Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Таким способом получается весьнабор уровней осциллятораεn = (n + 1/2), En = ~ω(n + 1/2);b̂|ni = dn |n + 1i (n = 0, 1, 2, . . .).(4.10)Итак, оператор b̂ понижает энергию состояния на ~ω, а оператор b̂+повышает, и оператор b̂+b̂ имеет собственными значениями целые числа,b̂+ b̂|ni = n|ni(n = 0, 1, 2 . . .).(4.11)Это служит основой широко используемой интерпретации:• n-е состояние осциллятора содержит n тождественных частиц —"вибронов" с энергией E = ~ω. Оператор n̂ = b̂+ b̂ есть операторчисла вибронов, оператор b̂+ – оператор рождения виброна,оператор b̂ – оператор уничтожения виброна2.Определим теперь числа dn в соотношении между волновыми векторами (4.10), считая их нормированными (hn|ni = 1) и действительными.Прежде всего, вектор, сопряженный вектору b̂|ni, есть hn|b̂+ = dn hn − 1|.Таким образом, hn|b̂+ b̂|ni = nhn|ni = d2n hn − 1|n − 1i.

Отсюда следует√d2n = n, т. е. b̂|ni = n|n − 1i. Подобным образом получается и сопряжённое соотношение:√√b̂|ni = n|n − 1i , b̂+|ni = n + 1|n + 1i ⇒1 + n(4.12)|ni = √b̂|0i .n!• Чётность состояний осциллятора. Заметим, что гамильтониан осциллятора коммутирует с оператором отражения. Поэтому собственныесостояния осциллятора обладают определенной чётностью. Основное состояние |0i чётно, а операторы b̂ и b̂+ меняют√ знак при отражении, т.n е.+ nнечётны. Поэтому состояние |ni = (b̂ ) |0i/ n! имеет чётность (−1) ,P̂|ni = (−1)n|ni.(4.13)Виброны –"домашнее"название в нашем курсе. В реальных задачах это– кванты звуковых колебаний – фононы, кванты электромагнитных колебаний – фотоны и т.п.258• Энергетическое представление.

Найденные состояния |ni образуют базис энергетического представления для осциллятора. (В соответствии с приведенной выше интерпретацией его называют также и представлением чисел заполнения.) Запишем теперь некоторые операторыв этом представлении, т. е. в виде матриц, строки и столбцы которых –номера состояний n (ср. (1.17)).Для гамильтониана и операторов b̂, b̂+ ответы выписаны в соотношениях (4.10), (4.12), которые принимают вид:1 0 0 0 ... 0 3 0 0 ... ~ω  0 0 5 0 ...  ,Ĥ =(4.14)2  0 0 0 7 ...

... ... ... ... ...0 00 0 ...0 1 √00 ... 0 0 1 00 ...2 √0 ... √ , b̂ =  0 0 0.200...0b̂+ = 3...√ 0 0 0 0 03 0 ... 0 ... ... ... ... ... ...... ... ... ... ...♦ Чтобы найти вид операторов координаты и импульса в энергетическом представлении, выразим их через операторы b̂ и b̂+ (4.4):x0x̂ = √ (b̂ + b̂+ ),2p0p̂ = √ (b̂ − b̂+ ) .i 2(4.15)После этого получается0 1 √00 ... 1 02 √0 ... √x0 ,x̂ = √ 0203...√2 0 03 0 ... ...

... ... ... ...0 −1 √00 ... 1 0 − 20... √√ip0 .p̂ = √ 020−3...√20 030... ... ......... ... Переход к координатному представлению.59(4.16)Чтобы найти волновую функцию основного состояния осциллятораψ0 (x) в x–представлении запишем уравнение (4.9) в видеxd+ x0ψ0(x) = 0 .x0dxОтсюда2ψ0 (x) = Ce−x/2x20−1/2C = π −1/4x0,.(4.17)Соответственно2b̂+ψn−1−eξ /2 d −ξ 2 /21dψn (ξ) = √=√ψn−1 ≡ √eψn−1 ⇒ξ−ndξ2n2n dξ n2ndπ −1/4e−ξ /2(−1)2−ξ 2ξ /2−1/4√ee≡ √Hn (ξ) .(4.18)ψn (ξ) = πdξ2nn!2nn!Последнее равенство представляет собой определение полиномов Эрмита Hn (ξ).• *Обобщение на другие системы.

Операторы b̂, b̂+ имеют некоторое сходство с проекционными операторами (1.14). Поэтому их можнозаписать схожим образом. Для этого домножим (4.12) справа на векторPhn| и просуммируем по всем значениям n. Тогда (поскольку |nihn| = 1)nPnb̂+|nihn| =P√n + 1|n + 1ihn| ⇒n∞ √P+b̂ =n + 1|n + 1ihn|;∞ √Pb̂ =n|n − 1ihn| .n=0(4.19)n=0(Второе соотношение получается точно так же, как и первое.)Такие определения операторов b̂ и b̂+ строятся и для других систем.Так, для бесконечно глубокой потенциальной ямыĤ = E1(b̂+b̂ + 1)2,4.1.2.En = E1(n + 1)2.Решение с помощью разложения в ряд.Запишем уравнение Шредингера в безразмерных переменныхd2 ψ/dξ 2 = (ξ 2 − 2ε)ψ .При ξ → ±∞ оно упрощается: ψ 00 ≈ ξ 2 ψ, и из него получается ψ → e±ξграничные условия (2.17) выбирают знак "минус".602/2.2Ищем решение в виде ψ = e−ξ /2v(ξ).

Для функции v получаетсяPуравнение v 00 −2ξv 0 +(2ε−1)v = 0. Далее ищем v в виде ряда v = an ξ n .Подставляя этот ряд в уравнение, получаемXξ n [(2ε − 2n − 1)an + (n + 1)(n + 2)an+2] = 0.nИз этого уравнения получается рекуррентное соотношение для ко2n + 1 − 2εan+22an . Условие lim=→ 0эффициентов an+2 =n→∞ an(n + 1)(n + 2)nобеспечивает сходимость ряда для всех ξ, но при ξ → ±∞ получает2ся: v(ξ) → eξ . Это соответствует отброшенному решению уравнения,для которого ψ(ξ → ±∞) → ∞, т.е.

не выполняется граничное условие(2.17). Граничное условие выполняется, только если ряд для v(ξ) обрывается на каком–нибудь n–м члене, т.е. если 2n + 1 − 2ε = 0. Это и естьусловие для определения собственного значения гамильтониана – энергии осциллятора (4.10). При этом волновые функции имеют вид (4.18),коэффициенты входящих сюда полиномов Эрмита связаны приведёнными выше рекуррентными соотношениями.4.2.∗Когерентные состояния Предварительные соображения. Чтобы пояснить, зачем изучаются когерентные состояния, рассмотрим сначала область фокусирования пучка (света, электронов, нейтронов) с помощью соотношения неопределенностей.

Пусть пучок круглого сечения, движущийся вдоль оси z, фокусируется на плоском экране в пятно радиуса a,т.е. ∆x = ∆y = a. Угловой разброс пучка характеризуется отношением ∆θ = ∆px/pz = ∆py /pz . Если ещё угловой разброс не зависит отпространственного разброса в фокальной плоскости и от азимутальногоугла, то радиус пучка на расстоянии z от фокальной плоскости есть 22(∆p)zp∆xxz(∆x(z))2 = (∆x)2 +z 2 ≡ (∆x)2 1 + 2β=.2pzβ∆pxЗдесь β – расстояние от фокальной плоскости, на котором площадь фокального пятна увеличивается вдвое. В силу соотношения неопределенностей2(∆x)24π(∆x)22π~β ≤ βmax =pz ≡λ=.~λpz61Таким образом, область фокусирования имеет наибольшую протяженность если достигается низший предел в соотношении неопределенностей(для света это – дифракционный предел).

Так, для длины волны 1 мкм(ближний инфракрасный свет, лазер на неодимовом стекле или гранате)и при a =0.3 мкм величина βmax ≈ 1 мм.♦ В силу теоремы о вириале средние значения кинетической и потенциальной энергий осциллятора в его собственном состоянии совпадают,1p2 mω 2 x2 ~ωhi =hi =n+.2m n222nОтсюда следуетhx2in = x202n + 12n + 1; hp2 in = p20.22(4.20)Последние соотношения нетрудно получить и прямо из определений операторов b̂ или из матричного представления (4.16).Средние значения координаты и импульса в рассмотренных состояниях равны нулю.

(Это следует из симметрии гамильтониана и отсутствия вырождения, и это фактически записано в соотношенияхp (4.16)).Поэтому соотношения (4.20) дают прямо значения ∆x = x0 n + 1/2 иp~∆p = p0 n + 1/2. Используя (4.3), имеем поэтому ∆x∆p = (2n + 1).2Таким образом, произведение неопределенностей координаты и импульса достигает наименьшего значения, отвечающего соотношению неопределенностей (1.26) только в основном состоянии осциллятора. В возбуждённых состояниях разброс значительно больше, соответственно и длинаобласти хорошего фокусирования β значительно меньше. Когерентные состояния.Существуют, однако, состояния осциллятора, отличающиеся от основного и реализующие тот же минимум произведения неопределенностейи при большой средней энергии, которые приготовляются, например, внекоторых лазерных вспышках и обеспечивают наилучшее фокусирование лазерных пучков.

Это — когерентные состояния, определяемыеуравнением1QPb̂|αi = α|αi, α = √+i.(4.21)p02 x0Здесь α – некоторое комплексное число, а Q и P – его действительная имнимая части.62Решение этого уравнения в координатном представлении получается из решения (4.17) уравнения (4.9) для основного состояния простымсдвигом x → x − α (с изменением нормировки из–за комплексности α):2P22−1/2ψα (x) = π −1/4x0 e−(x−Q−iP/mω) /2x0 exp − 2 ≡2p0−1/2 −(x−Q)2 /2x20 −iP (x−Q)/~π −1/4x0e.(4.22)Эти состояния обеспечивают оптимальное фокусирование.Первая форма этой волновой функции показывает, что значения дисперсий ∆x и ∆p точно те же, что и для основного состояния.

Поэтомудля когерентного состояния их произведение минимально, как и для основного состояния∆x∆p = ~/2.Вторая форма волновой функции (4.22) показывает, что когерентное состояние есть волновой пакет с центром в точке Q и с суммарным импульсом P .Чтобы разобраться в этом состоянии подробнее, разложим его по найденным ранее стационарным состояниям |ki:P|αi =dk |ki.kУмножимтеперь равенство (4.21) слева на hn|. Учитывая, что hn|b̂ =√n + 1hn +1| (4.12), получим с учетом ортогональности состояний с разными n:√αnn + 1dn+1 = αdn ⇒ dn ≡ hn|αi = d0 √ ⇒n!∞X αn−|α|2 /2√ |ni.|αi = e(4.23)n!n=02(Величина d0 = e−|α| /2 получается из условия нормировки). Подставляясюда выражение для |ni через (b̂)n|0i (4.12), находим отсюда−|α|2 /2|αi = e∞X(αb̂+)nn=0n!2|0i ≡ e−|α|/2 αb̂+e|0i.(4.24)Таким образом, вероятность найти состояние |ni в данном когерентном состоянии |αi описывается распределением Пуассона:|α|2n −|α|2wn =e,n!63(4.25)Средняя энергия осциллятора в этом состоянии обычно намного превышает ~ω, этоP11hEi = hα|~ω b̂+b̂ +|αi = ~ωnwn +⇒2212hEi = ~ω |α| +.(4.26)2Среднее значение числа "вибронов" в этом состоянии есть |α|2 .То же разложение по стационарным состояниям позволяет найти эволюцию когерентного состояния со временем.

Характеристики

Список файлов лекций