Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Отличие ситуации11в квантовой механике от ситуации с толпой состоит в том, что во втором случае можно сколь угодно хорошо организовать толпу и получитьответ с любой желаемой точностью. В квантовой теории неточность ответа является фундаментальным свойством. Погрешности измерения координаты и импульса не могут быть одновременно сделаны сколь угодномалыми, они связаны соотношением неопределённости, известным вамиз курса электродинамики и обсуждаемым подробно ниже. Это соотношение определяет квантовый предел погешности измерения. Доказано, что не существует динамической теории классического типа, содержащей некоторые неизвестные нам пока переменные(скрытые параметры), в которой все результаты предсказываются однозначно, а квантовая механика с её вероятностными предсказаниямивозникает как результат усреднения по этим скрытым параметрам.В этом смысле вероятностный характер предсказаний квантовой теориипринципиально отличается от классического случая, в котором статистическая неопределённость возникает просто от недостаточности илинеточности нашего знания.
Перечислим теперь основные положения квантовой механики, справедливые для изолированной системы:1. Состояние описывается с помощью волновой функции, которая неявляется наблюдаемой величиной. Для изолированной системыэто – полное описание.2. Предсказания квантовой механики носят статистический характер. Она предсказывает только средние значения большой серии испытаний для одинаково приготовленных систем.3. Динамические переменные описываются с помощью операторов так,что их (наблюдаемые)значения определяются соотношениR 3средние∗ем вида (1.4) hA(t)i = d xψ (x)Âψ(x).4.
Принцип суперпозиции: Если могут реализоваться состояния,описываемые волновыми функциями ψ1 (~x, t) и ψ2 (~x, t), то может реализоваться и любая их линейная комбинация c1 ψ1 (~x, t) + c2 ψ2 (~x, t).5. Принцип соответствия: Результаты должны переходить в классические когда величины размерности действия становятся ~.6. Пакетность: Волновые функции обычно сосредоточены в более илименее локализованных волновых пакетах (В.М. Галицкий).Два замечания к основным постулатам. Из принципа суперпозиции следует, что уравнение, описывающее эволюцию волновой функции со вре12менем, должно быть линейным по ψ (см.
главу 2). Постулат пакетностиобычно не упоминается в учебниках, он не формулируется точно. Нет универсального способа, позволяющего построить квантовыйоператор, соответствующий известной классической величине. Детали∼ ~ неразличимы в классическом пределе. Часто используют правило:Пусть классическая физическая величина известным образом определяется через координаты и импульсы частицы. Тогда оператор соответствующей квантовой величины определяется тем же соотношением с добавлением всех возможных перестановок между x̂ и p̂. Так,классической величине px сопоставляют обычно оператор (p̂x̂ + x̂p̂)/2.
Как известно, собственные значения λ и собственные функции ψλ оператора  – это решения уравненияÂψλ (x) = λψλ (x) .(1.5)♦ В нижеследующих примерах мы описываем различные операторы в"естественном" для начального употребления координатном представлении (см. подробнее дальше) и найдём собственные значения и собственные функции для некоторых их них.• Оператор координаты x̂ сводится к умножению на x. Операторкакой–нибудь функции от координат Û (x) сводится к умножениюна U (x).Собственные значения x0 и собственные функции ψ0 (x) находятся из уравнения x̂ψ0(x) ≡ xψ0(x) = x0ψ0 (x).
Отсюда следует, чтоψ0(x) = δ(x − x0), а собственное значение x0 может быть любымдействительным числом.• Оператор импульса p̂:p̂ = −i~∇ : p̂x = −i~∂∂∂, p̂y = −i~ , p̂z = −i~ .∂x∂y∂z(1.6)Собственные значения p и собственные функции ψp (x) находятсяиз уравнения p̂ψp (x) ≡ −i~dψp (x)/dx = pψp (x). Отсюда получается, что собственные функции импульса имеют вид плоских волнψp (x) = exp(ipx/~), а собственное значение p может быть любымдействительным числом.• Вообще, если определено действие какого–то оператора Ĝ, то функция от этого оператора F̂ (G) определяется следующим образом:13PРазложим функцию F (g) в ряд Маклорена: F (g) = fn g n .
Тогдаn 1dfdef X .F̂ (G) =fn (Ĝ)n , fn =(1.7)nn! dg g=0Таким способом определяется и произвольная функция от оператора координаты или импульса. В частности, действие оператора p̂2сводится к двукратному последовательному действию оператора p̂.Определение функции от оператора, пригодное и для случаев, когдаразложение в ряд неприменимо, приведено в (1.22).• Оператор энергии (гамильтониан):p̂2+ U (x) .(1.8a)2mКак мы увидим в гл.
2, этот оператор определяет эволюцию системысо временемdĤ = i~ .(1.8b)dtВ этом отношении он сходен с оператором импульса1 .• Оператор момента импульсаĤ =L̂ = [r̂ × p̂] :L̂x = ŷ p̂z − ẑ p̂y ; L̂y = ẑ p̂x − x̂p̂z ; L̂z = x̂p̂y − ŷ p̂x .(1.9)• Оператор вероятности найти частицу вблизи точки ~x0 в объёмеdV :P̂(~x0, dV ) = δ(~x − ~x0 )dV.(1.10)Вероятность найти частицу в объеме dV вблизи точки x0 естьZdw = P(~x0)dV = ψ ∗ (~x)P̂ (~x0, dV )ψ(~x)d3x = |ψ(~x0)|2dV,т.е. плотность вероятности найти частицу в точке x0 есть |ψ(~x0)|2 .(Нередко это равенство используют как объяснение физическогосмысла ψ–функции).♦ Условие нормировкиZψ ∗ (~x)ψ(~x)d3x = 1(1.11)В классической механике энергия и время так же канонически сопряжены друг другу, как и координата и импульс. Это ясно видно из записиуравнений Гамильтона–Якоби.114означает просто, что в объеме есть только одна частица.Эта интерпретация подтверждаетсяс (1.4)R тем, чтоR в соответствии2среднее значение x равно hxi = xdw = x|ψ(x)| dx, и среднеезначение любой функции F (x) естьZhF (x)i = ψ ∗ (x)F (x)ψ(x)d~x .Чтобы проиллюстрировать вероятностный характер предсказаний квантовой механики, рассмотрим дифракцию света, проходящего через паруотверстий.
Один фотон, пройдя через отверстия, в конце концов провзаимодействует с одним светочуствительным ионом пластинки и даст наней тёмное пятнышко. Положение этого пятнышка нельзя предсказатьточно, можно только указать, какова вероятность его появления. Точнотак же, нельзя предсказать и положение пятнышка от другого фотона.Дифракционная картина возникает как сумма пятнышек от множестваотдельных фотонов, распределение плотностей почернения отвечает упоминавшемуся распределению вероятностей, которое можно предсказать.Возникает вопрос, нельзя ли в каждом случае указать по положениюпятна на фотопластинке – этот фотон прошел через отверстие 1, следующий – тоже через 1, а этот – через отверстие 2.
Хорошо известно, чтоэто не так — дифракционная картина при прохождении пары отверстийне совпадает с суммой картин от каждого из отверстий.1.3.Векторы состояний и волновые функцииРассмотрим Фурье-образ волновой функции ψa (x), т.е. ее разложение по плоским волнам (1.1), описывающим состояния с определеннымимпульсом p.ZZ11ψa (x)e−ipx/~dx, ψa (x) = √ψ̃a (p)eipx/~dp. (1.12)ψ̃a (p) = √2π~2π~RПри условии (1.11) |ψ̃a (p)|2dp = 1. Вероятность найти частицу симпульсом p пропорциональна |ψ̃a (p)|2, dw/dp = |ψ̃a (p)|2, и для произвольной F (p) среднееZhF (p)i = ψ̃a∗ (p)F (p)ψ̃a(p)dp.В обеих функциях ψa и ψ̃a содержится одна и та же (полная) информация о состоянии a.
Чтобы извлекать эту информацию, необходимо про15каждую из этих функций сообщать, в каком базисе она записана (в координатном или в Фурье–импульсном).Как и в нашем трехмерном мире, в мире волновых функций надоразличать вектор и его запись в различных базисах. Вектор можно задавать, не прибегая к конкретному базису; например, — ~a длиной в одинметр, направленный от заданной точки на Полярную звезду. В какомнибудь избранном базисе X этот (трёхмерный) вектор записывается кактройка чисел – его проекций на оси, ~a = (a1 , a2, a3 )X , в другом базисеY тот же вектор определяется другой тройкой чисел ~a = (a01, a02 , a03)Y .Точно так же состояние квантовой системы определяется вектором состояния |ai, где значок a — метка состояния, его "номер". Нередко состояния "нумеруют"значениями классических и квантовых параметровв этом состоянии, a = (a1, a2 , .
. .). По традиции этот вектор называюткет - вектором. Сопряженный ему вектор называют вектором бра (вместе они образуют слово bracket). (Это – аналоги 6–компонентной строкиF и 6–компонентного столбца F † в электродинамике.) Набор чисел,описывающих вектор состояния в избранном базисе называютволновой функцией состояния. Например, в предыдущем примереψa (x) и ψ̃a (p) – волновые функции состояния |ψi в координатном и импульсном базисах соответственно.♦ Примеры:На семинарах вы решали задачу о состоянии частицы в прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками, n-ое стационарное состояниев этой яме часто обозначают значком |ni;|~pi(≡ |ψp i) — вектор состояния частицы с импульсом p;|~ri(≡ |ψr i) — вектор состояния частицы, локализованной в точке r.
Все возможные векторы состояний "кет" образуют линейное Гильбертово пространство, а сопряженные векторы "бра" — сопряжённоеГильбертово пространство. Скалярное произведение векторов состояний|ψi и |ϕi обозначают как hψ|ϕi = hϕ|ψi∗ . Если вектор состояния задан вкоординатном базисе, тоZhψ|ϕi = ψ ∗ (x)ϕ(x)dx .(1.13) В пространстве векторов состояний можно выбрать полный наборнезависимых ортонормированных векторов состояний |fi i, таких что22Если индекс i, нумерующий вектора состояний, принимает непрерывный16hfi |fj i = δij .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
