Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Напомним, что волноваяфункция состояния |ni меняется со временем по закону |nie−iEt/~ ≡|nie−itωn−itω/2. В итогеX αe−iωt nX αn√ e−iωnt−iω/2t ≡ e−iωt/2√|α(t)i =.(4.27)n!n!nnИтак, мы выяснили, что эволюция состояния со временем описываетсязаменойα → α(t) = αe−iωt .Вспоминая теперь связь α(t) с координатой центра тяжести и импульсом пакета (4.21), найдем закон их изменения со временем:Q(t) = Q cos ωt −Psin ωt; P (t) = P cos ωt + mωQ sin ωt.mω(4.28)Таким образом, центр тяжести этого волнового пакета движется в точности как классическая частица.Векторы разных когерентных состояний не ортогональны друг другу,но их набор является полным (даже избыточным).4.3.ЗадачиЗадачи 1–3 – для гармонического осциллятора.1. Найти волновые функции в импульсном представлении.2. Сравнить классическую dw/dx и квантовую |ψn (x)|2 плотности вероятности при n = 0 и n 1.
Найти вероятность того, что в основном состоянии осциллятор имеет |x| l, |p| k.3. Построить операторы x̂2, p̂2 в энергетическом представлении.644. Найти перестановочные соотношения операторов кинетической энергии гармонического осциллятора, взятых в разные моменты времени. Записать соответствующее соотношение неопределённостей.Разобрать случаи собственных состояний осциллятора и их суперпозиции.5. Найти уровни энергии и волновые функции для частицы в поле mω 2 x2при xi0,U (x) =2 ∞при xh0.6. Покажите, что [b̂, (b̂+)n ] = n(b̂+)n−1. Вычислите [b̂2, (b̂+)n ].
Докажите, что [b̂, f (b̂+)] = df (b̂+)/db̂+.7. Найти перестановочные соотношения для операторовb̂+b̂+ + b̂b̂b̂+b̂ + b̂b̂+b̂+ b̂+ − b̂b̂Â1 =, Â2 =, Â3 = i.4448. Найти собственные значения оператора b̂+b̂ + λb̂+ + λ∗ b̂.9. Покажите, что для когерентного состояния ∆p∆x = ~/2.10. Начальное состояние частицы, помещённой в полу упругихr сил U =2 2mω x2a3 1описывается волновой функцией ψ(x, 0) =.2π x2 + a2Найти вероятность того, что её энергия равна ~ω/2, 3~ω/2.
(Считать, что a2 ~/(mω).)11. Начальное состояние частицы, помещённой в полу упругих сил U =mω 2 x2описывается волновой функцией ψ(x, 0) = N x(1 − x). Найти2среднее значение её координаты hx(t)i в зависимости от времени.12. Докажите, что набор когерентных состояний полон, т.е.Z1d(Reα)d(Imα)|αihα| = 1̂.π65Глава 5ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫВ последующих главах мы опишем обычно используемые методы приближённого решения задач квантовой механики. (Подобные методы работают при решении самых разных физических задач.) Мы ограничимся здесь задачами, в которых гамильтониан не зависит от времени явно.При этом проблема состоит в том, чтобы найти приближенные значенияуровней энергии и волновые функции.Идея всех приближенных методов состоит в использовании того факта, что "рядом" с нашей задачей есть точно решаемая задача, и следуетискать поправки к решениям этой точно решаемой задачи.
Методы различаются идеей выбора этой "соседней" задачи.Помимо того, рассматриваемые методы различаются по "степени регулярности". В некоторых из них построение последующих приближений– задача той же принципиальной сложности, что и для первого приближения.
Отличие состоит лишь в степени громоздкости приближений(теория возмущений). В других случаях следующие приближения по существу сложнее первых, иногда надо включать новые идеи (надбарьерное отражение в квазиклассическом методе). Наконец, нередко регулярный метод для построения последующих приближений, по меньшей мере,трудно предложить (вариационный метод).5.1.Вариационный метод• Собственные функции гамильтониана Ĥ образуют полную систему ψn (x) (с собственными значениямизначит, что для любойP En ). Это Pнормированной функции ψ(x)an ψn (x) и|an |2 = 1. ОбразуемR =теперь величину hψ|Ĥ|ψi ≡ ψ ∗ Ĥψdx.
В силу уравнения Шредингера66hψ|Ĥ|ψi =P|an |2 En ≥ E0 . Таким образом,ZZ∗E0 = min{ ψ Ĥψdx} при условииψ ∗ ψdx = 1.(5.1)Волновая функция основного состояния ψ0 получается из условия(5.1) в пространстве всех гладких функций. Волновая функция ψ1 первого возбужденного состояния получается из того же условия в пространстве гладких функций, ортогональных к ψ0 .
Следующие волновые функции находятся подобным же образом. Вариационный метод состоит в использовании условия (5.1) дляприближенного вычисления волновых функций и энергий различных систем. Для этого угадывают более или менее правдоподобную форму волновой функции в зависимости от каких-нибудь параметров β — пробнуюфункцию. Тогда (5.1) становится простой задачей на нахождение минимума E(β). Найденное таким способом значение энергии основногосостояния E0 лежит, разумеется, не ниже истинного.♦ Чтобы найти первое возбуждённое состояние, угадывают волновуюфункцию, ортогональную к найденной функции основного состояния изависящую от другого параметра β1 .
Затем повторяется описанная выше процедура. Разумеется, качество описания возбуждённого состоянияхуже, чем для основного, поскольку в основе лежит найденное неточное описание основного состояния. Таким образом, вариационный методпозволяет надёжно определить лишь несколько первых уровней.O Выше мы получали оценки для уровней энергии в простых потенциалах, исходя из соотношения неопределенностей.
Применявшийся подходбыл в сущности упрощённой версией вариационного метода. На практике вариационный метод используют, например, при описании сложных многоэлектронных систем. В качестве исходной волновой функции берут должным образом симметризованную суперпозициюволновых функций отдельных электронов в усреднённом поле остальных электронов и ядер. Параметры этого (самосогласованного) поля иподлежат определению.H Пример: рассмотрим поле U = −Gδ(x) и воспользуемся (нормированной) пробной функцией вида ψb = π −1/4b−1/2 exp(−x2/2b2). Вычислимсреднее значение энергии с этой функцией:Z22~d~2G√E(b) = dxψb∗ −−Gδ(x)ψ=−.b2m dx24mb2 b π67Далее найдем минимум этого выражения по b:√mG2~2 πEmin = − 2 при bmin =.π~2mGСравните эти выражения с точным решением (гл.
2).5.2.Теория возмущенийПусть гамильтониан Ĥ интересующей нас физической задачи малоотличается от гамильтониана Ĥ0, чьи собственные функции |ni0 и энер(0)гии En известны, т.е.Ĥ = Ĥ0 + V ,(5.2)(0)Ĥ0|ni0 = En .Гамильтониан Ĥ0 называют невозмущенным, а V – возмущением. Далеемы поймём, что такое "мало". Без потери общности можно считать наборсобственных векторов |n0 i ортонормированным, hm0 |n0 i = δmn .Решение уравнения Шредингера в виде ряда по возмущению V составляет содержание теории возмущений.Итак, мы ищем решение уравнения ШредингераĤ|ni = En |ni :Ĥ = Ĥ0 + V̂ , Ĥ0 |ni0 = En(0) |ni0 .(5.3)Здесь удобно записывать оператор возмущения V̂ в представлении собственных векторов невозмущённого гамильтониана, т.е. в виде матрицы:∗Vmn = hm|0 V̂ |ni0 ≡ Vnm.(5.4)Для удобства и чтобы подчеркнуть малость возмущения V , мы будемписать ниже V вместо V и будем вести расчет так, будто бы → 0.
Насамом деле в конце мы положим = 1.Разложим решения уравнения (5.3) |ni по собственным функциям|mi0 невозмущённого гамильтониана Ĥ0, а затем разложим в ряд по энергии En и коэффициенты разложения |ni по |mi0 :P|ni = cnm |mi0 , cnm = c0nm + c1nm + 2 c2nm + . . . ,m(5.5)(0)(1)2 (2)En = En + En + En + . . . .Тогда уравнение (5.3) примет видP(Ĥ0 + V̂ )(c0nm + c1nm + 2c2nm + .
. .)|mi0 =Pmm(0)(En(1)(2)+ En + 2En + . . .)(c0nm + c1nm + 2 c2nm + . . .)|mi0 .68Умножим это уравнение слева на hk|0 . С учётом ортогональности (hk|mi0 =δkm ) и определения (5.4) мы получим:P (0)(Ek δkm + Vkm )(c0nm + c1nm + 2 c2nm + . . .) =m(0)(En(1)(2)+ En + 2 En + .
. .)(c0nk + c1nk + 2 c2nk + . . .).(5.6)Далее приравниваются выражения при одной степени . Детали решения различаются в зависимости от того, является ли исходная невозмущенная система состояний |ni0 вырожденной (т.е. энергии некоторыхсостояний совпадают) или невырожденной.5.2.1.Невырожденный случайМы начнем с технически более простого случая, когда вырождения(0)(0)нет, (En 6= Em ).H Нулевое приближение. При → 0 уравнение (5.6) принимает вид(0)(0)(En − Ek )c0nk = 0. Его решение есть c0nk = δnk .H Первое приближение.
При k = n остаются два слагаемых. Получа(1)ется En = Vnn . При k 6= n получается уравнениеVkn(0)Vkn + (Ek − En(0) )c1nk = 0 ⇒ c1nk = (0),(0)En − EkEn(1) = Vnn .(5.7)При этом коэффициент c1nn не определяется1. Обычно его фиксируютусловием сохранения нормы возмущенного вектора состояния, c1nn = 0.H Второе приближение строится так же, и дает при k = n:X |Vmn |2X Vmn Vnm(2)En =≡.(5.8)(0)(0)(0)(0)E−EE−Enmnmm6=nm6=nВ частности, поправка второго порядка к энергии основного состояниявсегда отрицательна.Теперь можно записать найденные решения, положив в них = 1:X |Vmn |2Vmn(0)cnm = δnm + (0)+...; En = En +Vnn ++... (5.9)(0)(0)(0)En − EmE−Emm6=n nВ действительности, в промежуточных вычислениях можно выбиратьлюбое удобное значение этого коэффициента и использовать независимостьфизических результатов от этой неоднозначности коэффициента cnn (ренормализационная инвариантность).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
