Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Из принципа суперпозиции следует, что уравнениедля эволюции волновой функции должно быть линейным, т.е. иметь видdψ/dt = D̂ψ, где D̂ – некоторый оператор.Чтобы догадаться, как выглядит этот оператор D̂, вспомним выражение для стандартной плоской волны (1.1), ψ = Cei(px−Et)/~. Для такойфункции дифференцирование по времени дает собственное значение оператора D̂, равное E/i~. Это – основание для догадки, что и в общем случае D̂ = Ĥ/i~, где Ĥ – оператор Гамильтона (гамильтониан)(1.8).
Это— пример использования принципа соответствия1. В сущности, утверждение, что D̂ = −iĤ/~, представляет еще один постулат квантовоймеханики, но постулат "второго сорта"как все получаемые из принципасоответствия определения операторов физических величин. Итак,уравнение для эволюции волновой функции со временем — уравнение Шредингера записывают в виде: 2dψ(~r , t)p̂i~= Ĥψ ≡+ U (~r ) ψ(~r , t).(2.1)dt2mЭто уравнение сохраняет свой вид вне зависимости от используемогоДля знакомых с элементами аналитической механики приведу "более возвышенный" аргумент: В классической механике p = ∂S/∂x, H =−∂S/∂t (S — действие). Если в квантовой механике p ⇒ −i~∂/∂x = p̂, тоследует ожидать, что E ⇒ i~∂/∂t → Ĥ.134представления.
Иными словами, это — уравнение для векторов состояния. Его свойства:• Уравнение Шредингера линейно: если ψ1 (~r, t) и ψ2 (~r, t) – решенияуравнения Шредингера то c1 ψ1 + c2 ψ2 также является решением(принцип суперпозиции).• Уравнение Шредингера – уравнение первого порядка по времени;поэтому ψ(~r, t) в любой момент времени полностью определяется,если известна ψ(~r, t0) в некоторый момент t0 .Далее мы долго ограничиваемся случаем, когда гамильтониан Ĥне зависит от времени явно. Рассмотрим стационарные решения уравнения Шредингера, т.е.
решения, для которых плотность вероятности |ψn (~r, t)|2 не меняется со временем. Вся зависимость такого решения от времени должна сводиться к некоторому фазовому множителю ψn (~r, t) = ψn (~r)eiφn (t) .Подставим это соотношение в уравнение Шредингера (2.1) и используемметод разделения переменных. При этом наше уравнение разбивается надва, которые удобно записать в виде:En tφn (t) = −, Ĥψn (~r) = En ψn (~r).~Величина En появляется как параметр разделения переменных, не зависящий от ~r и t. В соответствии с принципом соответствия мы отождествляем эту величину с энергией системы в состоянии ψn .Второе из этих уравнений есть уравнение на собственные значения Enдля гамильтониана Ĥ.
Его называютуравнением Шредингера для стационарных состояний:Ĥψn (~r) ≡ −~2∆ψn (~r ) + U (~r )ψn (~r ) = En ψn (~r) ,(2.2)2mψn (~r , t) = ψn (~r )e−iEn t/~ .Решения уравнения (2.2) ищутся в классе функций, квадратично интегрируемых вместе с первой производной. Они образуют базис энергетического представления.Обычно решения нумеруют в порядке возрастания собственных значений E0 ≤ E1 ≤ E2 ≤ E3 ≤ .... Состояние, отвечающее наименьшейэнергии E0 , называют основным состоянием.♦ Если одно собственное значение E отвечает нескольким различнымволновым функциям ψα , т.е.
Ĥψα = Eψα при α = 1, ..., k. то говорят, что35состояние с энергией E вырождено (k–кратно). Ясно, что любая линейная комбинация функций ψα также описывает стационарное состояниес энергией E. При описании системы с вырождением любой из наборовфункций ψα можно рассматривать как базис. Во многих случаях вырождение связано с существованием какой-то симметрии системы, состоянияψα переходят друг в друга при преобразованиях этой симметрии. Нормировки волновой функцииМы выбираем начало отсчета потенциальной энергии так, чтобы учестьисчезновение взаимодействия на больших расстояниях2: U (~r) → 0 приr → ∞. В соответствии с этим, постановки соответствующих краевыхзадач и нормировки волновой функции существенно различаются дляслучаев E < 0 и E > 0.
Это различие соответствует двум разным типамклассического движения.♦ При E < 0 движение частицы финитно – она остается в конечнойобласти пространства. В соответствующей квантовой задаче можно рассчитывать, что в ограниченной области пространства есть одна частица,т.е. можно потребовать выполнения условия нормировки в форме (1.11).♦ При E > 0 движение частицы инфинитно – она уходит на бесконечp2ность, где имеет энергию E => 0. В соответствующей квантовой за2mдаче также E > 0, в указанной области ψ ∼ C1eipx/~ +C2 e−ipx/~. При этомчастица не локализуется в какой-нибудь конечной области пространства,условие нормировки (1.11) не может выполняться.
Взамен этого используется естественное обобщение условия (1.11) – нормировка на поток (см.ниже) или на δ – функцию:hp0 |pi = δ(p − p0 ) .2.1.1.(2.3)Эволюция состояния со временемВ общем случае эволюция волновой функции определяется следующим образом. Разложим волновую функцию начального состояния ψ(~r, 0)по собственным функциям ψn (~r) гамильтониана системы Ĥ: ψ(~r, 0) =Pcn ψn (~r). Тогда со временем каждая из этих компонент эволюционируЭто условие нарушено для гармонического осциллятора, бесконечно глубокой прямоугольной ямы,... В таких задачах всегда предполагается фактически, что рост потенциала останавливается при очень больших U (r), инаше условие удовлетворяется после замены U (r) → U (r) − U (∞).236ет по своему закону (2.2), и в итоге мы имеемZX−iEn t/~∗3ψ(~r, t) =cn eψn (~r),cn = ψn (~r)ψ(r, 0)d r .
Поскольку hEi =Rψ ∗ (r, t)Ĥψ(r, t)d3r =Pn(2.4)En |cn |2 , то cn есть ам-плитуда вероятности обнаружить у системы энергию En. Набор величинcn есть волновая функция системы в энергетическом представлении. Определим оператор эволюции системы во времени Û (t, 0):|ψ(t)i = Û (t, 0)|ψ(0)i .(2.5a)Он даёт компактную запись (2.4). При этом уравнение Шредингера даётуравнение для оператора эволюцииi~dÛ= Ĥ(t)Û .dt(2.5b)Если гамильтониан не меняется со временем, т.е. [Ĥ(t), Ĥ(t0 )] = 0 (какэто имеет место в большинстве рассматриваемых в этом курсе задач), тоиз (2.5b) получается простое выражение для оператора эволюции−iĤt/~Û (t, 0) = eÛ (0) = 1 .(2.5c)Из эрмитовости гамильтониана следует, что оператор Û – унитарный:Û −1(t, 0) ≡ Û (−t, 0) = eiĤt/~ = Û (t, 0)+.(2.5d)Действие оператора эволюции на стационарные состояния описываетсясоотношением Û |ni = exp(−iEnt/~)|ni.Если гамильтониан зависит от времени, то выражение для оператораэволюции сложнее.
При изучении явлений, в которых гамильтониан зависит от времени, следует иметь в виду, что физический смысл имеют только наблюдения "до начала событий"и "после конца событий". Наблюдение впромежуточный момент необратимо меняет эволюцию системы. Поэтому полезным является оператор эволюции для периода времени от −∞до ∞. Его называют матрицей рассеяния, или S–матрицей:Ŝ = Û (∞, −∞) .37(2.6) Нетрудно убедиться, что эволюцию волновой функции (2.4) можноописать и с помощью функции Грина G, которая, в сущности представляет собой запись оператора эволюции в координатном представлении:ZXψ(~r, t) = G(~r, ~r0 , t)ψ(~r0, 0)d3r0 : G =ψn (~r)ψn∗ (~r0)e−iEn t/~.
(2.7a)nФункция Грина удовлетворяет уравнению с начальным условием:Xi~∂G/∂t = ĤG, G(~r, ~r0 , 0) =ψn (~r)ψn∗ (~r0) = δ(~r − ~r0 ).(2.7b)2.1.2.Плотность тока вероятностиРассмотрим изменение плотности вероятности ρ(~r, t) = |ψ(~r, t)|2 современем:∂ρ/∂t = ψ ∗ ∂ψ/∂t + (∂ψ ∗/∂t)ψ.Подставим сюда вместо производных от ψ и ψ ∗ их выражения, получающиеся из уравнения Шредингера (2.1). В итоге получаетсяii~ h ∗ ~ 2∂ρ2 ∗~=ψ ∇ ψ − (∇ ψ )ψ .∂t2mТеперь преобразуем выражение в квадратных скобках, добавив и вычи~ ∗ ∇ψ.~ При этом правая часть оказывается дивергенциейтя слагаемое ∇ψнекоторого вектора ~j (плотности тока (вероятности)), и наше равенство принимает вид уравнения непрерывности:~ ~j; ~j = − i~ [ψ ∗ (∇ψ)~~ ∗ )ψ].∂ρ/∂t = −∇− (∇ψ(2.8)2mВыделяя амплитуду и фазу волновой функции, имеем√~ψ = ρeiϕ ⇒ ~j = ~ρ∇ϕ/m.(2.9)Итак, ток вероятности направлен вдоль градиента фазы волновой функции.
Именно в этом состоит физический смысл фазы.♦ В частности, для плоской волны (1.1)(px − Et)p~ψ(x) = Ae⇒ j = |A|2 .(2.10a)mПоэтому далее мы (если это не оговорено специально) будем считатьстандартным выражение для плоской волны, нормированной на поток:(px − Et)rm i~ψ(x) =e.(2.10b)pi38Это соответствует прохождению одной частицы в секунду через площадку единичной площади, перпендикулярную вектору p.2.2.Сохраняющиеся величины. ВырождениеРассмотрим оператор какой–нибудь физической величины A, и вычислим производную по времени от ее среднего значения по некоторомусостоянию |ψi (домножив его на i~):i~i~ hdhAid≡ i~ hψ|Â|ψi =dtdt!dψ∂ Âdψ|Â|ψi + hψ| |ψi + hψ|Â| i .dt∂tdtИспользуя для dψ/dt уравнение Шредингера (2.1), получимdhAi ∂ Âi~= hψ i~− Ĥ Â + ÂĤ ψi. ∂tdt∂ Â= 0 и операторы Â и Ĥ коммутируют, то∂tdhAi/dt = 0, т.е. величина hAi не меняется со временем.
Тогда Â – оператор сохраняющейся величины.В этом случае стационарные состояния можно выбрать так, чтобы ониодновременно были собственными состояниями и оператора Â и гамильтониана. При этом говорят также, что величина A и энергия одновременно измеримы (см. подробнее ниже). Пусть существует два некоммутирующих оператора Â и B̂, каждыйиз которых коммутирует с гамильтонианом. Подействовав операторами[Â, Ĥ] = 0 и [B̂, Ĥ] = 0 на собственное состояние гамильтониана |Ei, мывидим, что векторы Â|Ei и B̂|Ei также является собственными векторами гамильтониана. Эти векторы не могут совпадать в силу некоммутативности операторов Â и B̂ (один из них может совпадать с |Ei). Такимобразом, одному и тому же значению энергии отвечают по крайней мередва разных собственных вектора, т.е.
в этом случае стационарные состояния обязательно вырождены.[Â, Ĥ] = 0 , (2.11)[B̂, Ĥ] = 0 , ⇒ стационарные состояния вырождены.[Â, B̂] 6= 0 Вывод:Если39Заметим, что сохранение какой-нибудь величины A означает обычно существование некоторой симметрии. Иными словами, наличие симметрииведёт обычно к вырождению стационарных состояний. Кратность вырождения увеличивается при добавлении дополнительных симметрий.2.3.ЧётностьДействие оператора отражения координат P̂ на любую функцию координат состоит в изменении знаков этих координат в аргументе:P̂ψ(~x) = ψ(−~x).(2.12)Собственное значение оператора отражения называется чётностью P .Иначе говоря, P̂ψ(x) = P ψ(x).Найдем возможные собственные значения оператора P̂.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
