Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 8
Текст из файла (страница 8)
T.к. P̂ψ(x) =ψ(−x) , то P̂ 2 ψ(x) = ψ(x). В то же время P̂ 2ψ(x) = P 2 ψ(x), т.е. P 2 = 1.Поэтомучётность квантовомеханической системы может принимать значения P = +1 (четное состояние) или P = −1 (нечётное состояние).Если P̂ Â = Â, то величины P и A коммутируют, и одновременно измеримы. В частности, если [Ĥ, P̂] = 0 (т.е. P̂ Ĥ=Ĥ), то чётность сохраняется. При этом можно так определить стационарные состояния, чтобыони имели определенную чётность.Чётность — специфически квантовое понятие. Она не имеет классического аналога, поскольку чётные и нечётные состояния неразличимыдля классической величины — вероятности.2.4.Одномерные задачи.
Общие чертыМногие проблемы рассматриваются далее на примере задач одномерного движения. Мы рассматриваем два разных вида таких задач:♦ Задачи на бесконечной прямой, отвечающие обычному одномерномудвижению (в очень длинных молекулах, волноводах и т.п.)♦ Задачи на полубесконечной прямой, возникающие при решении задачи о радиальном движении в центрально–симметричном поле (см. дальше). Чтобы описать движение только при r > 0, в предыдущую задачувводится потенциал, обращающийся в ∞ при r < 0.
Соответственно,граничные условия для этой задачи включают требование ψ(x = 0) = 0.40 Свойства решений.Уравнение Шредингера (2.2) – линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Оно имеет два независимых решения ψ1 и ψ2 . Определитель Вронского – вронскиан – для этих решений не зависит от координат:W = ψ1 (x)ψ20 (x) − ψ10 (x)ψ2(x) = const.(2.13)(Легко проверить, что в силу уравнения Шредингера dW/dx = 0.) Для линейно независимых решений W 6= 0. В физически интересных случаях производная ψ 0 (x) непрерывна.Действительно, интегрируя уравнение Шредингера (2.2) в малой окрестности произвольной точки x = a, получаемZa+Za+2mψ 00 (x)dx = ψ 0 (a + ) − ψ 0 (a − ) = 2dx[U (x) − E]ψ(x) → 0.~a−a−Иными словами, если U (x) не обращается в бесконечность, то из конечности волновой функции следует непрерывность ее производной инепрерывность самой функции:ψ(a + ) − ψ(a − ) → 0;ψ 0 (a + ) − ψ 0 (a − ) → 0.(2.14)♦ В частности, пусть при x = a потенциал U (x) имеет скачок так, чтоуравнение Шредингера имеет вид2m[E−U(a−)]k2 =; −k 2ψ(x) при x < a2~00ψ (x) =2m[U(a+)−E]κ2 =. κ 2ψ(x) при x > a~2Тогда вблизи этой точки решение можно представить в видеA sin[k(x − a)] + B cos[k(x − a)] при x < aψ(x) =Csh[κ(x − a)] + Dch[κ(x − a)] при x > a.Из условий непрерывности (2.14) следует, что D = B, C = Ak/κ, т.е.при переходе через точку a решения преобразуются по закону (правиласшивки):kA sin[k(x − a)] → A sh[κ(x − a)] ,(2.15)κB cos[k(x − a)] → Bch[κ(x − a)] .(Нетрудно проверить, что вронскиан при сшивке не изменился.)41♦ При описании некоторых явлений удобно использовать модельныепотенциалы с бесконечными скачками в U (x) (например, для случая бесконечного потенциального ящика).
При этом второе из условий (2.14)может нарушиться. В частности, для U (x) = −Gδ(x − a) из уравненияШредингера (2.2) получаетсяR2m a+ψ (a + ) − ψ (a − ) = 2dx[−Gδ(x − a) − E]ψ(x) ⇒~ a−ψ 0 (a + 0) − ψ 0 (a − 0) = −k0 ψ(a).(2.16)2mGk0 =(U (x) = −Gδ(x − a)) .~200Следует не путать условия сшивки (2.14)–(2.16) с граничными условиями, которые обсуждаются ниже.2.5.Дискретный спектр Постановка задачи.Как уже обсуждалось, при E < 0 выполнимо условие нормировки вформе (1.11). Сходимость интеграла (1.11) означает, что ψ(x) достаточнобыстро спадает при |x| → ∞.
Во всяком случае,ψ(x) → 0 при |x| → ∞.(2.17)Это граничное условие для ψ(x) вместе с требованием непрерывностиможет удовлетворяться только для некоторых значений E. (Вы увидитенаглядные примеры в терминальном классе.) Это и есть собственныезначения гамильтониана En – возникает дискретный спектр. Теорема о вириалеПусть |ni – стационарное состояние дискретного спектра (финитноедвижение), т.е.
собственное состояние гамильтониана Ĥ|ni = En|ni. Тогда для любого сохраняющегося оператора Â имеем hn|[Ĥ, Â]|ni = hn|Ĥ Â−ÂĤ|ni ≡ (En − En )hn|Â|ni = 0. В частности, для Â = p̂r̂ c учётом (1.31)и соотношения Ĥ = T + U (r), T = p̂2 /2m получаемp̂2~hn|[Ĥ, p̂r̂]|ni ≡ hn|[Ĥ, p̂]r̂|ni + hn|p̂[Ĥ, r̂]|ni = i~hn|~r ∇U − |ni = 0 .mПоследнее из этих соотношений составляет теорему о вириале~ |ni .2hn|T |ni = hn|~r ∇U42(2.18)♦ В частности, для гармонического осциллятора имеемmω 2 x2p̂2|ni = hn||ni,hn|22m♦ Точно так же для атома водородаe2p̂2hn| |ni = 2hn||ni,r2mhT i = hU i =En.2hT i = −hU i/2 = −En .Разумеется, теорема о вириале справедлива для любого финитногодвижения (не только одномерного).2.5.1.Прямоугольная потенциальная ямаРассмотрим важный пример — уровни энергии (связанные состоянияE < 0) в прямоугольной потенциальной яме на бесконечной прямой:−V при |x| < aU (x) =(2.19)0при |x| > a.Уравнение Шредингера имеет вид2m(V−|E|)k2 = ψ 00 + k 2ψ = 0;~2 2m|E|κ2 = ψ 00 − κ 2ψ = 0;~2при|x| < a,при|x| > a.Заметим, что Ĥ(−x) = Ĥ(x), т.е.
чётность сохраняется. Поэтому мырассмотрим отдельно чётные и нечётные решения.Чётные решения имеют видA cos kx при |x| < a,ψ(x) =Beκ(a−|x|) при |x| > a.Записав теперь условия непрерывности для ψ 0 (x) и ψ(x) в точке x = a иподелив одно равенство на другое, получаем уравнениеrκk022mVtg ka = =−1k02 =.(2.20a)2kk~2Изобразим наpграфике в зависимости от параметра ka обе части уравнения, tg ka и (k0a/ka)2 − 1. Точки пересечения определяют набор решений kn (или En), т.е. энергия квантуется. Число решений зависит только43от параметра k0a. Легко видеть, что это уравнение имеет решение присколь угодно малом значении k0a.Нечётные решения имеют видA sin kxпри |x| < a,ψ(x) =∓κ(x∓a)−Beпри ±x > a .Тем же путём, как и для чётных решений, в этом случае получаетсяуравнение на собственные значенияtg ka = −k/κ .(2.20b)Свойства решений разберите, следуя задаче 6 в конце главы.Заметим, что фактическим параметром задачи является величина k0 a.2.5.2.Общие свойства решений одномерной задачиРассмотренный пример позволяет легко понять общие черты решениялюбой одномерной задачи.• Дискретные уровни в одномерной задаче невырождены.Действительно, пусть ψ1(x) и ψ2 (x) — две разные собственные функции Ĥ, отвечающие одному значению E.
Тогдаψ1002mψ200= 2 (U − E) =→ ψ100 ψ2 − ψ200 ψ1 = 0ψ1~ψ2d 0⇒(ψ1 ψ2 − ψ20 ψ1 ) = 0 .dxВ силу граничного условия (2.17), отсюда следует ψ10 ψ2 − ψ20 ψ1 = 0.Поэтому ψ1 = Cψ2, т.е. решения совпадают.• Осцилляционная теорема: Волновая функция дискретного спектра ψn (x), соответствующая n + 1–му по величине собственномузначению En, обращается в нуль n раз при конечных x (примеры –потенциальный ящик, осциллятор).
Между двумя любыми нулямиn-го состояния лежит ровно один нуль n + 1-го уровня.2.6.Непрерывный спектр. Задача рассеяния Постановка задачи. Как уже говорилось, при E > 0 частицане локализуется в конечной области пространства, условие нормировки(1.11) не может выполняться и ограничения на значения энергии не возникают. Мы имеем дело с непрерывным спектром. Здесь ставится44одномерная задача рассеяния:Слева падает поток частиц N eikx. Из-за взаимодействия с рассеи0вателем возникает рассеянная волна iN f (k, k 0)eik x c k 0 = −k приx → −∞ (отраженная волна) и k 0 = k при x → ∞ (прошедшая волна).Требуется определить амплитуду рассеяния f (k, k 0).
Иными словами,граничное условие для уравнения Шредингера выбирается в видеikx−ikxNe+if(k,−k)eпри x → −∞ ,ψ → e−iEt/~(2.21)ikxikxN e + if (k, k)eпри x → ∞ ,и требуется найти величины f (k, k 0).pМы выбираем N = m/(~k), что отвечает нормировке на поток. Обозначения для амплитуды рассеяния выбраны так3, чтобы соответствовать стандартным обозначениям трёхмерной задачи, гл. 14. В частности, iN f (k, −k)e−ikx и iN f (k, k)eikx вместе представляют собой волны,расходящиеся от рассеивателя, а σ = |f (k, k)|2 + |f (k, −k)|2 – величинуполного потока, идущего от рассеивателя.
В трёхмерной задаче подобную величину называют полным сечением рассеяния.• Начнем вычисления с нефизического случая, когда потенциал необращается в нуль на ∞ ("ступенька")0при x → −∞ ,U (x) →−V при x → ∞ .Тогда нормировки потоков слева и справа от ступеньки различны,и взамен (2.21) уравнение Шредингера следует решать с граничнымиусловиямиikx−ikxNe+if(k,−k)e при x → −∞ ,ψ → e−iEt/~ik1 xik1 xприN1 e+pif (k, k1)epx → ∞ ,p(2.22)k = 2mE/~2 , k0 = 2mV /~2 , k1 = k 2 + k02 ;ppN = m/(~k) , N1 = m/(~k1) .Решение уравнение Шредингера даёт√√k1 − k( k1 − k ) 2f (k, −k) = i, f (k, k) = i.k1 + kk1 + kМы выбрали единичную плотность тока падающей волны, плотностьтока отражённой волны есть |f (k, −k)|2, а плотность тока прошедшейНередко можно встретить единое обозначение для амплитуды прошедшей волны, например, B ≡ 1 + if (k, k) и соответственно A ≡ if (k, −k).345волны jпр = |1 + if (k, k)|2.
Нетрудно убедиться, что коэффициенты прохождения T = |1 + if (k, k)|2 и отражения R = |f (k, −k)|2 связаны законом сохранения потока числа частиц R + T = 1.O Оптический аналог – отражение света при нормальном падении награницу раздела (справа – вакуум, слева – стекло), в оптике волновойвектор k = 2π/λ = ωn/c (n – показатель преломления).♦ При 0 > E > −V асимптотика при x → −∞ изменяется, ψ →√(B/ κ)eκx , κ 2 = 2m(V −E)/~2, оптический аналог – полное внутреннееотражение при движении из +∞.• Для физически осмысленного случая, когда потенциальнаяэнергия обращается в нуль при x → ±∞, асимптотическое поведение волновой функции на больших расстояниях даётся граничнымиусловиями (2.21).Для прямоугольной потенциальной ямы (2.19) простые вычисления (две сшивки) дают в обозначениях (2.22) (задача 21)e−2ika1 + if (k, k) =.k 2 + k12cos 2k1a − isin 2k1a2kk1(2.23)Прямое вычисление показывает, что коэффициент прохождения обращается в бесконечность при мнимых значениях k, отвечающих положениямуровней (2.20), E = −(~k)2/(2m).2.6.1.∗Виртуальный уровеньНекоторые состояния непрерывного спектра похожи на стационарные.Это можно увидеть, рассматривая решение (2.23) для очень глубокойямы k0 a 1 в случае ka 1, k1 k.Коэффициент прохождения |1 + if (k, k)|2 принимает максимальноезначение 1 при тех значениях энергии En , когда 2k1(En )a ≈ πn.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
