Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Подобный приём оказался оченьплодотворным при изучении задач физики элементарных частиц и конденсированного состояния.169Критерий применимости. Чтобы теория возмущений работала хорошо, вектор |ni должен только немного отличаться от вектора |ni0 , ипоправки к энергиям уровней должны быть меньше расстояния междууровнями, т.е. должно быть0|Vmn | |Em− En0 |.(5.10)Примеры1. Вычислите в первом неисчезающем приближении поправки к энергии гармонического осциллятора в полях: а) V = ax;б) V = bx2/2. Сравните с точными решениями.2. Производная от энергии по параметру. Пусть Ĥ = Ĥ(λ) —непрерывная функция параметра λ.

Тогда Ĥ(λ + ∆λ) ≡ Ĥ0 + V̂ →∂ ĤV̂ = ∆λ∂ Ĥ/∂λ. Поправка к энергии En1 = Vnn ≡ hn|∆λ|ni. С∂λдругой стороны, En1 = ∆λ(∂En/∂λ), поэтому∂ Ĥ∂En= hn||ni.∂λ∂λ5.2.2.(5.11)Теория возмущений при наличии вырожденияВырождение означает, что по крайней мере одному собственному значению En0 соответствует s > 1 (ортогональных) собственных векторов. Вэтом случае при попытке воспользоваться полученными выше результатами некоторые из знаменателей (5.9) обратятся в нуль. Это не было быопасно, если бы возмущение не снимало вырождения, т.е. если бы были равны нулю и соответствующие матричные элементы в числителях.В общем случае, однако, это не так.

Идея метода состоит в том, чтобынаучиться исключать это деление на нуль и в общем случае.Рассмотрим нашу группу из s собственных векторов, отвечающихвырожденному собственному значению энергии En0 . Для их обозначения введем на время двойную нумерацию |nji, j = 1, ..., s. Эти функции можно рассматривать как ортонормированный базис в s–мерномподпространстве всего Гильбертова пространства состояний. Назовемего Cs .

Любой вектор этого подпространства является собственным вектором невозмущенного гамильтониана с одним и тем же собственнымзначением En0 . Это означает, что базисом в Cs можно избрать и любые ортогональные друг другу линейные комбинации функций |nji, т.е.70|ñαi =Pjc0αj |nji. В частности, проблема деления на нуль исчезнет, ес-ли избрать такой базис, в котором недиагональные матричные элементывозмущения обратились бы в нуль, т. е. матрица возмущения Vni,nj ≡ Vijстала бы диагональной на подпространстве Cs.H Простой пример, иллюстрирующий схему – плоский осцилляторp̂2x + p̂2y mω 2 (x2 + y 2 )Ĥ0 =+. Этот гамильтониан обладает симметрией2m2относительно вращений в плоскости (x, y).

Значения его уровни – суммы(0)энергий независимых осцилляторов по осям x и y: En = ~ω(nx + 1/2 +ny + 1/2) ≡ ~ω(n + 1), (n = nx + ny ). Соответствующие собственныевекторы |nji мы будем обозначать |nxny i ≡ |nx i|ny i.Состояние с данным значением n вырождено (n+1)–кратно (это – число способов, которым данное значение n можно составить из целых чиселnx и ny ). Так, собственные векторы состояния с n = 3 это — |i1i = |0i|3i,|i2 i = |1i|2i, |i3i = 2i|1i, |i4 i = |3i|0i.

Они и образуют невозмущённыйбазис пространства Cs ≡ C4 .Рассмотрим теперь разные возможные возмущения.H Возмущение V = b(x2 + y 2 ) не нарушает исходной симметрии. Матрица возмущения диагональна и пропорциональна единичной. Недиагональные элементы отсутствуют, проблемы деления на нуль не возникает.Возмущение не разрушает симметрию.H Возмущение V = bx2 нарушает симметрию. Оно "направлено" вдольодной из первоначально выбранных осей. Матрица возмущения диагональна, но не пропорциональна единичной — bx20/2·diag(7, 5, 3, 1). Недиагональные элементы по прежнему отсутствуют, проблемы деления нануль не возникает.H Возмущение V = b(x + y)2/2 получается из предыдущего при повороте осей на 45 градусов, поэтому и результат здесь должен совпадать спредыдущим.

Однако при нашем выборе осей матрица возмущения уженедиагональна. Она имеет вид:√82300 √2 bx02 3 840√.048234 √00 2 3 8Диагонализация этой матрицы дает, как и следовало ожидать, те жесобственные значения, что и в предыдущем случае. Новые собственныевекторы – суперпозиции старых, получаемые вращением осей на 45 гра71дусов. После этой диагонализации проблема деления на нуль исчезла, изадача свелась к предыдущей. Обычно вырождение не является случайным. Оно возникает в силуналичия какой–то симметрии невозмущенного гамильтониана (в нашемслучае – относительно вращений в плоскости x,y). Если возмущение обладает той же симметрией, то его недиагональные матричные элементы(5.4) по состояниям, принадлежащим вырожденному уровню – нули (авсе диагональные совпадают), и проблема не возникает. Если же возмущение не обладает этой симметрией, т.

е. полный гамильтониан описывает систему с нарушенной симметрией, то при неудачном выбореисходного базиса недиагональные матричные элементы возмущения (5.4)– не нули. Задача состоит в выборе базиса, привязанного не к произвольным пространственным осям, а к таким, где одна из координатных осейнаправлена "вдоль возмущения".Обсуждаемый ниже метод решения не зависит от того, является ливырождение случайным или оно связано с какой–то симметрией невозмущенного гамильтониана. Общее решение. Рассмотрим в уравнении (5.6) в качестве состояния |ki0 одно из состояний |nii. Тогда в нулевом порядке по получается(0)(0)тождество En = En .

В первом порядке по для c0αj получается системауравненийX(1)(Vij − Enαδij )c0αj = 0.(5.12)Решения этой системы однородных линейных уравнений для коэффициентов c0αj — не нули, только если обращается в нуль определитель,составленный из коэффициентов при неизвестных:(1)det |Vij − Enαδij | = 0.(5.13)1– собЭто уравнение называют секулярным. Оно имеет s корней Enαственных значений оператора V̂ (матрицы Vij ). Поэтому, в частности,sXα=11Enα=XVii (≡ T r(V )).1При каждом из собственных значений Enαсистема (5.12) позволяет выразить s − 1 коэффициент cαj через один из них.

С учетом условия нормировки определяются всекоэффициенты, т.е. "повёрнуP эти0тые"собственные векторы задачиcαj |ji.iДальнейшие поправки ищутся так же, как и в невырожденном случае.72 Пример: Двухуровневая система. В этом случае s = 2. Обозначим расстояние между невозмущёнными уровнями через U = V11 − V22 .Секулярное уравнение имеет вид: V11 − E (1)V12 =0V21V22 − E (1) (5.14)pV11 + V22 ± ∆E(1)⇒ E± =∆E = U 2 + 4|V12|2 .2Соответствующие волновые функции |+i и |−i имеют вид|+i = c1+ |1i + c2+ |2i, |−i = c1−|1i + c2−|2i;rr∆E + U∆E − U, c2+ = c1− =.c1+ = −c2− =2∆E2∆E5.2.3.Системы с близко расположенными уровнямиРассмотрим теперь "близкие к вырождению" системы, где состоянияразбиваются на группы с близко расположенными уровнями, а энергетические расстояния между группами достаточно велики.

(Обычно это– системы со слабо нарушенной симметрией.) При этом в ряду теориивозмущений появляются слагаемые с малыми знаменателями, и сходимость ряда ухудшается.Ситуация улучшится, если ввести "гамильтониан асимметрии" ∆Ĥ,собственными значениями которого являются отклонения невозмущённых энергий в группе от какого–то среднего значения. После этого можно воспользоваться методом, изложенным выше, и рассмотреть задачу одиагонализации "гамильтониана" ∆Ĥ + V на попространстве Cs .Итак, обозначим через i невозмущённые энергии состояний группы.Повторяя выкладки случая с вырождением для каждой из этих групп,мы придем к уравнениям вида (5.12,5.13) с заменой11Vij − Enαδij ⇒ Vij − (Enα+ i )δij .(5.15)Окончательный ответ имеет тот же вид, что и в случае вырождения, сзаменой Vii → Ṽii = Vii + i .В частности, для двухуровневой системы секулярное уравнение легкополучается из (5.14), V11 + ε1 − E (1)V12 =0(5.16)V21V22 + ε2 − E (1) 73Полезно заметить, что при |V12| |1 − 2 | отсюда, как и следовалоожидать, получаются формулы обычной теории возмущений без вырождения (с точностью до второго порядка):(1)E+|V12 |2= 1 + V11 +,1 − 2(1)E−|V12|2= 2 + V22 +.2 − 1O Рассмотрим, как меняются получившиеся уровни с изменением возмущения.

Будем описывать это изменение параметром ξ. Пусть при некотором ξ = ξ0 оказывается Ṽ11 = Ṽ22. Тогда — на первый взгляд — припереходе от ξ > ξ0 к ξ < ξ0 уровни E+ и E− поменяются местами: тот изних, который был выше, станет ниже, и наоборот – произойдет пересечение уровней. На самом деле, это не так. Для действительного пересечения уровней, когда они в точности совпали бы, требуется, чтобы в (5.14)было ∆E = 0. Для этого недостаточно условия Ṽ11(ξ) = Ṽ22 (ξ), необходимо еще, чтобы было V12(ξ) = 0. Это – два разных уравнения для однойвеличины ξ, обычно их одновременное решение отсутствует (если приэтом не восстанавливается старая симметрия или не появляется новая).Пересечение уровней – очень редкое событие в природе.5.3.Квазиклассическое приближениеЕсть еще один важный случай, для которого разработан формально последовательный метод приближенного решения квантовомеханических задач, это задачи, в которых потенциал – плавная функция координаты так, что дебройлевская длина волны мала по сравнению с масштабом изменения потенциала и меняется с координатой достаточно медленно.

Это близко к картине классической оптики, которая, в свою очередь, допускает описание, подобное классической механике. Именно этосоответствие и является стартовой точкой метода. Здесь сначала строится классическое описание, а затем отыскиваются квантовые поправки2 .Формально этот — квазиклассический случай отвечает пределу ~ → 0.Интерес к этому случаю подкрепляется тем, что в соответствующих задачах прослеживаются детали перехода к классическому пределу.Мы разберем здесь только одномерное движение. Обобщение на трёхмерные задачи возможно далеко не во всех ситуациях.К сожалению, получающиеся ряды — асимптотические. Поэтому хорошее приближение дают только несколько первых членов этих рядов.274O При исследовании задач квазиклассического приближения мы используем терминологию соответствующей классической задачи.

Так, область, где потенциальная энергия меньше полной, E > U (x), – областьклассического движения. Область, где потенциальная энергия большеполной, E < U (x), – классически недостижимая область. Точки, гдеE = U (x), – точки поворота (в этих точках классисческая частица меняет направление своего движения, натолкнувшись на край ямы).Далее вводятся зависящие от координат величины – импульс p(x),волновое число k(x) = p(x)/~ и длина волны λ(x), а также "параметрзатухания" κ(x):p2m(E − U (x))2πk(x) =, λ(x) =при E > U (x)~k(x)p(5.17)2m(U (x) − E)κ(x) =при E < U (x) .~ Запишем волновую функцию в видеψ(x) = eiS(x)/~и разложим функцию S(x) в ряд по степеням ~: 2~~S = S0 + S1 +S2 + . . .ii(5.18a)(5.18b)Это – формальное разложение по размерной константе, однако его использование дает разумный результат.

Если определить величину d какразмер, на котором существенно меняется потенциал, то можно сказать,что параметром разложения является величина 1/kd ∼ (λ/d). Более аккуратная оценка для параметра разложения обсуждается ниже.~2 00ψ (x)+U (x)ψ(x) = Eψ(x)Подстановка в уравнение Шредингера −2mдаёт уравнение (типа Рикатти):1i~ 00(S 0 (x))2 + U (x) − E −S (x) = 02m2mПриравнивая члены с одинаковыми степенями ~, получим уравнения:1(S00 (x))2 = E − U (x),2m−75i~ 0 0i~ 00S0 S1 =S , ...m2m 0(5.18c)Первое из этих уравнений3 легко решается:ZS0 (x) = ± p(x)dx .(5.19)Второе уравнение (5.18c) дает S10 = −S000 /2S00 , то есть S1 =−(1/2) ln(S00 ) = −(1/2) ln[p(x)]. В итоге, в обозначениях (5.17) волноваяфункция имеет вид плоской волны, нормированной на поток (2.10b):C2C1peiα + pe−iα при E > U (x);k(x) k(x)ψ(x) =D1D2(5.20)e−β + peβ при E < U (x); pκ(x)κ(x)α=Rk(x)dx ,β=Rκ(x)dx .• Чтобы квазиклассическое приближение было применимо,классическое действие S0 во всяком случае должно быть велико по сравнению с квантом действияZp(x)dx/~ 1.(5.21a)Вообще говоря, этого недостаточно.

Характеристики

Список файлов лекций