Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Тогда измерение величины Aдаст значение a с вероятностью единица. Если оператор величины A современем не меняется, то её повторное измерение в состоянии |ai оставитсистему в том же состоянии и даст опять то же собственное значение.♦ Вообще, при измерении какой–либо физической величины A система переходит из измеряемого состояния |Ψi в другое состояние |ψAi i(происходит редукция волнового пакета в состояние |ψAi i), которое задаётся прибором, но обычно не является даже собственным векторомоператора Â. Предсказать однозначно полученное значение Ai и состоПодобная независимость измерения от наблюдателя может не реализовываться в описании некоторых явлений жизни общества (Дж. Сорос).328яние |ψAi i нельзя. Можно лишь указать вероятность этого результатаизмерения |hΨ|ψAi i|2 . Более того, повторное измерение той же величины даст вообще говоря другое значение Aj и другой вектор состояния|ψAj i, поскольку полученные состояния не были собственными состояниями оператора Â.

Разумеется, если повторить это измерение с копиейнашей системы, получатся скорее всего другие состояния, с другими значениями Ai и Aj . В соответствииквантовой теории, средP с постулатами2нее значение величины A есть Ai |hΨ|ψAi i| . При повторном измерениименяется и это среднее значение.♦ Разумеется, последовательные измерения координаты частицы, выполненные с конечной точностью, покажут близкие значения xi, но пристремлении к нулю интервала времени между двумя измерениями ∆t несуществует определённого предела ∆x/∆t, имеющего смысл скорости.Вообще, в квантовой механике не существует понятия траектории частицы. Это понятие можно определить только приближенно,наименьшая неопределённость в этом понятии задаётся соотношениемнеопределённостей."Частица не имеет в действительности ни определённого импульса, ни определённого положения в пространстве; описание с помощьюψ–функции является в принципе полным описанием.

Точное местоположение частицы, которое я получаю в результате его измерения,не может быть интерпретировано как местоположение частицы доизмерения. Точная локализация, которая обнаруживается при измерении, будет проявляться только через неизбежное (не несущественное) воздействие измерения. Результат измерения зависит не только от реального положения частицы, но также и от принципиальнонеполного знания механизма измерения" (А. Эйнштейн). В этом высказывании Эйнштейна содержится неточность, состоящая в употреблениипонятия реальное положение частицы, которое в действительности неопределено, как он сам напоминает в начале этого высказывания.

Квантовое кодирование. Прямой реализацией рассмотренныхположений является идея квантового кодирования, ныне подготавливаемая к технической реализации.Основой схемы является передача по линии связи сигнала в одноквантовой форме. Ниже мы будем говорить о передаче сигнала в видепоследовательности фотонов одинаковой частоты, но имеющих разныециркулярные поляризации так, что например сигнал 1001101 передаётсяпоследовательностью фотонов лппллпл, где л отвечает левополяризован29ным фотонам, а п – правопляризованным.

Далее используется тот факт,что любое наблюдение (со считыванием данных или простое запоминание) – измерение – вносит неконтролируемое изменение в этот сигнал.С учётом этого одна из возможных схем передачи информации состоит из следующих этапов.2 Кодирование основного сообщения совершается обычным образом покакой-нибудь известной книге, например, по Библии. Секретным является выбор отрывка, используемого как база для кодирования. Поэтому либо этот отрывок должен быть согласован заранее, либо сообщениедолжно указывать положение этого отрывка (адрес).

Разумеется, тольковторой способ может обеспечить секретность.2 По линии передаётся серия сигналов с адресами отрывков. Получатель отправляет отправителю контрольные суммы полученных сигналов(и может быть ещё чуть более сложные контрольные характеристики). Увсех прочитанных на пути сообщений контрольные суммы не сходятся.2 Отправитель сообщает получателю номер сообщения с правильнойконтрольной суммой, т.е. адрес кодирующего отрывка, и отправляет соответствующим образом закодированное основное сообщение.1.8.Матрица плотностиПонятие волновой функции определяется только для изолированнойсистемы. Если система не изолирована, естественно стартовать с описания полной системы, волновая функция которой зависит как от координат частиц системы x, так и от переменных окружающих частиц (среды)X, ψ ≡ ψ(x, X).

Среднее значение физической величины G, определенной только через переменные нашей системы x, естьRQhGi = h ψ ∗ (x, X)Ĝ(x)ψ(x, X) dxdXiTRQ≡ h ψ ∗ (x, X)G(x, x0 )ψ(x0, X) dxdx0dXiT .Угловые скобки и значок T означают усреднение по состояниям окружающей среды, функция G(x, x0) определяет матричное представлениеоператора Ĝ(x) (1.17). Интегрирование по переменным X и усреднениепо ним одинаковы для всех операторов, действующих только на переменные x, что приводит нас к понятию матрицы плотности (Л.Д. Ландау)Z0ρ(x , x) = h ψ(x, X)ψ ∗(x0, X)dXiT .(1.29)30С её помощью среднее значение нашей физической величины G записывается в видеZhGi =1.9.G(x, x0)ρ(x0, x)dxdx0 .(1.30)Задачи(k − k0 )2, для частиц с за1. Найти ψ(x, t), если A(k) = A0 exp −4(∆k)2коном дисперсии ω = ck (электромагнитные волны в пустоте) иω = ~k 2/2m (нерелятивистская свободная частица массы m).

Сравнить с ψ(x, 0). Вычислить размер пакета при t = 1 сек. для электрона, первоначально локализованного в размере атома водорода, идля шарика от пинг–понга.2. Для частицы в потенциальном ящике0 при −a < x < aU (x) =∞ при |x| > a.1. Найти уровни энергии En и волновые функции ψn2. Оценить энергию основного состояния E1 для— частицы массы m=1г в ящике с a ∼ 1 см;— электрона в ящике с a ∼ 10−8 см;— молекулы H2 в ящике с a ∼ 1 см; найти n, соответствующееэнергии En ≈ kT , где Т=300 К; оценить(En+1 − En)/En для этой энергии.dw2dw3. Сравнить классическую=и квантовую= |ψn (x)|2dxv(x)Tdxплотности вероятности при n=1 и n 1. То же для dw/dp.4. Найти вероятность пребывания частицы в области 0 < x < a/3.5. Найти число энергетических уровней в интервале(E, E + dE) при достаточно больших E.6.

Найти силу давления, оказываемую частицей на стенку.7. Найти работу, которую следует совершить для медленного сжатия ямы в ν раз.8. Для двумерного потенциального ящика0 при −a < x < a, −b < y < b;U (x, y) =∞ при |x| > a или | y |> b319.10.11.12.• Найти уровни энергии En и волновые функции ψn .Отдельно рассмотреть случай квадратного ящика.• Решить ту же задачу для трехмерного ящика.• Для обоих указанных ящиков найти число энергетических уровнейв интервале (E, E + dE) при достаточно больших E.Найти собственные функции операторов x̂ и p̂ в x– и p–представлениях.Найти коммутаторы [px, x], [px, z].Найти соотношение неопределенностей для ∆x и ∆T , для ∆T иp̂2∆U (x), где T̂ =.2mДля частицы, находящейся в состоянии ψ(x, y, z), найти вероятностьтого, что ее координата x и импульс p одновременно расположеныв пределах (x1 < x < x2) и (p1 < px < p2) или (p1 < py < p2 ).~~~Показать, что [eik~r , ~pˆ] = ~keik~r .

Найти [eik~r , p̂2].13.14. Покажите, что коммутатор двух эрмитовых операторов — антиэрмитов. Он становится эрмитовым после деления на i.15. Покажите, что для произвольного оператора Â среднее по любому состоянию hψ||Â|2 |ψi положительно. В частности, для эрмитоваоператора B̂ положительно среднее hψ|B̂ 2 |ψi.16. Покажите, что[Â, B̂ Ĉ] = [Â, B̂]Ĉ + B̂[Â, Ĉ].(1.31)17.

Покажите, что имеет место тождество Якоби:[[Â, B̂], Ĉ] + [[B̂, Ĉ], Â] + [[Ĉ, Â], B̂] = 0.(1.32)18. Найти [B̂, Ĉ], в случае, когда [Ĉ, Â] = λ и [Â, B̂] = Ĉ.19. Покажите, что для коммутаторов между компонентами операторамомента импульса (1.9) и компонентами вектора Ai при имеют местоперестановочные соотношения (eijk — известный антисиммметричный по всем индексам тензор, e123 = 1)[Li, Aj ] = ieijk Ak(Aj = Lj , rj или pj ).(1.33)∂(ϕ — угол∂ϕвращения вокруг оси z). Исходя из этого, объясните, что означаютполученные равенства (1.33) для любого вектора  при i = 3.20. Оцените наименьшие погрешности, с которыми можно определитьскорости электрона и протона, локализованных в области размером1 мкм, 10−8см.По аналогии с (1.6) можно ожидать, что L̂z = −i~3221. Покажите, что энергия основного состояния атома водорода E0 =me4mc2 α2= −13, 6 эВ (для этого возьмите соотношение− 2 = −2~2неопределенностей в виде ∆pr ∆r ≥ ~).22.

Оценить с помощью соотношения неопределенностей энергию основного состояния и неопределенность в положении по вертикалинейтрона в гравитационном поле Земли в этом состоянии. (Ответдовести до чисел.)23. Найти распределение по импульсам в основном состоянии атома водорода ψ(r) = (πa3 )−1/2e−r/a .24. Покажите, что при [Â, [Â, B̂]] = [B̂, [Â, B̂]] = 0e eB̂ e− = eR̂ , где R = e B̂e− ;1e B̂e− = B̂ + [Â, B̂] + [Â, [Â, B̂]] + ...22eη(Â+B̂) = eη eηB̂ e−η [Â,B̂]/2.(1.34)(1.35)(1.36)25.

Доказать соотношениеeL̂ Âe−L̂ = Â +11[L̂, Â] + [L̂, [L̂, Â]] + ....1!2!(1.37)Указание: Построить оператор Â(η) = eηL̂ Âe−ηL̂ и найти для негодифференциальное уравнение.33Глава 2УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА2.1.Основные фактыСреди основных постулатов квантовой механики — утверждение, чтоволновая функция дает полную информацию о системе. Но если этотак, то и эволюция системы во времени тоже должна определяться этойволновой функцией.

Характеристики

Список файлов лекций