Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 17
Текст из файла (страница 17)
С ростом энергии ширины запрещенных зон убывают (как k0a/πn).(6.16)Другие важные свойства возникающей зонной структуры обсуждаются в задачах к этой главе. Качественная картинаВозникновение зонной структуры связано с двумя механизмами.• Наиболее важный механизм образования зон – обобществление состояний множества одинаковых ям, составляющих решётку (вы наблюдали это в терминальном классе).
Рассмотрим сначала уединённую яму,отвечающую одной ячейке решетки. Пусть в ней существуют уровниэнергии (сверху – вниз) −E1, −E2, ..., −Ek (в реальных кристаллах это– электронные уровни энергии в ионах, в типичном случае энергия E1 –порядка 1 эВ, E2, E3, ... составляют десятки и сотни эВ). Если поместитьрядом, на расстоянии a, ещё одну точно такую же яму, то из-за туннелирования между ними каждый уровень расщепится на два, как это обсуждалось, например, в задаче 5.9 (и как вы видели в терминальном классе).Величина расщепления ∆Ek связана с коэффициентом туннелированиямежду ямами Dk соотношениемZ p∆Ek ∼ Dk |Ek | ,Dk ≈ exp (−22m|Ek − V |dx/~) ,(6.17)где интеграл берётся по области между точками поворота соседних ям(. a).
Состояния, отвечающие этим уровням, не локализованы вблизиодной из ям, а распределены между ямами (для двух ям одно из состояний симметрично, а другое антисимметрично по переходу между ямами).При добавлении третьей, четвёртой, ... таких же ям полное числоуровней сохраняется так, что каждый из "родительских" уровней расщепляется на 2, 3, ... уровня в пределах того же интервала энергий∼ ∆Ek , т.е. появляются "зоны". Собственные состояния, отвечающиекаждому из этих значений энергии, распределены по всем ямам одновременно.94В решетке с N элементарных ячеек каждая зона содержит N уровней. Верхние из этих разрешённых зон – относительно широкие, а нижние – очень узкие, поскольку для них коэффициент туннелирования Dkочень мал1 .
Действительно, в коэффициенте туннелирования Dk интеграл распространяется по области между точками поворота квазиклассического движения внутри отдельных ям. Для уровней, начиная с E2область квазиклассического движения вблизи каждой из ям становится очень небольшой, и расстояние между точками поворота соседних ямстановится очень близким к расстоянию между ионами (параметру решётки) a. В большей части этойpобласти |Ek | |V |, поэтому в оценкахможно считать Dk ≈ exp (−2a 2m|Ek |/~).
В частности, для Al и Cuобъём одного грамм–атома составляет примерно 10 см3. Поэтому среднеемежатомное расстояние в таком кристалле√составляет примерно 2.5 · 10−8см. Для энергии Ek ≈ 10 эВ величина ~/ 2mE составляет 0.6 · 10−8 см.Поэтому для такой энергии уровня Dk ≈ e−8 ≈ 0.0003, что даёт оченьмалую ширину зоны ∆Ek ≈ 0.003 эВ.
Точно так же, при переходе к более глубокому уровню с энергией -100 эВ ширина зоны составит ничтожномалую величину ∆E ∼ 10−9 эВ. Таким образом, набор разрешённых энергий глубоко расположенных зон практически не отличается от N кратнотиражированного набора энергий уровней изолированных ионов.Обсудим теперь локализацию электрона в решётке, руководствуясьрезультатами решения задачи для пары ям 5.9. Если электрон первоначально локализован вблизи одного их ионов, его состояние есть суперпозиция чистых состояний, отвечающих определённым значениям энергии.Электрон смещается к другому иону за время tk ≈ ~/∆Ek (6.9), котороестановится очень большим для глубоко расположенных уровней.Таким образом, для этих состояний концепция локализованных состояний адекватно описывает ситуацию.
Концепция Блоховских волн,бегущих по решётке, адэкватно описывает ситуацию для верхних зон.• Наши примеры вычисления зонной структуры показывают также,что периодичность потенциала приводит к возникновению узких запрещённых зон ещё и высоко в пределах непрерывного спектра – подобнодифракционным максимумам высокого порядка при дифракции на бесконечной периодической решётке.
В идеальном случае эти запрещённыезоны простираются до очень высоких энергий. В действительности, приПри этом эффективные массы "электронов" в глубоко расположенныхзонах и времена движения между ячейками tk (6.9) становятся чудовищнобольшими.195достаточно больших энергиях эти запрещённые зоны исчезают из-за конечности размеров кристалла и небольших нарушений периодичности.
Моделирование на компьютереЗадача о периодической решетке моделируется на компьютере. Повторяющаяся ячейка строится из прямоугольных ям и барьеров. При этомдля каждой энергии слева задается общее решение, например, A sin kx+B cos kx (а не убывающее или уходящее направо, как делалось для конечной системы ям). Далее с помощью условий сшивки (2.14) на границах производится переход к следующей ячейке, и отыскиваются коэффициенты A0 и B 0 такого же решения при x > a, A0 sin kx + B 0 cos kx.Эти коэффициенты A0 , B 0 выражаются через A, B также и с помощьюусловия инвариантности относительно конечного сдвига (6.1), A0 = eiqa A,B 0 = eiqa B.
Получающиеся соотношения составляют уравнение для определения квазиимпульса q при заданной энергии E (или зависимости E отq). Для значений энергии, принадлежащих запрещённой зоне, это уравнение не имеет решения.6.3.Малые колебания линейных цепочекПри нулевой температуре можно считать грубо, что все ионы кристалла находятся в равновесии, их потенциальные энергии минимальны,и малые отклонения от равновесия увеличивают эти энергии на величины, пропорциональные квадратам смещений. Поэтому разумной моделью кристалла является система грузиков, отвечающих ионам, и пружинок, отвечающих возвращающим силам.
Массы грузиков отвечаютмассам ионов, а "жесткости" возвращающих сил определяются взаимодействием ионов и их электронного окружения друг с другом. Ниже говоря об ионах, мы имеем в виду именно такую механическую модель.Чтобы понять основные черты возникающей картины, мы ограничимся в расчётах изучением одномерной задачи, т.е. рассмотрим цепочку избольшого числа N одинаковых молекул (состоящих из одного или двухатомов), расположенных вдоль оси x и двигающихся вдоль этой оси.6.3.1.Цепочка одноатомных "молекул".В задаче о простейшем кристалле рассматривается цепочка ионов массы m, связанных пружинками одинаковой жесткости k = mω02 . В равно96весии ионы расположены в точках xn = na (n – целые).
Их смещения отположений равновесия обозначаем через un ≡ u(xn).Здесь элементарной ячейкой можно считать один ион и одну "пружинку" (например, слева от иона) или ион и половинки пружинок, связанныхс ним, или пружинку и половинки ионов, связанных с ней. Результат независит от выбора, но важно, чтобы этот выбор не менялся в процессерассмотрения задачи. Классическое рассмотрение.Полная энергия системы (функция Гамильтона – гамильтониан) естьP p2nmω02H =+(un − un+1)22m2n(6.18)∗P pn pn mω02 (un − un+1)(u∗n − u∗n+1)≡+.2m2Вторая запись здесь не содержит ничего нового, т.к.
импульсы и смещения действительны, но она удобна для дальнейших преобразований.Разложим координаты и импульсы ионов по собственным функциямоператора конечного сдвига для решетки из N ионов с периодическимиграничными условиями. В нашем случае это – просто преобразованиеФурье (с учётом того, что q = 2πr/(N a) (6.2c)) (обратите внимание наразные знаки показателей экспонент для координаты и импульса):rrP1 N/21 PU (q) =un eiqxn , un =U (q)e−iqxn ;N n=−N/2N qrr(6.19)PP1 N/21P (q) =pn e−iqxn , pn =P (q)eiqxn .N n=−N/2N qПри этомun − un+1 =r1 XU (q)e−iqxn 1 − e−iqa .N qОпределенные здесь величины U (q), P (q) комплексны иU ∗ (q) = U (−q) ,P ∗ (q) = P (−q) .(6.20)Подставим эти выражения во вторую форму функции Гамильтона(6.18). С учётом условий ортонормированности для преобразований Фу-97рье в этом представлении функция Гамильтона диагонализуется2:R1 Pa π/aH=H(q) ⇒dqH(q) ,N q2π −π/aP (q)P ∗ (q) 2mω02 (1 − cos qa)U (q)U ∗(q)H(q) =+.2m2(6.21)(Величину H(q) называют плотностью гамильтониана в импульсномпространстве.) Гамильтониан колеблющейся решетки превратился в сумму гамильтонианов невзаимодействующих осцилляторов H(q), т.е.
задача свелась к описанию системы независимых осцилляторов – нормальных колебаний с частотамиω ≡ ω(q) = 2ω0| sin(qa/2)|.(6.22a)Здесь имеется вырождение по знаку q – в полной аналогии с теоремойКрамерса. Видно, что при небольших q с хорошей точностьюω(q) = Cq;C = ω0a.(6.22b)Это соответствует звуковым волнам со скоростью C.Собственные векторы, отвечающие разным квазиимпульсам – нормальные колебания — бегущие волны (6.19).♦ Приведём также более привычный для некоторых вывод с прямымиспользованием законов Ньютона.На n–й ион действуют возвращающие силы mω02 [u(n) − u(n − 1)] состороны (n − 1)–го иона и mω02 [u(n) − u(n + 1)] – со стороны (n + 1)–гоиона. По второму закону Ньютона отсюда получается ускорениеu(n)00 = ω02 [u(n + 1) + u(n − 1) − 2u(n)].(6.23)Это — система линейных уравнений.
Ищем её решения в видеu(n) = Re eiωt f (xn) .(6.24)Амплитуды f (xn) могут быть комплексными, и инвариантность по отношению к конечным сдвигам позволяет искать решения в виде собственных функций оператора конечного сдвига (6.1) – (6.2)f (xn+1) = λT f (xn) = λnT f (x1) ≡ eiqna f (x1) ≡ eiqxn f (x1).Представление в виде интеграла отвечает переходу от суммирования кинтегрированию при N → ∞ с dq = 2π/(N a) – ср. (6.2c).298Теперь уравнение (6.23) принимает видω 2 = ω02 2 − λT − λ−1= 4ω02T1/2λT−1/2λT−2i!2.(6.25)Мы вновь убеждаемся, что решения с действительным значением ω имеют место при |λT | = 1, т.е. соответствуют определенным значениям квазиимпульса q, λT = eiqa (6.2).
Подстановка этого выражения в (6.25) даётвыражение для скорости звука (6.22b) и собственные векторы (6.19). Квантовое описаниеПреобразование Фурье (6.19) не перемешивает координаты и импульсы. Поэтому представление (6.21) получается и в квантовом случае. Кроме того, для компонент Фурье U (q) и P (q) имеют место те же перестановочные соотношения (1.20), что и для отдельных координат и импульсовчастиц,[P (q), U (q 0)] = −i~δqq0 .(6.26)В итоге для описания состояний каждого из получившихся осцилляторов применимо всё описание раздела 4.1.
В частности, по образцу (4.4)можно ввести операторы:!r+1Û (q)P̂ (q)~b̂(q) = √+i; Uq0 =;Pq0mω(q)2 Uq0!(6.27)+pP̂(q)1Û(q)−i; Pq0 = ~mω(q).b̂+(q) = √Uq0Pq02При этомb̂(q) + b̂+ (−q)√Û (q) = Uq0;2b̂(−q) − b̂+(q)√P̂ (q) = Pq0.2i(6.28)Подстановка этих выражений преобразует гамильтониан (6.21) к виду:Z1Ĥ = dq~ω(q)(b̂+(q)b̂(q) + ).(6.29)2Отсюда немедленно получаются квантованные значения энергий нормальных колебаний с частотами ω(q) (6.22a), E(q) = ~ω(q)(nq + 1/2)с целыми nq . Волновые функции вида (4.18) определены в координатахU (q), связь которых со смещениями задается преобразованием (6.19).99Отдельные возбуждения независимых осцилляторов ("виброны"на нашем старом языке) в этом случае называются фононами. Это – квантыволн, распространяющихся по решетке, с законом дисперсии, который внашем случае имеет вид (6.22a).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
