Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

ее свойства не меняются при сдвиге, то импульс системы сохраняется. И наоборот, можно определить импульс как величину, которая сохраняется всилу трансляционной инвариантности. Трансляционная инвариантностьвключает в себя и инвариантность относительно конечного сдвига. Этозначит, что оператор импульса p̂ коммутирует с оператором конечного23сдвига, [p̂, T̂a] = 0. Поэтому естественно определить оператор импульсакак A · d/dx и отыскать коэффициент A.Оператор наблюдаемой величины — импульса — эрмитов, т.е.ZZ∗ψ (x)A(d/dx)ψ(x)dx = A∗((d/dx)ψ ∗(x)) · ψ(x)dx.Интегрирование по частям дает: A = −A∗ . Поэтому число A — чистомнимое, и p̂x = −i~d/dx (1.6). (Множитель ~ получается из размерности,а знак − следует из принципа соответствия, в согласии со стандартнойзаписью для плоской волны в виде exp[−i(ωt − kx)].)Для свободного движения Ĥ = p̂2/2m, и [Ĥ, p̂] = 0.

Поэтому Ĥ и T̂aимеют совместные собственные функции ψE,λ = Ceikx с собственнымизначениями E = ~2k 2 /2m и λ = eika . Кроме того, и импульс коммутируетс Ĥ и с T̂a и имеет в этом состоянии собственное значение ~k.♦ Вопрос: Для свободного движения нередко используют другие собственные функции ψ = cos kx. Они не являются собственными функциями p̂. Как это согласовать с предыдущим?1.6.Соотношение неопределённостейВ курсе электродинамики были получены соотношения неопределённостей и сделаны некоторые оценки на их основе. Здесь используетсяболее аккуратный подход. В нём, в частности, становится ясно, что соотношения неопределённостей электродинамики формально являются банальным фактом теории преобразований Фурье.

Точно так же, в квантовой теории соотношения неопределённостей являются следствием того,что физические величины описываются операторами, и эти операторывообще говоря не коммутируют.Пусть коммутатор эрмитовых операторов  и B̂ естьq[Â, B̂] = iĈ.Определим дисперсию величины A в состоянии |ni: ∆A = h( − hÂi)2i.Рассматривая следствия некоммутативности операторов для этого состояния, без ограниченияобщности примем, что hn|Â|ni = hn|B̂|ni = 0.qТогда ∆A =hÂ2 i .Образуем теперь состояние |mi = (α + iB̂)|ni и вычислим величинуhm|mi ≡ J(α) = hn|(α − iB̂)(α + iB̂)|ni =hn|α2 Â2 + iα(ÂB̂ − B̂ Â) + B̂ 2|ni = α2 (∆A)2 − αhCi + (∆B)2.24(1.25)По определению, величина J(α) ≡ hm|mi неотрицательна. Но в этомслучае дискриминант получившейся квадратичной формы по α (1.25) неможет быть положительным, т.е. должно быть4(∆A)2(∆B)2 ≥ hCi2 .Итак, получилось неравенство, следующее из некоммутативности операторов — соотношение неопределенностей|hCi|[A, B] = iC ⇒ ∆A · ∆B ≥.(1.26)2В частности,[x̂, p̂] = i~ ⇒ ∆x · ∆p ≥ ~/2 .(1.27) Эти соотношения вполне подобны тем, которые обсуждались дляколебаний и волн в других курсах.

Мы только выяснили здесь, каковточный смысл обсуждавшихся там оценок. Физический смысл этих соотношений подробно обсуждался в курсе электродинамики. Большинствоэтих выводов с очевидным изменением терминологии переносится и наквантовую механику.В частности, соотношение (1.26) означает, что в состоянии с разбросом∆A в величине A разброс ∆B в величине B не меньше, чем |hCi|/(2∆A).Не может существовать состояний с лучшей локализацией. В частности,если приготовлено состояние, в котором частица локализована в небольшой области, то она быстро делокализуется за счет разброса в импульсах.

Например, если электрон локализовать в объеме радиуса 10−8 см, точерез секунду он почти равновероятно может быть найден в области радиусом 1500 км (а неопределенность положения макроскопического объекта — шарика от пинг–понга — увеличится на 1% за миллиарды лет). Вчастности, для квантовой частицы не существует понятия траектории,можно указать лишь "трубку неопределённостей", внутри которой движется частица (расплывающийся волновой пакет). Согласно простейшейтрактовке, невозможно одновременно измерить импульс и координату свысокой точностью. и соотношение неопределённостей ограничивает погрешность этих измерений.Наряду с этим записывают и соотношение неопределённостей энергия–время.

Оператор энергии (гамильтониан) Ĥ (1.8) определяет эволюциюсистемы со временем и соотносится со временем так же, как и операторимпульса с координатой. Поэтому имеет место и соотношение неопределённостей∆t · ∆E ≥ ~/2 .(1.28)25Оно означает в частности, что при измерении, длящемся время t,невозможно измерить энергию с точностью, лучшей чем h/t. Полезнообсудить в этой связи переход системы из состояния с энергией Ei всостояние с энергией Ef под действием света с такой частотой ω, чтовыполняется закон сохранения энергии ~ω = Ef − Ei. Если воздействиесвета на систему продолжается в течение (хотя и большого) конечноговремени T , то сигнал не монохроматичен, спектр его частот размазан поинтервалу шириной ~/2T , и с той же погрешностью нарушается закон сохранения энергии (см.

подробный пример в гл. 13). Поэтому, в частности,в любых реальных переходах закон сохранения энергии не выполняется точно. (Разумеется, это не противоречит возможности существованиясистем со строго определённой энергией.) Вообще, справедливость закона сохранения энергии в любом случае ограничена значением ~Tun, гдеTun ∼ 5 × 1017 с. – время жизни Вселенной. Это существенно для явлений микромира, но для явлений окружающей нас жизни характернаявеличина нарушений чудовищно мала. Так, при наблюдении в течение0.001 сек отклонения от закона сохранения энергии составляют ∼ 10−31Дж! В большинстве классических задач подобная неопределённость превышает погрешность описания изолированной системы в пренебрежениивзаимодействием с окружением.Для нестабильной частицы с временем жизни τ (|ψ|2 ∝ e−t/τ ) соотношение неопределённостей (1.28) означает, что энергия этой частицы не может быть определена с точностью, лучшей ~/2τ , эта величина определяет ширину соответствующего уровня энергии (см.

подробнееразд. 5.3.3).♦ Оценки с помощью соотношения неопределённостей.• Оценим энергию основного состояния гармонического осциллятора:p̂2mω 2 x2Ĥ =+→2m2∆p 2 mω 2 ∆x2~2mω 2 ∆x2E = hĤi ≥+≥+.2m28m∆x22Минимум последнеговыражения как функции от ∆x достигается приp∆x ≡ x0 = ~/2mω.

Это дает точную нижнюю границу для энергииE ≥ ~ω/2.• Для энергии основного состояния электрона в атоме водорода.p̂2e2Ĥ =− .2mr26получаются не точные неравенства, а только оценки: 2 ∆p2e∆p 212E = hĤi ≥−&−e&2mr2m∆r~2e22me4&−≥− 2 .8m∆r2 h∆ri~Здесь мы предположили по аналогии с компонентами векторов (несуществующее) перестановочное соотношение для длин векторов [r, p] = i~и сочли, что h1/ri ≈ 1/∆r. Последнее неравенство получено с помощьютой же минимизации, что и выше. Неудивительно, что и ответ совпадаетс точным только по порядку величины (отличается вяетверо). Концепция дополнительности.

Соотношения неопределённостей послужили Н. Бору базой для формулирования общей концепциидополнительности, реализующейся в Природе. Существуют пары дополняющих друг друга понятий (объектов), одновременная полнаяреализация которых в Природе невозможна.Мы уже обсуждали невозможность одновременного наблюдения точных значений координаты и импульса в квантовой механике. Здесь дополнительными являются понятия координаты и импульса, связанныесоотношением неопределённостей.Однако, концепция дополнительности имеет значительно более общее значение.Так, не существует ответа на вопрос, каково мгновенное значение частоты Вашего пульса сегодня в 11 часов 12 минут 37.555 секунд. Здесьдополнительными являются понятия частоты пульса и времени, необходимого для его измерения.

(Обычно мы имеем дело со средним значением, но и оно зависит от предыстории).Эту концепцию распространяют также и на явления жизни и общественные явления. Например, Вы не можете одновременно думать окаком-то содержательном объекте и пытаться постигнуть процесс этого размышления. Здесь дополнительными являются субъект и процессразмышления.1.7.Измерения в квантовой механикеИзмерением в квантовой механике называют процесс взаимодействия27между квантовым объектом и классическим объектом (прибором), происходящий независимо от наблюдателя (Н. Бор)3 .При измерениях любых физических величин измерительный приборвносит изменения в наблюдаемую систему.

Например, при измеренииэлектрического поля, вызываемого каким–то распределением зарядов,само это распределение меняется под воздействием заряда, используемого для измерений.В классической физике считают, что можно (по крайней мере, в принципе) так уменьшить влияние измерительного прибора, чтобы сделатьпренебрежимо малыми изменения, вносимые этим прибором в измеряемую систему (в нашем случае – сделать величину измерительного зарядасколь угодно малой).Напротив, в квантовой механике воздействием измеряющего приборапренебречь нельзя.

"Согласно квантовому постулату, всякое наблюдение атомных явлений включает такое взаимодействие последних сосредствами наблюдения, которым нельзя пренебречь (Н. Бор)." В частности например, для измерения положения частицы нельзя обойтись менее, чем одним квантом света, и это существенно меняет величины квантового порядка малости. Подобным образом при измерении положения спогрешностью ∆x электрон меняет свой импульс на величину ≥ ~/2∆x.Измерение меняет состояние измеряемой системы, т.е.

нельзя провести измерение, не "портя" измеряемое состояние. Знание начальногосостояния позволяет вычислить только вероятность результата измерения. Воздействие измерения на состояние объекта тем сильнее, чемвыше точность измерения.Важное исключение составляет случай, когда с самого начала квантовая система находится в состоянии |ai, которое является собственнойфункцией оператора Â, т.е. Â|ai = a|ai.

Характеристики

Список файлов лекций