Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Наше приближение оправдано,если поправка мала по сравнению с главным членом, т.е. при ~|S1 (x)| |S0 (x)|. Разумеется, здесь надо рассматривать только зависящую от координат часть, поэтому аккуратнее записать это неравенство для производных, ~|S10 (x)| |S00 (x)|. Подставляя сюда найденное выражение дляS10 (x), получаем неравенство, определяющее применимость приближенияв виде: |~S000 | (S00 (x))2.

Отсюда прямым вычислением получаются двеформы условия применимости приближения m~(dU/dx) dλ(x) 1(5.21b) p(x)3 1 ⇒ 2π dx 1.Последнее неравенство означает попросту, что введённые локальные величины (5.17) физически осмысленны, в частности, что длина волнылишь немного меняется на расстоянии λ(x), это изменение ∆λ = λdλ/dxмного меньше самой длины волны λ(x).Это – известное в аналитической механике уравнение Гамильтона – Якоби. В нём S0 (x) есть действие как функция координат.376O Для многих оценок фактическим параметром малости приближения является величина (1/πn)2, где n – число узлов (нулей) волновойфункции.

Это – малое число для всех n, поэтому квазиклассическое решение очень часто даёт разумный ответ. Условия сшивки. Квазиклассическое приближение неприменимовблизи точек поворота (при U (x) ≈ E), поскольку здесь dλ/dx → ∞,т. е. нарушаются условия (5.21b). Для полного описания физической ситуации решения (5.20) следует дополнить решением в окрестности точкиповорота x = a. Здесь можно записать разложениеU (x) = E + F · (x − a) ,(5.22)где F – некоторый коэффициент (сила). Это приближение обычно остается справедливым и на краю квазиклассической области. Поэтому следует решить уравнение Шредингера в окрестности точки поворота~2 00−ψ (x)+(x−a)F ψ(x) = 0 и сравнить асимптотики волновой функции2mпри x → +∞ и x → −∞.

(В импульсном представлении это уравнение принимает вид p2ψ(p)/2m+ iF ~dψ(p)/dp = 0, его решение естьψ(p) = Aexp ip3 /6~F m . Нетривиальным оказывается переход к координатному представлению.) В итоге получаются правила сшивки дляперехода из расположенной справа области классически недостижимойв расположенную слева область классического движенияaRxRAA√ exp(− κdx) → √ sinkdx + π/4 ,2 κkaxa(5.23)RxRBB√ exp( κdx) → √ coskdx + π/4 .κkaxДля потенциалов со скачками подобные условия имеют вид (2.14), (2.15)При переходе справа налево можно уверенно говорить о возможностичитать в этом направлении второе из приведенных условий сшивки. Притаком же чтении первого из них нас подстерегает опасность.

В правойобласти мы получаем экспоненциально убывающее решение. Уже малая неточность в вычислении фазы синуса означает присутствие добавки, которая превратится справа в экспоненциально растущий член.Правильность приведенных правил сшивки обеспечивается сохранениемвронскиана (2.13) при переходе через точку поворота. Из–за указаннойнеустойчивости в получаемых результатах не всегда удается контролировать коэффициенты перед экспоненциально малыми членами.77♦ Подобная неустойчивость является общей чертой описаниямножества природных процессов, от астрофизики до явленийобщественной жизни. Долговременные предсказания на основесовременных тенденций могут не иметь ничего общего с реальностью из-за первоначально очень малых, но экспоненциальнорастущих возмущений. Если классически достижимая область ограничена бесконечно высокой стенкой при x = a (как это имеет место при описании радиальногодвижения в трёхмерном случае, когда a = 0), то при x = a волноваяфункция обращается в ноль, а квазиклассическое приближение справедливо вплоть до стенки, т.е.xRC √sinpdxпри x > a ,(5.24)ψ=ka0при x < a .5.3.1.Правила квантования Бора–ЗоммерфельдаПусть потенциальная яма имеет вид, изображённый на рисунке.

Здесьобласть x < 0 полностью недоступна (какдля радиального движения в центральноU (x)6симметричном поле). Будем искать уров- xни энергии, пользуясь алгоритмом, котоEaрый подобен используемому при компьютерном моделировании.Поскольку область x < 0 недоступна, тов соответствии с (5.24) внутри ямы ψ(x) =RxA√ sin( kdx). Теперь в нашем построенииk0надо пройти точку поворота.

Чтобы воспользоваться условиями сшивки(5.23), введем величиныα=Zakdx + π/4,ϕ=Zakdx + π/4(5.25)x0и перепишем волновую функцию внутри ямы в виде xZAAA√ sin  kdx = √ sin(α − ϕ) = √ (sin α cos ϕ − cos α sin ϕ).kkk078Далее, воспользуемся условиями сшивки для каждого из слагаемых иполучим волновую функцию в классически недоступной областиAψ = √ sin α · exp (κZxaAκdx) − √ cos α · exp (−2 κZxκdx) .aВолновая функция должна убывать при x → ∞. Поэтому стационарными являются только такие состояния, для которых коэффициент прирастущей экспоненте ( sin α) обращается в нуль, т.е. при α = π(n + 1).Иными словами, энергия уровня E определяется из уравнения (квазиклассическое условие квантования)I p2m(E − U (x))dx = 2π~(n + 3/4).(5.26a)(Мы удвоили обе части равенства. Это дало слева интеграл по периодуклассического движения — от 0 до a и от a до 0.)Покажите, что для потенциала, гладкого в обе стороны, условиеквантования (Бора-Зоммерфельда) естьI p2m(E − U (x))dx = 2π~(n + 1/2).(5.26b)(Различие между 1/2 и 3/4 в приведенных правилах квантования улавливается точностью приближения даже при умеренно больших n.)В обоих случаях при монотонном изменении x аргумент синуса в ψ(x)меняется от 0 или π/4 до π(n+3/4), т.е.

ψ(x) имеет n нулей в классическидостижимой области (в соответствии с осцилляционной теоремой).В соответствии с критерием (5.21a), условия квантования дают хорошее описание решений только при больших n.Чтобы найти нормировку волновой функции, надо вычислить интеграл от квадрата ее модуля. При этом достаточно учесть только вкладклассически доступной области (вне этой области волновая функциябыстро убывает):1=Za0A22|ψ(x)| dx =2IRadxsin2 (k(x)Zxk(x0)dx0) =0I dx[1 − cos(2 k(x0)dx0)]IA~A2 ~dx0p≈·.44p(x)2m(E − U (x))279(В последнем переходе мы учли, что аргумент косинуса не мал, поэтомусам косинус быстро осциллирует, и его среднее значение близко к нулю).В знаменателе последнего интеграла стоит классический импульс частицы, p(x) = mv(x), где v(x) – классическая скорость частицы.

Поэтомуинтеграл равен периоду классического движения частицы (от 0 до a иот a до 0) Tкл , делённому на m. В итогеrr4m2mωкл2πωкл =.(5.27)A=≡~Tклπ~TклПродифференцируем теперь правила квантования по n:II∂p dEndx dEndEn2π~ =dx == Tкл.∂En dnv(x) dndnОтсюда следует, что разность энергий соседних уровней описываетсяпростым соотношением (которое лежало в основе ранней – непоследовательной – версии квантовой механики)En+1 − En = ∆n2π~dEn≡1·= ~ωклdnTкл При обсуждении некоторых классических и квазиклассических задач удобно использовать понятие фазового пространства — пространства, координатами которого являются компоненты всех координат ивсех импульсов частиц системы.

В частности, для системы из N частицв трехмерном пространстве фазовое пространство — 6N–мерно, для одной частицы на прямой — двумерно. Классическое движение частицыописывается кривой в фазовом пространстве (фазовый портрет, фазоваятраектория). Квазиклассическое состояние можно описывать некоторымраспределением плотности в фазовом пространстве.HДля полученных решений фазовая площадь pdx растет линейно сростом номера состояния n, так что в фазовом пространстве на каждое состояние приходится площадь 2π~, а число возможных состояний вячейке ∆x∆p есть∆n = ∆x∆p/(2π~).(5.28)(Разумеется, сказанное справедливо только для достаточно больших n,для основного и первых возбуждённых состояний квазиклассическое приближение обычно неприменимо.)805.3.2.Прохождение через барьерЗадача о прохождении через потенциальный барьер решается по стандартному рецепту с двукратным использованием правил сшивки (5.23).При этом получается коэффициент прохождения (туннелирования)ZbD = exp −2 κ(x)dx(a и b – точки поворота ).(5.29)a(Напомним — для прямоугольного барьера коэффициент прохожденияописывается похожим соотношением D ≈ exp[−2κ(b − a)]).5.3.3.Квазистационарные состояния Определения.

Возбуждённые состояния квантовых систем нестационарны, они распадаются (излучение ядер, атомов, молекул, радиоактивный распад ядер и т.д.). Нередко эти состояния лишь слабо отличаютсяот обычных стационарных состояний (на классическом языке эти состояния деградируют за много периодов основного движения).

Такие состояния называют квазистационарными состояниями – квазиуровнями. Вероятность перехода из возбужденного состояния за единицу времени длякаждого атома или ядра не зависит от общего числа атомов или ядер всистеме, т.е. ( закон распада) dN (t) = −γN (t)dt ⇒ N (t) = N (0)e−γt. Всоответствии с этим определяются следующие величины:τ = γ −1 – время жизни, Γ = ~γ – ширина (квази)уровня.Последовательное применение аппарата квантовой механики требуетрассмотреть не только распадающиеся состояния, но и те состояния, которые получаются в распаде. Мы не будем делать этого.

При этом приходится отказаться от требования сохранения вероятности, и рассмотрениенеизбежно становится лишь приближённым.♦ При попытке описать квазистационарные состояния, используя подходы, разработанные для стационарной задачи, следует изменить формуграничного условия, чтобы учесть убывание вероятности со временем.Вместо условия убывания волновой функции на бесконечности мы потребуем, чтобы на больших расстояниях волна уходила из центра и небыло приходящей волны (это и даст убывание вероятности со временем).Из этого условия получатся комплексные значения энергииẼn = En − iΓn /2 ,81(5.30)где Γn – поначалу просто некоторая небольшая величина.

Зависимостьсоответствующей волновой функции от времени описывается множителем exp(−iẼnt/~) ≡ exp(−iEnt/~ − Γn t/2~), т.е. если такое состояние создано, его амплитуда со временем падает. При этом вероятностьW = |ψ(r̄, t)|2 ∼ e−Γn t/~, т.е. Γn – ширина этого квазиуровня.

Фурье–образ этой волновой функции естьZ1Rψ(E) = √ψ(t)eiEt/~dt ∝.E − En + iΓn /22πВ окрестности полюса можно можно пренебречь зависимостью коэффициента R от E, и спектральный состав состояния есть (как и для обычного осциллятора с трением)dW (E) ∝ |ψ(E)|2 →Γ.(E − En )2 + Γ2n /4Таким образом, у квазистационарного состояния ширина резонанснойкривой ∆E = Γ. При Γ → 0 имеем dW/dE → δ(E − En ) (ср. (A.2)).Видно, что квазиуровень очень похожU (x)на виртуальный уровень, разд.

Характеристики

Список файлов лекций