Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Это возможно, если нашацепочка – кольцо. При этом для классической величины u(n) и волновой функции ψ(x) на решетке выполняется условие периодичностиu(n + N ) = u(n) ≡ u(xn),ψ(xn + N a) = ψ(xn) .(6.2b)Подстановка сюда (6.1) показывает, что в этом случае реализуютсятолько такие значения квазиимпульса, для которых2πrN NNiqN aλT ≡ e=1⇒q=, r − целое, ∈ − ,.(6.2c)Na2 2Таким образом, число различных значений квазиимпульса (в дальнейшем – число уровней в зоне) совпадает с числом элементарных ячеек кристалла N .

Т.к. это число обычно очень велико, говорято непрерывном изменении q в интервале(−π/a , π/a) .(6.2d)При соударениях "частиц" квазиимпульс сохраняется почти так же,как и обычный импульс при столкновении обычных частиц. Есть, однако,и одно важное отличие: Если полученная сумма ~q1 + ~q2 превосходитвеличину π~/a, то за сумму принимается величина ~q1 + ~q2 − 2π~/a.Аналогично, если полученная сумма ~q1 + ~q2 меньше величины −π~/a,то за сумму принимается величина ~q1 + ~q2 + 2π~/a.

Такие сложенияимпульсов называют сложением с перебросом.89• Перепишем собственную функцию оператора конечного сдвига в виде ψ = eiqxuq (x). Тогда из (6.1), (6.2) следует, что функция uq (x) (блоховская амплитуда) – периодическая функция: aZψ = eiqx uq (x); uq (x + a) = uq (x),  |uq (x)|2dx = 1 .(6.3)0(Здесь выписана также обычная нормировка блоховских амплитуд —на ячейке.) Таким образом, собственные состояния оператора конечногосдвига представляют собой плоские волны, распространяющиеся направо (q > 0) или налево (q < 0), эти волны модулированы периодическойамплитудой uq (x). Волновое число этих волн задается квазиимпульсом q,границы изменения которого конечны – в отличие от обычного импульса.

При переходе к пределу a → 0 мы возвращаемся к системе обычныхплоских волн – собственных функций оператора импульса.Функции Блоха eiqxuq (x) представляют собой полный набор, по которому можно разложить произвольную волновую функцию:1 X iqxbq e uq (x).(6.4)ψ(x) = √N qПри вторичном квантовании (разд. 11.1.2) коэффициент bq приобретаетсмысл оператора рождения электрона или уничтожения дырки.• Чтобы построить описание конечной кольцевой цепочки, используется условие периодичности вида (6.1) с фиксированным набором фаз(6.2c).

Так удается увидеть, например, многие свойства молекулы бензола (N=6).6.2.Движение в периодическом полеНачнём с изучения движения электрона в "замороженной"кристаллической решетке, т.е. в периодическом полеp̂2+ U (x);U (x + a) = U (x).(6.5)2mГамильтониан коммутирует с оператором сдвига T̂a (1.24). В такомполе существуют стационарные состояния, являющиеся собственнымифункциями оператора сдвига – с определенным квазиимпульсом q. Сучетом (6.3) соответствующие уравнения имеют вид:Ĥ =Ĥeiqx uq (x) = E(q)eiqxuq (x);90T̂aψEq = eiqa ψEq .(6.6)Запишем уравнение, комплексно сопряжённое к (6.6) и уравнение длясостояния, которое получается из исходного заменой q → −q:Ĥ + e−iqxu∗q (x) = E(q)e−iqxu∗q (x),Ĥe−iqxu−q (x) = E(−q)e−iqxu−q (x).Поскольку Ĥ – эрмитов оператор (Ĥ + = Ĥ), эти уравнения показывают, что u−q (x) и u∗q (x) – общие собственные функции гамильтонианаи оператора конечного сдвига.

Поэтому эти функции совпадают, имеютместо соотношения (теорема Крамерса):u−q (x) = u∗q (x).E(−q) = E(q),(6.7)Таким образом собственные состояния гамильтониана двукратно вырождены. Выбор знака q снимает вырождение.Мы увидим, что в периодическом поле допустимые значения энергии образуют разрешенные зоны шириной ∆Ek , разделенные областямиэнергий, которые частицы иметь не могут (запрещенные зоны). Вы видели, как это происходит, изучая в терминальном классе системы уровнейв наборе повторяющихся одинаковых ям.Решая уравнение Шредингера, мы находим зависимость энергии E отквазиимпульса (закон дисперсии). Обычно значение q = 0 соответствуетверхнему или нижнему краю зоны. Поскольку E(q) = E(−q) (6.7), топри qa 1 можно записать разложение:E(q) = E0 + ~2q 2 /2m∗ .(6.8)Здесь m∗ – коэффициент, который по естественной аналогии называют эффективной массой.

Если m∗ < 0, говорят об отрицательных массах– дырках. В кристаллах реализуются случаи m∗ ≈ 0.05me и m∗ ≈ 100me,но чаще m∗ не сильно отличается от массы свободного электрона me . Заметим, что при описании движения в периодическом поле нельзя сказать,что при x → ±∞ потенциал U → 0, т.к. здесь исчезают специальныепричины для выбора начала отсчета потенциала.Для грубой оценки можно считать, что закон дисперсии (6.8) справедлив во всей зоне, и тогда эффективная масса и характерное времядвижения между ячейками tk по порядку величины составляют|m∗k |~2/a2,∼∆Ek91tk ∼~.∆Ek(6.9)Рассмотрим теперь два важных примера. Слабое периодическое поле удобно разложить в ряд ФурьеX2π, n = 1, 2, 3, ...

.(6.10)V =Vn eirnx + Vn∗ e−irnxr=anДля начала мы рассмотрим простейший случай, когда только V1 6= 0 иначало отсчёта выбрано так, что V1 = V1∗ ("косинусный" потенциал).Поле можно считать слабым, если характерная энергия V1 мала посравнению с расстоянием между уровнями. Но в случае бесконечнойрешётки спектр энергий непрерывен, и слова "слабое поле" на первыйвзгляд теряют смысл. Чтобы вернуть этот смысл, представим, что система помещена в ящик размера L (с дискретными уровнями энергии ипериодическими граничными условиями) так что |V1 | π 2 ~2/(2mL2).Тогда можно использовать формулы теории возмущений для дискретного спектра, а в конце перейти к пределу L → ∞.В этой задаче квазиимпульс почти неотличим от импульса (за исключением пределов изменения).

Невозмущённые волновые функции – этоплоские волны eikx для состояний с энергией E(k) = ~2k 2 /2m. Согласноформулам теории возмущений без вырождения (5.9), первая поправка кэнергии под действием возмущения (6.10) обращается в нуль, и энергиисостояний меняются лишь во втором порядке:V12V12E(k) → Ẽ(k) = E(k) ++.E(k) − E(k − r) E(k) − E(k + r)Но если k ≈ ±r/2, один из знаменателей становится малым. В этомслучае система близка к вырождению, и следует рассмотреть пару близко расположенных (резонирующих) уровней |ki и |k −ri (см. разд. 5.2.3).Воспользовавшись (5.16), получим взамен E(k) и E(k − r) пару уровней:pE(k) + E(k − r) ± (E(k) − E(k − r))2 + 4V12Ẽ±(k) =.(6.11)2pПри k = 0 мы имеем Ẽ+ (0) = (E(r) + E 2(r) + 4V12 )/2 и Ẽ−(0) =−V12 /Ẽ+(0). С ростом k энергия Ẽ+ (k) уменьшается, а энергия Ẽ−(k)увеличивается.

При k = r/2 энергия Ẽ+(k) достигает максимума Ẽ+(r/2) =E(r/2) + |V1 |, а энергия Ẽ+ (k) достигает минимума Ẽ+(r/2) = E(r/2) +|V1 |, а энергия Ẽ− (k) – максимума Ẽ−(r/2) = E(r/2) − |V1 |. С дальнейшим ростом k энергия Ẽ+(k) растёт, а энергия Ẽ−(k) падает так, чтоẼ+(r) = Ẽ+(0) и Ẽ−(r) = Ẽ−(0).92Итак, значения энергии от Ẽ− (0) до Ẽ− (r/2) образуют разрешеннуюзону, а от Ẽ−(r/2) до Ẽ+(r/2) – запрещённую зону (шириной 2|V1 |).Из (6.11) видно, что при k → r/2 групповая скорость обращаетсяв нуль, (1/~)dẼ(k)/dk → 0. Иными словами, на краю зоны групповаяскорость обращается в нуль – в полном соответствии с теоремой Крамерса (6.7), вблизи этого края работает разложение (6.8), и можно вводитьпонятие эффективной массы.

Проверьте, что|V1 |.(6.12)m∗ = m 2 2~ r /2m + |V1 |♦ Чтобы увидеть запрещенные зоны вблизи E(k) = E(nr/2) с целымn > 1, надо обращаться к более высоким порядкам теории возмущенийи к вкладам более высоких гармоник потенциала Vs , где появятся энергетические знаменатели типа E(k) − E(k − nr). Периодическое поле из δ–ям.Другой предельный случай доставляет нам описание движения частицы в поле "забора" из δ – ям:∞XU (x) = −G ·δ(x + na) .(6.13)n=−∞Найдем те решения уравнения Шредингера, которые являются и собственными функциями оператора конечного сдвига T̂a. Обозначимrr2m|E|2mE2mGκ=приE<0,k=приE>0,k=.0~2~2~2При E < 0 в области 0 < x < a решения – линейные комбинациисоответствующих решений для свободного движения eκx и e−κx . В нашейзадаче удобна следующая форма этой комбинации:ψq (x) = Ashκ(a − x) + Bshκx .(6.14)Запишем это решение для области a < x < 2a в виде ψq (x) = eiqa ψq (x−a)(отсчёт от левой ямы).

Из непрерывности волновой функции в точке aполучается, что B = Aeiqa. Далее, из условия сшивки в форме (2.16)следует закон дисперсии (вторая строчка получена повторением предыдущего рассмотрения для E > 0.):k chκa − 0 shκa при E < 0;2κcos qa =(6.15) cos ka − k0 sin ka при E > 0 .2k93Эти уравнения имеют решения, если правая часть по модулю не превосходит 1. Анализируя эти соотношения, убедитесь в следующем:1. Всегда есть решение при κ = k0 /2.2. При k0 a < 4 разрешённая зона включает точку E = 0, апри k0 a > 4 – не включает.3. При увеличении энергии в системе чередуются разрешенные и запрещенные зоны.

Характеристики

Список файлов лекций