Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 15
Текст из файла (страница 15)
2.6.1.IIIIII6EaЧтобы увидеть, как возникает кваbзиуровень, рассмотрим частицу в поле,изображенном на рисунке.Последовательное применение условий сшивки (5.23) (как при квантовании) дает с использованием обозначений (5.25), (5.29)xRA√ sinkdx ,(I)k 0x xRRAcosα√ sin α · expκdx −· exp − κdx=2κaa"!!#(II)bbRRAcos α√sin α exp − κdx − Dexpκdx,ψ(x) =2κDxxxRA√2 sin α · sinkdx + π/4 −kDbx(III)Rcosα D· coskdx + π/4.2b(5.31)82Условие, чтобы в области III была только уходящая волна exp(iRxkdx),x0дает уравнение:2 sin α = i ⇒ tgα = −iD/4.D cos α−2(5.32)(Подобный ответ для системы прямоугольных барьеров и ям получаетсяс помощью условий сшивки (2.15).)Далее мы считаем туннелирование слабым, т.е.
D 1.При b → ∞ было бы D = 0, и в системе нашлись бы стационарныесостояния с энергиями E = En, которые были найдены в разд. 5.3.1.При D 6= 0 движение инфинитно, т.е. стационарных состояний нет. Однако физическая ситуация при D 1 не может сильно измениться посравнению со случаем D = 0, и решения уравнения (5.32) должны лишьненамного отличаться от решений условий квантования α = π(n + 1)(5.26a). Поэтому запишем α = π(n + 1) + δn, где |δn | 1.
Тогда уравнение (5.32) преобразуется к виду−iD/4 = tgδn ≈ δn ⇒ α = π(n + 1) − iD/4.Окончательно, подставляя сюда выражение для α (5.25) и k (5.20), выраженные через энергию состояния Ẽn = En − iΓn /2, получаемZa p02m(En − iΓn /2 − U (x))dx = π~(n + 3/4) − i~Dn /4.Вычитая это выражение из (5.26a), получим с учетом малости ΓnZa pZa p2m(En − U (x))dx −2m(En − iΓn /2 − U (x)dx =0iΓn d4 dEn0Za pZaiΓn2mdxiΓnp2m(En − U (x))dx = −=· Tкл ,442m(E − U (x))00т.е.
(время жизни τ равно классическому периоду Tкл , делённому на вероятность Dn ухода через барьер при однократном подходе к барьеру)Γn =~DnTкл⇒ τ=.TклDn83(5.33) Модель α–распада. Рассмотренная задача дает стандартное решение задачи об α–распаде атомного ядра. Здесь предполагается, что вядре есть α–частица. Рассматривается ее радиальное движение. Потенциал ядра для этого движения аппроксимируется прямоугольной (радиальной) ямой радиуса a.
Первоначальный заряд ядра Ze. При r > aпотенциал – это энергия взаимодействия вылетевшей α–частицы с ядерным остатком. Если b → ∞, то α–частица находится в обычном стационарном состоянии с E = E1. Конечность барьера приводит к конечномувремени жизни τ 6= ∞. Получающееся выражение дает связь междувременем жизни ядра и энергией α–частицы (теория Гамова). Эта связьпроверена опытом для времен от долей секунды до миллиардов лет!5.4.Задачи1.
Покажите, что при добавлении к потенциалу отрицательной добавки в любой области энергия основного состояния понижается. Используйте (5.1).2. С помощью вариационного метода найти энергию и волновую функцию основного состояния, используя пробные функции220при |x| > a,−x/2a−|x|/a(α) Ce; (β) Ce; (γ)1 − |x|/a при |x| < a.(а) для гармонического осциллятора, пробные функции α и β;mω 2 x2(b) для ангармонического осциллятора U =+ x4 , пробная2функция α;(c) для ямы U = −Gδ(x), пробные функции α, β и γ.(d) для поля U (x) = U0|x|, пробная функция β.3. Вычислите в первом неисчезающем приближении поправки к уровням под действием возмущения V в следующих полях U :mω 2 x2(a) U (x) =,2(α) V = bx3, (β) V = cx4, (γ) V = f |x|, (δ) V = λx5 + βbx6;mω 2 (x2 + y 2 )(b) U (x, y) =; V = αxy;20 при |x| < a,(c) U (x) =(α) V = Gδ(x), (β) V = C cos(2πx/a);∞ при |x| > aL̂2z∂(d) Ĥ0 = ; (L̂z = −i~ ); V = V0 cos(ϕ − α);2I∂ϕ844.5.6.7.8.(e) U (~r) = mω 2~r2 /2; V = γx2y 2 .mω 2 (4x2 + y 2 )(f) U (x, y) =; V = axy 2 (резонанс Ферми).2Найти поправки к трем нижним уровням.Найти уровни энергии частица в поле V = −(G + δG)δ(x − a) − (G −δG)δ(x + a) при G δG.
Рассмотреть ещё случай 2mGa/~2 1.Рассмотрим осциллятор Ĥ = p̂2 /2m + mω 2 x2/2 с возмущением V =γx3. Как меняется среднее значение координаты hxi с ростом энергии уровня? Свяжите ответ с задачей о расширении твёрдого тела.Изобразите качественно типичную зависимость уровней от параметра ξ при переходе через точку Ṽ11 = Ṽ22 для задачи о "пересеченииуровней", обсуждавшейся в конце раздела 5.2.3.В последующих задачах условие квазиклассичности предполагается выполненным, и решение предлагается искать в квазиклассическом приближении (кроме задач с дополнительным указанием).Найти уровни энергии и волновые функции:а) для осциллятора;б) для частицы в поле тяжести над непроницаемой плитой;в) для атома водорода.Оценить число уровней в яме с потенциалом U (x) при g 2 −r/ak(x2 − a2 )bθ(a − |x|) ,(a) U − e,U=·cθ(a − x)θ(x) ,r2β βθ(a − x)θ(x) .(d) U = f (|x| − a)θ(a − |x|) , (f ) U =−a x9.
Двойная яма. Поле U (x) представляет собой две симметричныепотенциальные ямы, разделенные не оченьU (x)высоким барьером (см. рисунок). Если бы6барьер был непроницаем (бесконечно высок), то существовали бы состояния, отвечающие движению частицы в одной из ям иодинаковые для каждой ямы. Возможностьперехода через барьер приводит к расщеплению каждого этих состояний на два (аналог – биения в системе двух связанных одинаковых маятников). В этих состояниях частица живет одинаково долго в каждой из ям.(а) Определить расщепление энергий ∆E в этой паре состояний и85построить соответствующие волновые функции по известным функциям задачи с непроницаемым барьером.(б) Показать, что если частица в начальный момент находится вправой яме (т.е.
в собственном состоянии такой изолированной ямыψ(t = 0) = ψ0 (x)), то через время πτ /2 она окажется в левой яме(здесь τ = 2~/∆E), т.е.ψ(x, t) = e−iE0 t/~[ψ0 (x) cos(t/τ ) + iψ0 (−x) sin(t/τ )].10. Найдите положение и ширину квазистационарных уровней в полях∞ при x < 0, −V1 при |x| < a,0 при x < a,V = (a)V2 при a < |x| < a + b, (b)V при a < x < a + b,0 при |x| > a + b,0 при x > b + a,a|x|при |x| < l,(c)a|x| − bx2 , (d)22al + bl − bx при |x| > l, ∞ при x < 0,∞при x < 0(e)(f )0 при 0 < x < a,Gδ(x − a) при x > 0,β/x2 при x > a.Для потенциала (a) сравнить с точным решением, вычислить также коэффициент прохождения, считая, что при b → ∞ появляетсяуровень энергии En > 0. При конечном b рассмотреть поведение коэффициента прохождения для небольших |E − En |. Показать, чтоэтот коэффициент обращается в бесконечность при E = En − iΓn /2.Найти Γn и сравнить с выражением (5.33).
Для потенциала (b) считать V ~2/(2ma2) так, что уровни можно оценивать как в оченьглубокой яме. Для потенциала (e) обсудить случай малопроницаемого барьера G ~2/ma.11. Найти коэффициент прохождения в поле U (x) = −mω 2 x2/2.12. Показать, что для α–частиц, движущихся в потенциале0при r < a ,U (r) =β/r при r > a ,при√E β/a выполняется закон Гейгера–Неттола ln T = A +B/ E, и найти коэффициенты A и B.8613. Оценить время жизни при α–распаде ядра с зарядом Ze и радиусомядра 1 f m. Использовать характерные значения для U 235: E ≈ 2МэВ, Umax − E ≈ 12 МэВ, расстояние между точками поворотаb − a ≈ 3 · 10−12см.
Сравнить с известным периодом полураспадаU 235, равным 4,5 млрд лет.14. Рассмотрите прохождение волны над потенциальной ямой (барьером) при условиях: E Etyp ≡ ~2/2ma2, (E + V )/E 1:−V при |x| < ea ,U=0 при |x| > aПокажите, что вблизи n–го максимума коэффициент прохожденияB(E) ∝1(E − En + iΓ/2);pΓ ≈ 4 EEtyp.(5.34)При этом поведение кривых вблизи каждого максимума описывается независимыми кривыми обычного резонансного вида. В этомслучае говорят о виртуальном уровне, Γ – его ширина (ср. (2.24)).Определить время задержки на таком барьере для волнового пакета с hEi ≈ En, h∆Ei Γ.87Глава 6ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ПОЛЕЗначительную часть вопросов физики твердого тела можно понять,рассматривая линейные периодические цепочки (одномерный кристалл)и движение частиц в них.
Они и изучаются в этой главе.6.1.Основные понятияМы изучаем линейную цепочку с периодом (постоянной решетки) aпри очень большом числе N повторяющихся элементов – элементарныхячеек в пределе N → ∞. Этот предельный переход не тривиален.Состояния частиц в решетке конечных размеров – стоячие волны (и волны, затухающие при отходе от границ). Различные возможные условия награницах определяют разные фазовые соотношения, возможные в этих волнах.
В то же время число ячеек в наблюдаемых решётках обычно чудовищновелико, и естественно надеяться, что физические результаты практическине зависят от деталей граничных условий. Поэтому обычно рассматриваютпереход к бесконечной решётке, считая, что для любой функции f (n), определённой на решётке, выполняется условие периодичности f (n+N ) = f (n).Тогда переход N → ∞ не встречает трудностей.Обозначим координату "начала" n–й ячейки через xn ≡ na.Наша решетка не меняется при сдвиге на величину постоянной решетки a – инвариантна по отношению к таким сдвигам. Поэтому можновыбрать стационарные состояния системы, которые являются собственными функциями оператора конечного сдвига Ta = exp(iap̂/~) (1.24):T̂aψ(x) ≡ ψ(x + a) = λT ψ(x).(6.1)Выясним теперь, какие значения может принимать величина λT в периодической или бесконечной решётке.88Если |λT | =6 1, то вероятности пребывания в соседних ячейках решетки различны, а это противоречит инвариантности относительно сдвигов.(Например, для |λT | < 1 амплитуда в точке x − Ka с ростом K неограниченно возрастает!).
Поэтому должно быть |λT | = 1, и можно записатьλT = eiqa .(6.2a)Это – определение величины q. Величину ~q называют квазиимпульсом состояния с фактором периодичности λT (мы используем это название и для величины q). По определению, изменение q на величину,кратную 2π/a не меняет фактора периодичности λT . Поэтому физическиосмысленный интервал изменения квазиимпульса имеет длину 2π~/a.Принято определять его в интервале (−π~/a , π~/a).Рассмотрим теперь случай, когда конечность числа ячеек N не нарушает инвариантности относительно сдвигов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
