Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В состоянии |`, mi средние значения проекций момента на оси x и y — нули, т.е., например,`2x = ∆`2x. Из симметрии задачи ясно, что ∆`x = ∆`y . Поэтому равенство116h`2x i + h`2y i + h`2z i = `(` + 1) для состояния |`, `i означает, что h`2x i = `/2,и произведение ∆`x∆`y тоже равно `/2 — в соответствии с выписаннымсоотношением неопределенностей. Иными словами, в состоянии |`, `i реализуется минимально допустимый соотношением неопределенностей разброс проекций момента на оси x и y.• Матричные элементы `± .Усреднение (7.8) по состояниям |`, mi с учётом соотношения (7.9) даётцепочку равенств:h`, m||`ˆ2 |`, mi ≡ `(` + 1) =h`, m||`ˆ− `ˆ+ + `ˆ2z + `ˆz |`, mihm|`ˆ− `ˆ+ |mi + m + m2 =hm|`ˆ− |m + 1ihm + 1|`ˆ+|mi + m2 + m ⇒|hm + 1|`ˆ+ |mi|2 = `2 + ` − m2 − m.Если ещё потребовать, чтобы матричные элементы были положительными числами, то отсюда получаетсяphm + 1|`ˆ+ |mi = (` − m)(` + m + 1).(7.12)Теперь матричные элементы `ˆx и `ˆy определяются так же, как матричныеэлементы операторов x̂ и p̂ для осциллятора:`ˆ+ − `ˆ−`ˆ+ + `ˆ−`ˆx =, `ˆy =.22i♦ Полученные выражения дают возможность записать матрицы операторов `i в `z –представлении — подобно представлениям операторовкоординат и импульса для осциллятора (4.15).
Запишем эти матрицыдля ` = 1, имея в виду строки и столбцы, отвечающие `z = 1, 0, −1:0 1 00 −i 01 0 011`x = √ 1 0 1 , `y = √ i 0 −i , `z = 0 0 0 .2 0 1 02 0 i 00 0 −1(7.13)• Чётность собственных состояний момента.При отражении координат компоненты радиуса–вектора и импульсаменяют знак, Pr = −r, Pp = −p. Такие векторы называют полярными(или просто векторами). Полярным вектором является, например, и вектор электрического поля E.В то же время, согласно определению (7.1), компоненты вектора момента импульса при отражении не меняют знак,PLi = Li , или [P, Li] = 0 .117(7.14)Поэтому существуют общие собственные состояния оператора пространственного отражения P̂ и операторов `ˆ2 и `ˆz .
Именно они были найдены выше. Иными словами, состояния |`, mi имеют определённуючётность; состояния |`, mi, различающиеся лишь проекцией mмомента на ось z, имеют одинаковую чётность.Векторы, координаты которых не меняются при отражении, называют аксиальными (или псевдовекторами). Помимо момента импульса,аксиальным вектором является также и вектор магнитного поля B.В гамильтониан (скаляр в трёхмерном галилеевом мире) могут входить скалярные произведения двух полярных векторов, например, (pA)или двух аксиальных векторов, например, (LB), но не может входитьскалярное произведение полярного и аксиального векторов (это – псевдоскаляр, который меняет знак при отражении).7.2.Следствия координатной записиПереход к сферическим координатам z = r cos θ, x = r sin θ cos φ, y =r sin θ sin φ совершается по стандартным правилам дифференцирования.В частности, например, обозначая ρ2 = x2 + y 2 , имеемp̂y∂y ∂yz ∂x ∂≡=+ 2+ 2.−i~∂yr ∂r r ρ ∂θ ρ ∂φПосле простых преобразований получается∂∂∂±iφ`ˆz = −i ; `ˆ± = e± + ictgθ;∂φ∂φ∂θ1 ∂∂1 ∂2`ˆ2 = −sin θ+.sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂φ2(7.15) Найдём собственные функции оператора момента hθ, φ|`, mi.♦ Собственные функции оператора `ˆz , ϕm(φ) это — решения уравнения `ˆz ϕm ≡ −i · ∂ϕm /∂φ = mϕm .
Они имеют вид: ϕm (φ) = (2π)−1/2 · eimφ .Требование однозначности этих функций при вращении на угол 2π имеет вид ϕm (φ + 2π) = ϕm(φ). Отсюда следует, что реализуются толькоцелочисленные собственные значения m:eimφϕm (φ) = √ ;2πm = 0, ±1, ±2, . . . ⇒ ` = 0, 1, 2, ...Эти соотношения – частный случай (7.11).118(7.16)♦ В итоге сферические гармоники можно представить в факторизованном виде Y`m = P`m (θ) · ϕm(φ). Перейдём к определению зависимостиот полярного угла θ, т.е. функций P`m (θ). Подобно тому как это делалось для осциллятора, начнём с наибольшего значения проекции момента m = `. Чтобы найти P`,`(θ), используем уравнение `ˆ+ ψ`` = 0:∂∂∂iφe+ i · ctgθei`φP`` (θ) = 0 ⇒P`` = ` · ctgθP`` .∂θ∂φ∂θОтсюда получается: P`` ∝ sin` θ.
Их нормируют обычно следующим образом:r(2` + 1)! 1Y``(θ, φ) = P`` (θ)ϕ`(φ) = (−i)`· sin` θ · ei`φ.(7.17a)`4π 2 · `!Остальные функции получаются из Y`` действием оператора (`ˆ− )k :ψ`,`−k ∝ (`ˆ−)k Y`,`. Они выражаются через присоединённые функции Лежандра P`m (cos θ). Нормированные функции Y`m (θ, φ) называют сферическими функциями (сферическими гармониками) :s2` + 1 (` + |m|)!Y`m (θ, φ) = (i)`+m+|m|·· P`m (cos θ)eimφ.(7.17b)4π(` − |m|)!Заметим, что функции, отвечающие противоположным проекциям момента, связаны соотношением∗Y`,−m = (−1)`−mY`,m.(7.17c)O Примеры.
Обозначим через ni компоненты вектора ~r/r, nx = sin θ cos φ,ny = sin θ sin φ, (n± = nx ± iny ), nz = cos θ. Тогда√Y00 = 1/ 4π ;rr33Y10 = i· cos θ = i· nz ,4π4π(7.18)rr33Ȳ1,±1 = ∓i· sin θe±iφ = ∓in± ,8π8πY`,` ∝ n`+ , Y`,`−1 ∝ n`+1 nz .Это означает, что компоненты вектора ~r/r можно отождествить со сферическими функциям Y1m и наоборот.119• Отражение координат P~r = −~r в сферических координатах означает r → r, θ → π − θ, φ → φ + π.
Нетрудно проверить, что собственнаяфункция состояния |`, `i — Y`,` при таком преобразовании умножается на(−1)`. А поскольку операторы `± сохраняют чётность, то и для любыхзначений m имеем Y`m(−~r) = (−1)`Y`m (~r). Это означает, что чётность состояния с определённым значением орбитального момента ` есть (−1)`,P|`, mi = (−1)`|`, mi.(7.19)Подчеркнем, что это соотношение, как и выражение (7.16), справедливо только в случае, когда оператор момента импульса связан с координатами соотношениями (7.15). Эта связь исчезает, и указанные свойства могут не иметь места, например, для суммарного момента нескольких электронов (электроны одного атома или иона).
В частности, приэтом собственные функции момента импульса продолжают оставатьсясобственными функциями оператора пространственного отражения, т.е.имеют определённую чётность, а соотношения (7.19) нет.7.3.Задачи1. На первый взгляд, в соответствии с нашими правилами построенияоператоров по классическим величинам, нам нужно симметризоватьоператор момента импульса (7.1) L̂ → (r̂ × p̂ − p̂ × r̂)/2. Покажите.что в данном случае такая операция не даёт ничего нового.2. Получить выражения (7.15).3. Найти средние значения операторов L2x и L2y .
в состоянии |`, mi.Можно ли одновременно измерить эти величины?4. Найти средние значения операторовh`x i, h`y i, h`z i, h`x `y i, h`z `x i, h`2x i, h`2y i, h`2z i в состояниях√√•|`, `i, |`, mi, •(|1, 1i + |1, −1i)/ 2, •(|1, 1i + |1, 0i)/ 2 .Куда направлен вектор ` в этих состояниях?5. При каких m, m0 будет hm|xi |m0 i =6 0; hm|xi xj |m0 i =6 0? (Использовать соотношения (7.2).)6. В состояниях ψ(φ, 0) = I)A·cos2 φ, II)C ·eiφ ·cos2 φ, III)B ·(1+cos φ)найти h`z i и вероятности различных значений проекции момента наось z. Как меняются со временем средние значения h`z i в случаеплоского ротатора Ĥ = L̂2z /2I ?7. Пусть m — проекция момента на ось z, а ось z 0 повернута под углом120α к оси z. В состоянии |`, mi найти вероятности разных значений`z 0 и средние h`ˆz 0 i, h`ˆ2z 0 i.8.
Пусть операторы b̂ и b̂+ имеют перестановочные соотношения (4.5)(такие же, как дляПокажите, чтоp гармонического осциллятора).pоператоры `ˆ− = 2` − b̂+ b̂ · b̂ , `ˆ+ = b̂+ 2` − b̂+ b̂ обладают темиже перестановочными соотношениями, что и операторы компонентмомента импульса (7.6). Найти соответствующий оператор `ˆz .121Глава 8ЦЕНТРАЛЬНО–СИММЕТРИЧНОЕПОЛЕ8.1.Задача двух тел. Общие свойстваЗадача двух тел, взаимодействие которых зависит только от расстояния между ними, описывается гамильтонианом:p̂21p̂22Ĥ =++ U (|~r1 − ~r2|).2m1 2m2Для описания движения пары частиц удобно ввести координаты иимпульс центра масс R̂ и P̂ и относительного движения r̂ и p̂ (и соответствующие массы M и m),R̂ = (m2 rˆ1 + m1 rˆ2,m1 + m2r̂ = r̂1 − r̂2 ,P̂ = pˆ1 + pˆ2 ,m2 pˆ1 − m1 pˆ2p̂ =,m1 + m2M = m1 + m2 ,m1 m2m=.m1 + m2(8.1a)Перестановочные соотношения между операторами координат и импульса каждого из этих движений таковы же, как и для отдельной частицы(1.20),[P̂i, R̂j ] = −i~δij ,[p̂i, r̂j ] = −i~δij ,[p̂i, R̂j ] = [P̂i , r̂j ] = 0 .(8.1b)Движения двух тел по отдельности входят только в выражение длякинетической энергии.
В свою очередь, операторы импульсов разных частиц коммутируют друг с другом. Поэтому – в точности, как в классической механике – эта кинетическая энергия, а вслед за нею и гамильтониан разбивается на сумму гамильтониана движения центра масс P̂ 2 /2Mи гамильтониана относительного движения.122♦ Движение центра масс (атома в целом) – свободное, оно описываетсяобычными плоскими волнами.♦ Относительное движение описывается как движение частицы с приведенной массой m в поле центра, расположенного в начале координат,U (r). Нетрудно проверить, что коммутаторы операторов p̂ и r̂ = r̂1 − r̂2для относительного движения таковы же, как и для движения одной частицы. Именно поэтому можно рассматривать относительное движениекак движение частицы в поле силы, зависящей только от расстояния доцентра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
