Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. . . . . . . . .14.2.1 Конечность полного сечения . . . . . . . . . .14.2.2 Рассеяние на потенциале Юкавы . . . . . . .14.2.3 Формула Резерфорда . . . . . . . . . . . . . . .14.2.4 Атомный формфактор . . . . . . . . . . . . . .14.3 ∗ Фазовая теория рассеяния . . . . . . . . . . . . . . .14.3.1 Парциальные амплитуды . . . . . . . . . . . .14.3.2 Фазы рассеяния. . .
. . . . . . . . . . . . . . .14.3.3 Рассеяние при наличии неупругости . . . . . .14.3.4 Упругое рассеяние медленных частиц . . . . .14.3.5 Рассеяние быстрых частиц на черном шаре. . .14.3.6 Резонансное рассеяние . . . . . . . . . . . . . .14.4 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .A..........................................................180184185186187188189191.................1931931931961981992012032032042052052072092092102122132156Некоторые обозначения, основные единицы~ = 1.0546 · 10−27 эрг с = 1.05 · 10−34 Дж с — постоянная Планкаe = 1.6 · 10−19 Кл — заряд электронаc = 2.9979 · 108 м/с — скорость света1e2≈— постоянная тонкой структурыα=~c 1371 эВ — 1 электронвольт = 1.6 · 10−19 Дж, 1 МэВ = 106 эВm ≡ me = 9.1 · 10−31 кг — масса электронаme c2 = 0.511 · 106 эВ = 0.511 МэВ — энергия покоя электронаµB =pe~/2mec = 5.8 · 10−11 МэВ/Т — магнетон Бораk = 2mE/~2 — волновое число для свободной частицы сэнергией Eθ(x) — ступенчатая функция, т.е.
θ(x > 0) = 1, θ(x < 0) = 0Атомная система единиц:~2~Единица длины aB =≡= 0, 53 · 10−8 см2memcα(боровский радиус)~3~Единица времени τB =≡= 2, 4 · 10−17cme4mc2 α2Единица скорости vB = αcme4mc2 α2Единица энергии Ry =≡= 13.6 эВ (Ридберг)2~22Стандартная номенклатура термов:L ≡ ~` – значение момента импульса (орбитального момента)Значения орбитального момента ` обозначают буквамиl = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...s, p, d, f, g, h, ...` – орбитальное квантовое числоLz ≡ ~m – проекция момента импульса на ось zm – магнитное (азимутальное) квантовое числоnr – число нулей радиальной волновой функции,радиальное квантовое числоn = nr + ` + 1 – главное квантовое число7(1)Глава 1ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ1.1.ВведениеХорошо известно, что переход к существенно новым масштабам рассматриваемых явлений может приводить к необходимости нового их описания (включающего классическое описание как предельный случай на"нормальных" масштабах).
В частности, известно, чтосостояние системы микроскопических частиц описывается волновой функцией ψ(~x, t).Поначалу для нас важно только, что ψ есть некоторая, скорее всего,гладкая функция координат и времени.Характерные масштабы квантовых явлений определяются, как и дляфотонов, известными соотношениями E = ~ω, p~ = ~~k с постояннойПланка ~ = 1.0546 · 10−27 эрг· с = 1.05 · 10−34 Дж· с.
Отличие квантовых законов от классических становится существенным когда величины сразмерностью кванта действия ~ (например, момент импульса, произведение изменения энергии на время взаимодействия, ...) настолько малы,что их можно сравнивать с постоянной Планка ~. Мы увидим далее, что|ψ(x, t)|2 имеет смысл плотности вероятности найти частицу в точке x.Справедливость квантовой механики подтверждается увереннымфункционированием множества устройств, действие которых основано на её законах (устройства твердотельной электроники, лазеры,детекторы элементарных частиц, ...). Поэтому я не нахожу нужнымначинать курс (как это делают многие авторы) с обсуждения первыхэкспериментов, послуживших аргументом в пользу новой в своё времятеории (дифракция электронов, нейтронов и других частиц, дискретныеспектры энергии, ...).Наш курс направлен на решение следующих задач:8• Выяснить, что значит описание на основе этих утверждений; понять, что оно вносит нового в наше понимание явлений микромирапо сравнению с привычным нам макромиром, каковы здесь новыепостановки задач.• Разобраться в особенностях описания разных физических систем;описать некоторые физически интересные системы.• Овладеть приближёнными методами, которые позволят отыскиватьответы в большинстве физически интересных проблем.• Демонстрируемые новые подходы к постановке и решению задачквантовой механики и физики твердого тела должны войти в интеллектуальный багаж слушателей, используемый ими для решения возникающих перед ними задач не только в этих сравнительноузких областях, но и вне их — вплоть до проблем организации производства и т.п..Простейшие объекты:♦ Плоская волнаψ(x, t) = Aei(kx−ωt) ≡ Aei(px−Et)/~ .(1.1)♦ Волновой пакет, близкий к монохроматической волне, – суперпозиция плоских волн с амплитудой A(k), которая представляет собой функцию с максимумом в точке k0 и быстро убывающую при удалении отмаксимума ("купол").
Выполнив простые разложения, получимZ~~~ψ(~r, t) = A(~k)ei(k~r−ω(k)t) d3 k ≈ A(~k0)f (~r, t)ei(k0~r−ω0 t) .(1.2)В одномерном случае обозначим через ∆k ширину этого "купола" и будем считать ∆k |k0 |. Тогдаf (x, t) =Z∆kei(qr−ωt) dq = 2∆k−∆ksin[(x − ug t)∆k].(x − ug t)∆kЗдесь ~ug = (∂ω/∂~k)~k0 = (∂E/∂~p)p~0 – групповая скорость пакета.Входящие в пакет разные гармоники имеют разные скорости. Придвижении некоторые компоненты бегут быстрее центра тяжести, а другие отстают. Поэтому со временем размер пакета увеличивается, происходит расплывание пакета.9 Аналогия с электродинамикойЧтобы уяснить идеи квантовомеханического описания, обсудим тео~ x, t), B(~~ x, t)) на чуть–чуть новом языке.рию электромагнитного поля (E(~Введем шестикомпонентный объект – столбец F с компонентами Fα =(E1, E2, E3, B1 , B2 , B3 ) и строку F † с теми же компонентами, претерпевшими комплексное сопряжение, – аналоги ψ(~x, t) и ψ ∗ (~x, t).
(Еслииспользуется действительное представление для полей, то строка получается из столбца простым транспонированием.) Тогда энергия поля естьR1 R 3 ~~~ H)~ → 1 P d3 x Ei εij Ej + Bi (µ−1)ij Bjd x(DE + B8π8π i,jPR 31 R 3⇒d x(Ei∗εij Ej + Bi∗ (µ−1)ij Bj ) ≡d x Fα† Wαβ Fβ ;16πα,β1εij0W=.0 (µ−1)ij16π(1.3a)Точно так же импульс поля естьW =R 31 R 3 ~~ ; Pi = 1P~ =d x[E × B]d xEj eijk Bk4πc4πcPR 31 R 3 ∗⇒d xEj eijk Bk ≡d x Fα† Piαβ Fβ ;8πcα,β10ei,j,k−3Pi =.08πc ei,j−3,k(1.3b)(В этих выражениях элементами матриц W и P являются матрицы 3 ⊗ 3— матрица 0 и матрицы eijk , εij , (µ−1)ij .)Итак, в электродинамике без зарядов и токов наблюдаемые значенияфизических величин определяются билинейными формами от поля F спомощью некоторых действий – операторов. Каждой физической величине A соответствует своя матрица Â, т.е. свой способ построения этойбилинейной формы — свое правило обращения с полем, так что среднеезначение величины A в состоянии с полем F есть (индексы опущены)ZhA(t)i = d3 xF † ÂF.Можно также говорить, что физические величины описываются свёртками вектора F † с векторами ÂF , которые получаются из F действиемоператоров  – в наших примерах – матриц 6 ⊗ 6.101.2.Основные постулаты квантовой механикиЕстественное обобщение этой картины для квантовой теории выглядит следующим образом.Наблюдаемые значения физических величин определяются билинейными формами от волновой функции.
Каждой физической величине Aсоответствует свой способ построения этой билинейной формы – свойоператор Â, так что среднее значение величины A в состоянии, описываемом волновой функцией ψ(x) есть:ZhA(t)i = d3xψ ∗ (x)Âψ(x) .(1.4)В электродинамике поля действительны, и комплексное представлениеполя – технический прием (формальная причина действительности поля– в том, что оно измеримо, например, с помощью пробного заряда e).Напротив, в квантовой механике волновая функция непосредственно неизмерима.
Поэтому она не обязательно действительна. Новые черты квантовой механики. Важнейшей идеей квантовой механики (Гайзенберг) является разбиение входящих в вычисленияобъектов на два класса: наблюдаемые и ненаблюдаемые. Теория должнаоднозначно описывать наблюдаемые величины (такие как энергии излучённых частиц, потоки рассеянных частиц и т.п.), но не обязана однозначно отвечать на любезные задающему вопросы о ненаблюдаемых величинах,и в частности, о промежуточном состоянии.Описание ненаблюдаемых величин зависит от избранного подхода.Так, волновая функция определена с точностью до несущественного фазового множителя, и в задаче о собственных функциях мы договариваемся выбирать чисто действительное решение. Хорошую (хотя и неполную)аналогию представляет потенциал электрического поля.
Измеримая величина – разность потенциалов, поэтому потенциал определён неоднозначно — с точностью до константы, мы договариваемся часто принимать за нуль значение потенциала на бесконечности.Оказалось также, что некоторые вопросы, которые кажутся естественными с классической точки зрения, лишены точного смысла в квантовойтеории. Хорошо известный пример – это вопрос: какова скорость частицы в тот момент, когда она находится в заданной точке? Этот вопроссхож с вопросом: какова была скорость толпы, когда Вы были в какой-тоточке внутри неё? Оба эти вопроса не имеют однозначных ответов, но накаждый из них можно получить приближенный ответ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
