
С ростом квазиимпульса частота этих колебаний медленно убывает. Напротив, в колебаниях с частотами ω+ соседние ионы смещаются в одну сторону, среда колеблетсякак целое. Эти колебания естественно назвать акустическими3 , т.к. приСуществование акустической ветви колебаний – чрезвычайно общийфакт.
Н.Н. Боголюбов доказал это, предполагая только, что элементарныевзаимодействия частиц, образовавших вещество, быстро убывают с расстоянием. Частный случай этого утверждения (открытый несколько позднее)известен ныне как теорема Голдстоуна. Условие теоремы Боголюбова невыполняется в плазме – кулоновское взаимодействие заряженных частицубывает с расстоянием медленно В соответствии с этим в полностью ионизированной плазме акустические колебания заменяются на плазменные, укоторых наименьшая частота – не нуль.3103небольших q их pчастота пропорциональна квазиимпульсу (скорость звука C = 2aω1 ω2/ 2(ω12 + ω22)).
С ростом квазиимпульса закон дисперсииотклоняется от линейного.♦ Полезно рассмотреть случай k1 k2 . Тогда закон дисперсии (6.35)для ω+ переходит в закон (6.22a) с заменой m → 2m, k → k2 для "молекул" массы 2m, связанных "пружинками" жесткости k2.
В то же вре√мя закон дисперсии (6.35) для ω− переходит в соотношение ω− = ω1 2для отдельных молекул. Это – частный случай общего утверждения,что спектр оптических колебаний воспроизводит спектр собственныхколебаний уединённой молекулы с "размазкой", которая определяетсяжесткостью связей.♦ При k2 → k1 скачком меняется симметрия – размер элементарной ячейки уменьшается вдвое, и наша цепочка превращается в рассмотренную ранее цепочку одноатомных молекул (в которой мы приняли за размер элементарной ячейки 2a вместо a). В частности, при этом2ω1 = ω2 ≡ ω0 имеем ω±= 2ω02 (1 ± cos(qa)).Две ветви колебаний получатся в этом случае из дисперсионной кривой для случая одноатомных молекул следующим образом.
Поскольку мы удвоили длину элементарной ячейки, интервал изменения квазиимпульса уменьшился вдвое. Поэтому следует считать, что квазиимпульс меняется только в интервале −π/2a < q < π/2a. Часть дисперсионной кривой для одноатомных молекул, расположенная внутриэтого интервала, отображается теперь как акустическая ветвь колебаний.
В соответствии с определением квазиимпульса, его значения в интервале π/2a < q < π/a следует рассматривать как q − π/a, они попадают в интервал (−π/2a, 0), а значения квазиимпульса в интервале−π/a < q < −π/2a следует рассматривать как q + π/a, они попадают винтервал (0, π/2a) (переброс). Так возникают две половины оптическойветви в нашем случае.
(Переход к случаю k2 = k1 схематически изображен стрелочками на рисунке.) Квантовое рассмотрение повторяет всё, что было сказано дляцепочки одноатомных молекул. Единственное отличие состоит в том, чтотеперь в системе появляется две ветви спектра колебаний рис.6.1 и соответственно два типа операторов рождения и уничтожения, отвечающихакустической и оптической ветвям колебаний (два типа фононов).1046.4.Особенности конечных цепочекВ реальных системах число элементарных ячеек N конечно.
В началеглавы мы рассмотрели случай периодических граничных условий. Длядругих граничных условий, например, цепочки с закреплёнными концами решения – возникают стоячие волны – суперпозиции решений длякольцевой цепочки. При этом исчезает вырождение q → −q, зато точки на кривой ω(k) расположены вдвое чаще – появляются решения снечетным числом полуволн, не допускающие гладкого периодическогопродолжения. Тем не менее, в пределе больших N основная свойства набора частот и закон дисперсии не зависят от точного вида граничныхусловий.По настоящему новая черта конечной цепочки это – решения |λT | =6 1у уравнения (6.25).
Они соответствуют состояниям, амплитуды которыхубывают при удалении от одной из границ – поверхностным состояниям — поверхностным уровням (Таммовским). Такие состояния можноизучать на модели полубесконечной решетки (имеющей только одну границу). Происхождение этих состояний связано с тем, что ямы, отвечающие ионам вблизи поверхности, отличаются от "внутренних".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
