Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Это — шредингеровская картина. В этой кар~ не зависят от t; среднее значение физитине операторы ~rˆ и p~ˆ = −i~∇Rческой величины A есть hA(t)i = ψ ∗ (r, t)Â(~r, ~p, t)ψ(r, t)d3r, где ψ(~r, t)удовлетворяет уравнению Шредингера (2.1).Но физический смысл имеют только средние (1.4).
Фиксируя определение оператора в начальный момент времени, мы не обязаны сохранятьего далее. Наша задача – иметь самосогласованную систему определений,правильно описывающих средние значения физических величин (1.4).То же самое среднее hA(t)i можно представить в гайзенберговскойкартине, где вся зависимость от времени переносится на операторы ÂH ,а векторы состояний фиксируются в начальный момент, "замораживаются". Переход к этой картине осуществляется с помощью оператораэволюции системы во времени Û (t, 0) (2.5)hA(t)i = hψ(~r, 0)|ÂH (t)|ψ(~r, 0)i, ÂH (t) ≡ Û −1(t, 0)ÂÛ (t, 0).(3.1)Оператор ÂH – это оператор физической величины A в гайзенберговскойкартине.Если гамильтониан системы не зависит от времени явно и оператор Âкоммутирует с гамильтонианом (т.е.
сохраняется), то и Û коммутирует сÂ. Поэтому в таком случае ÂH = Â. В частности, при этом ĤH (t) = Ĥ.Далее в этой главе операторы и векторы состояния в гайзенберговскойкартине мы снабжаем индексом H, а в использовавшейся ранее (шредингеровской) — индексом S, причем|ψH i = |ψS (t = 0)i.52(3.2)Повторим, что наше определение означает, что hAiH = hAiS . Поэтомупри записи средних значок H или S не нужен. В гайзенберговской картине вся зависимость от времени дается эволюцией оператора со временем:i~ddÂHhψS |Â|ψS i = i~hψH ||ψH i.dtdtРаскроем производную в левой части равенства:i~ h!dψS∂ ÂdψS|Â|ψS i + hψS | |ψS i + hψS |Â|i .dt∂tdtИспользуя для dψS /dt уравнение Шредингера (2.1), получим с учетом(3.2) уравнение движения для оператора в гайзенберговской картине:dÂH ∂ Âi~hψH ||ψH i = hψS i~− Ĥ  + ÂĤ ψS i ⇒ ∂tdtdÂH∂ ÂH= i~ ·+ [ÂH , Ĥ].(3.3)dt∂t(Это получается и прямо из определения AH , если принять, что∂ ÂS∂ ÂH= U −1U .)∂t∂tТаким образом, если оператор  коммутирует с гамильтонианом ине зависит явно от времени, то его средние не меняются со временем— физическая величина A сохраняется.
Отметим, что при этом ÂH =ÂS , т. е. при переходе от шредингеровской картины к гайзенберговскойвыражение для такого оператора не меняется.dA∂AЗаметим ещё, что в классической механике=− {H, A}, гдеdt∂t1{H, A} – скобки Пуассона. Это означает, что [A, H] – квантовый аналогi~скобок Пуассона.♦ Пример:p̂2, [Ĥ, p̂] = 0, и состояния с опредеДля свободного движения Ĥ =2mленным импульсом стационарны.i~53 Сложные системы. Представление взаимодействияВ ряде задач, в том числе в теориях твердого тела и элементарных частиц, используют представление взаимодействия, промежуточное между гайзенберговской и шредингеровской картинами.
Пусть гамильтониансистемы представим в виде суммы известного не зависящего от времени"свободного" гамильтониана Ĥ0 и "возмущения" (взаимодействия) V̂ ,вообще говоря зависящего от времени.Ĥ = Ĥ0 + V̂ .(3.4)Пусть далее Û0 – оператор эволюции, отвечающий "свободному" гамильтониану, и оператор физической величины A в представлении свободногогамильтониана Ĥ0 есть ÂIÛ0 = e−Ĥ0 t/~ ,ÂI (t) = Û0−1 (t)ÂÛ0(t) .(3.5)В представлении взаимодействия зависимость операторов от времениопределяется "свободным" гамильтонианом (3.5), как для гайзенберговской картины, а временна́я зависимость, обусловленная взаимодействием, сохраняется за волновыми векторами.
Уравнение Шредингера впредставлении взаимодействия (13.4) выписано в 13 главе.Стартуя от описания системы Ĥ0 , оператор эволюции системы в целом вообще говоря нельзя записать в форме, подобной (2.5c), посколькуоператоры Ĥ0 и V̂ (t) могут не коммутировать. Однако, если взаимодействие V достаточно слабое, то используя оператор взаимодействия впредставлении свободного гамильтониана (3.5) можно записать первыечлены ряда для оператора эволюции в видеiÛ (t, 0) ≈ 1 −~3.1.ZtV̂I (t0 )dt0 + ... .(3.6)0Задачи1. Найти операторы координаты и импульса в зависимости от времени:а) для свободной частицы;б) для частицы в однородном поле U (x) = −F x;в) Покажите, что для гармонического осциллятора(U (x) = mω 2 x2/2):x̂H = x̂ cos(ωt) + p̂/(mω) sin(ωt); p̂H = p̂ cos(ωt) − mω x̂ sin(ωt).542.
Найти средние hx(t)i, hp(t)i, h∆x2(t)i, h∆p2(t)i в перечисленных выше случаях.3. Найти средние hx(t)i, hp(t)i, h∆x2(t)i, h∆p2(t)i для свободной частицы в состоянии, описываемом волновой функцией:ψ(x, 0) = A exp[ip0x/~ − (x − x0)2/4a2 ].4. Покажите, чтоdr̂Hp̂Hdp̂H~ .=,= −∇U(3.7)dtmdtПолучите отсюда теорему Эренфеста – квантовую форму второгозакона Ньютона:d2~ i.m 2 h~ri = −h∇U(3.8)dt5.
Для электрона в атоме водорода найти d~rˆ/dt и d2~rˆ/dt2 .6. Найти перестановочные соотношения операторов координат и импульса в разные моменты времени [x(t), p(t0)]; [x(t), x(t0)] для случаев свободного движения, однородного поля и гармонического осциллятора.То же для произвольного поля U (x) при малых |t0 − t|.7. Найти перестановочные соотношения операторов кинетической энергии осциллятора, взятых в разные моменты времени. Записать соответствующее соотношение неопределённостей.8.
Для заряженной частицы в электромагнитном поле1e 2Ĥ =(p̂ −) + eϕ(r) найти2mcа) коммутатор [v̂x, v̂y ];б) ускорение â;в) плотность тока ~j.Для случая однородного магнитного поля B = (0, 0, B) показать,что операторы x̂c = x̂ + v̂y /ωB , ŷc = ŷ − v̂x/ωB соответствуют сохраняющимся величинам (ωB = eB/mc – частота движения в магнитном поле). Найти коммутатор [x̂c, ŷc ].55Глава 4ГАРМОНИЧЕСКИЙОСЦИЛЛЯТОР4.1.ОсцилляторГармонический осциллятор — важнейший объект в квантовой механике и во многих её приложениях. Многие свойства сложных систем можнопонять, используя развитые для этой задачи методы.Его гамильтониан имеет видĤ =p̂2mω 2 x2+.2m2(4.1)Введём естественные в нашей задаче единицы длины x0, импульса p0 иэнергии ~ωr√~xp0 = m~ω, x0 =; ξ= ;(4.2)mωx0" 2 #21p̂x̂Ĥ = ~ω ε̂, ε̂ =+; E = ~ωε.(4.3)2p0x04.1.1.Операторный методРассматриваемый метод решения очень полезен для разнообразныхприложений и обобщений.
В его основе – определение новых операторов1x̂p̂1db̂ = √+i≡ √ ξ+;p0 2 x02 dξ (4.4)11x̂p̂d+b̂ = √−i≡ √ ξ−.p0dξ2 x0256Эти операторы неэрмитовы, они не описывают какие–либо измеримыефизические величины. В то же время через эти операторы можно выразить операторы всех физических величин (т.к.
через них выражаютсяоператоры координаты и импульса). Такой подход удобен для обобщенийна более сложные системы.Нетрудно убедиться, что имеет место важное соотношение:[b̂, b̂+] = 1.(4.5)С учетом этого соотношения гамильтониан (4.3) принимает видε̂ = b̂+ b̂ + 1/2.(4.6)Проверьте, что[b̂+b̂, b̂] = −b̂ ⇒ [ε̂, b̂] = −b̂; [b̂+b̂, b̂+] = b̂+ ⇒ [ε̂, b̂+] = b̂+.(4.7)Пусть |ni – собственный вектор Ĥ с энергией En = ~ωεn, Ĥ|ni =En|ni. Рассмотрим действие гамильтониана на состояние b̂|ni.
Используясоотношения (4.7), получаем цепочку равенствε̂(b̂|ni) ≡ (ε̂b̂)|ni =(b̂ε̂ − b̂)|ni = b̂εn |ni − b̂|ni ≡ (εn − 1)b̂|ni.Отсюда получаетсяε̂|ni = εn |ni ⇒(ε̂b̂|ni = (εn − 1)b̂|ni;ε̂b̂+|ni = (εn + 1)b̂+|ni.(4.8)Иными словами,Пусть |ei – собственный вектор гамильтониана с энергией Eb. Тогдаb̂|ei и b̂+|ei — тоже собственные векторы оператора Ĥ с энергиямиEb − ~ω и Eb + ~ω соответственно.Гамильтониан осциллятора представляет собой сумму квадратов двухоператоров. Поэтому возможные значения его энергии ограничены снизу.Обозначим наименьшее значение энергии осциллятора через E0 и соответствующий волновой вектор через |0i, т.е. Ĥ|0i = E0 |0i. Но тогда всилу (4.8) должно быть Ĥ b̂|0i = (E0 − ~ω)b̂|0i.
Таким образом, векторb̂|0i должен соответствовать состоянию с энергией меньшей, чем E0 . Нотакого состояния просто нет, поэтому должно быть1b̂|0i = 0.1Решение этого уравнения в x–представлении имеет вид (4.17).57(4.9)Подстановка этого соотношения в (4.6) дает ε0 = 1/2. В силу (4.8)действие оператора b̂+ на состояние |0i даёт состояние с более высокойэнергией |1i, действие этого оператора на состояние |1i даёт состояние сещё более высокой энергией |2i, и т.д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
