Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Расстояние между соседними максимумами этой величины в шкале волновых чисел есть δk1 = (n + 1)π/2a − nπ/2a = π/2a, что даёт дляэнергетической шкалы расстояние между максимумами коэффициентапрохождения δE = 2k1δk1 ~2/2ma = π~2 k1 /(2ma). С учетом равенстваk1dk1 = mdE/~2 разложение величины (1 + if (k, k))−1 по ∆E = E − En46вблизи n–го максимума даёт:k 2 + k12ma∆E−1iφiφ· 2a∆k1∆E ≈ e 1 − i(1 + if (k, k)) = e 1 − i2kk1k~2iΓ/2e−iφ2k~2⇒ 1 + if (k, k) =, Γ=,(2.24)E − En + iΓ/2maφ = πn + 2ka .Итак, поведение кривых вблизи каждого максимума описывается независимыми уравнениями обычного резонансного вида, и ширина каждого из максимумов Γ мала по сравнению с расстоянием между ними(Γ/δE = 4k/(πk1)). Это – виртуальные уровни.
В нашем примере ихположения совпадают с уровнями энергии бесконечно глубокой потенциальной ямы той же ширины с дном на уровне −V . Уровни хорошоопределены при k k0 , т.е. E V . При этой энергии рассеивательстановится прозрачным, т.к. последовательное отражение волны от двухграниц даёт волну с той же фазой, частица надолго задерживается надямой, и отражения не возникает.2.6.2.Оптическая теорема в одномерном случаеВ процессе рассеяния вероятность сохраняется, т.е.
сумма прошедшего и рассеянного потоков частиц совпадает с первоначальным. Эторавенство составляет содержание оптической теоремы|1 + if (k, k)|2 + |f (k, −k)|2 = 1P⇒ 2Imf (k, k) = σ ≡|f (k, k 0)|2 .(2.25)k 0 =±kВ трёхмерном случае соответствующее соотношение (14.11) получаетсяменее тривиальным образом.2.7.Постановка задачи при компьютерном моделированииВ терминальном классе многие физические ситуации моделируютсядля одномерной системы последовательностью прямоугольных стенок ибарьеров вида, изображенного на рисунке.47U (x)6x10xN-xМоделирование осуществляется следующим образом.При некоторой энергии Epв каждой из областей с Vp= const = Viвычисляется величина ki = 2m(E − Vi )/~ или κi = 2m(Vi − E)/~(та из них, которая действительна).
В этой области решение имеет видC1ieiki x + C2ie−iki x или B1ie−κi x + B2ieκi x .Затем в самой левой зоне (при x < x1) выбирается решение в видеволны, спадающей налево (при x → −∞), eκx для E < 0 или уходящаяв левую сторону e−ikx для E > 0.
Далее, с помощью условий сшивки(2.14) на первом скачке потенциала определяются коэффициенты Ci (Bi)для второй области. Затем решения подводятся ко второму скачку, иопять с помощью условий сшивки (2.14) определяются коэффициентыC(B) в третьей области. Таким способом находятся в конце концов коэффициенты C(B) в крайней правой области (x > xN ).Если E < 0, то в этой правой области решение имеет вид B1 (E)e−κx +B2(E)eκx .
Далее строится зависимость величины коэффициента при растущей экспоненте B2 от E. Собственные значения – уровни энергии –отвечают точкам, где B2 = 0 (т.е. в них выполняется граничное условие(2.17) — ψ(x) → 0 при x → ∞).После этого (если нужно) проводится нормировка волновой функциис помощью условия (1.11).Если E > 0, то в самой правой области (при x > xN ) получившеесярешение имеет вид B1eikx + B2e−ikx.
Это решение нормируется на волну,падающую справа e−ikx. Для этого полученная волновая функция делится на C2 . При этом коэффициент прохождения T = |C2|−2 , коэффициентотражения R = |C1/C2|2 .2.8.Задачи1. Как изменится ψ(x, t) при изменении начала отсчета потенциальнойэнергии на величину ∆V ?482. Как изменится ψ(x, t) при переходе в систему отсчета, движущуюсяотносительно первоначальной со скоростью ~v ?3. Найти плотность тока и среднее значение импульса частицы в со2стоянии ψ(x) = e−ax + iβx.4. Вычислить оператор eaP̂ , где a – число, а P̂ – оператор отражения.5. В бесконечно глубоком прямоугольном потенциальном ящике найтиψ(x, t), если ψ(x, 0) = A(x2 − a2 ).6.
Для частицы в прямоугольной потенциальной яме конечной глубины на бесконечной прямой (2.19) покажите, что1. Уровни для нечетных решений получаются из уравнения (2.20b).2. Все уровни можно найти pиз уравнения sin(πn/2 − ka) = κ/k0 .3. Для всех состояний A = κ/(1 + κa).4. Чётные и нечётные уровни чередуются.5. Всегда существует хотя бы один уровень.6.
В мелкой яме, V ~2/ma2 , существует лишь одно связанноесостояние с энергией E0 = −~2κ02/2m и волновой функцией√ψ0 (x) ≈ κ0e−κ0 |x| , κ0 = 2aV m/~2. Оцените ∆x и ∆p.7. Потенциал U = −Gδ(x) соответствует яме с G = 2aV → constпри a → 0. Установите соответствие с мелкой ямой (V → 0).8. Для связанного состояния в поле U = −Gδ(x) выразить средниезначения кинетической и потенциальной энергии через энергиюуровня.9. Определить уровни энергии для потенциала ∞ при x < 0,U (x) =−V при 0 < x < a0при x > a.При какой минимальной глубине в яме появляется уровень? двауровня?10. Для частицы в трёхмерном кубическом ящике размером a, с непроницаемыми стенками, найти уровни энергии, волновые функции,плотность числа состояний при E ~2/(2ma2).11.
Частица массы m находится в стационарном состоянии ψ(x) в полеU (x). Найти энергию состоянияи U (x) для случаев: E−βxxeпри x > 0,2a) ψ(x) = Ae−αx ; b) ψ(x) =0при x < 0.12. Для свободного движения найти общие собственные функции гамильтониана и оператора инверсии P.4913. Для барьера произвольной формы доказать равенство коэффициентов прохождения "справа"и "слева".14. Для поля в виде двух падающих ступенек, соответствующего просветлённой оптике, найдите условие прозрачности.15.
Найти уровни энергии и волновые функции для ямы, прижатой кначалу координат на полубесконечной прямой (радиальная задачадля центрально–симметричной прямоугольной ямы):∞ при x < 0 или x > a,U (x) =−V при 0 < x < a .16.17.18.19.При какой наименьшей глубине ямы появляется первый уровень?Сравните решения с решениями для ямы на бесконечной прямой.Частица находится в поле U (x) = −Gδ(x).а) Найти уровни энергии и волновые функции.б) Найти коэффициент прохождения T (E).в) При t = 0 волновая функция имеет вид ψ = κ −1/2e−κ|x| с κ, независящим от G. Найти вероятность того, что при t → ∞ частицаокажется в связанном состоянии.г) Найти уровни энергии и волновые функции, решая задачу в импульсном представлении.Частица находится в связанном состоянии в "движущейся яме"U (x, t)= −Gδ(x−vt).
В момент t = 0 яма останавливается, при t > 0 имеемU (x, t) = −Gδ(x). Найти вероятность того, что частица останется всвязанном состоянии.Рассмотреть частицу в поле U = −Gδ(x − b) на полубесконечнойпрямой (U (x < 0) = ∞).а) Найти уровни энергии и волновые функции.б) При t = 0 волновая функция имеет вид ψ = κ −1/2e−κ|x| . Найтивероятность того, что при t → ∞ частица останется в связанномсостоянии.Для частицы в поле U (x) = −εGδ(x + b) − Gδ(x − b), ε = ±1a) (ε = 1) Найти уровни энергии и волновые функции.Исследовать зависимость от b.
Найти силы, действующие на каждую из ям в разных состояниях.b) (ε = 1) Определить ψ(x, t), если при t < 0 между ямами быланепроницаемая перегородка и частица находилась в стационарномсвязанном состоянии вблизи левой ямы.50c) (ε = 1) Исследовать зависимость от энергии коэффициента прохождения и амплитуды волновой функции вблизи начала координат. Рассмотреть случаи G > 0 и G < 0.d) (ε = −1) При каком b исчезают связанные состояния?20. Найти коэффициенты прохождения и отражения в поле0при x < 0,U (x) =V (> 0) при x > 0.Указать оптическую аналогию.
Чему соответствует явление потериполуволны при отражении от оптически более плотной среды в данной задаче? Рассмотреть предел ~ → 0. Найти время задержки приотражении волнового пакета от этой ступеньки.21. Для частицы в поле прямоугольной потенциальной ямы (барьера)ширины 2a и глубины V (2.19) получите выражение (2.23) для амплитуды прошедшей волны и коэффициент прохождения T = |1 +if (k, k)|2.
Покажите, что при E < 0 полюса f (k, k) соответствуютсвязанным состояниям в той же яме (2.20). Для барьера особо рассмотрите случай κa 1. Для барьера упростите выражение T (E)в случае |Т(Е)| 1.22. Пучок электронов с импульсом pz проходит между двумя плоскостями кристалла конечной длины. Найти угловое распределение электронов на выходе, если их взаимодействие с кристаллическими плоскостями описывается потенциалом:0 при |x| < aU (x) =∞ при |x| > a.Указание: Связать угловое распределение с распределением электронов по px в указанном потенциале.23.
Найти энергии и волновые функции связанных состояний в полеU (x) = −G[δ(x − a) + δ(x) + δ(x + a)].При каких a число уровней уменьшается до двух, до одного?Найти зависимость коэффициента прохождения от энергии.Отдельно рассмотреть случай mGa ~2.24. Взаимодействие протона и нейтрона, приводящее к образованиюдейтона можно аппроксимировать прямоугольной потенциальной ямойс шириной 1,2 фм и глубиной U . Энергия связи дейтона составляеточень малую величину 2,2 МэВ. Определить U .51Глава 3ГАЙЗЕНБЕРГОВСКАЯ КАРТИНАВ нашем построении содержался важный произвол: мы фиксировалинекоторые определения операторов и рассматривали волновые функции,зависящие от времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
