Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Поэтомутуннелирование из этих ям ослаблено, и оказавшиеся здесь электроныне могут уходить далеко от поверхности. Эти уровни можно видеть накомпьютерных демонстрациях.Точно так же и примесные и вакансионные состояния, соответствующие локальным включениям в решетку или "пропускам"ионов, локализуются вблизи этих нарушений периодичности.6.5.КвазичастицыВ реальном кристалле электроны сильно взаимодействуют между собой. На первый взгляд, это делает бесполезным представление об одиноком электроне, путешествующем сквозь периодический потенциал решетки. Оказалось, однако, что в этом случае интересующие нас электронные свойства кристалла очень хорошо описываются с помощью понятия о квазичастицах — элементарных возбуждениях над основнымсостоянием всего коллектива составляющих кристалл частиц. При неслишком высоких температурах таких квазичастиц не много, и они–тослабо взаимодействуют между собой.
Основные черты энергетическогоспектра квазичастиц определяются периодичностью кристалла, т.е. сов105падают с теми, которые мы только что рассмотрели.Упомянем некоторые типы квазичастиц в твердом теле, способныхраспространяться по всему кристаллу (мы говорим о части из них вовторой половине курса):1. Электроны и дырки – возбуждения, подобные описанным в разделе6.2.
Электроны – это возбуждения вблизи дна зоны с положительной эффективной массой. Вблизи потолка почти полностью заполненной энергетической зоны закон дисперсии для электронов характеризуется отрицательной эффективной массой, ε = EV − p2 /(2m∗).Дырки — свободные места вблизи потолка этой зоны. Их можноописывать как квазичастицы с положительной массой, но отрицательным зарядом.2. Фононы – кванты нормальных колебаний решетки (различных бегущих волн). При трехмерном обобщении у них появляется дополнительная степень свободы — поляризация.3. Магноны – кванты спиновых волн — колебаний магнитного моментаатомов кристалла.4.
Экситоны в диэлектриках и полупроводниках — связанные состояния дырки и притягивающегося к ней электрона из вышележащейзоны (похожие на атом водорода).6.6.6.6.1.Некоторые черты трёхмерной решеткиИдеальная решетка Трансляционная симметрияИдеальная периодичность решетки означает, что все пространство заполнено совершенно одинаковыми элементарными "кирпичиками".
Такой "кирпичик", который, бесконечно повторяясь, заполняет все пространство без пропусков и наложений, называется элементарной ячейкой. Выбор ее неоднозначен уже в одномерном случае. В трехмерном случае к неоднозначности выбора "края"ячейки добавляется неоднозначность выбора основных направлений – базисных кристаллографическихосей. Так, для кристалла N aCl можно считать элементарной ячейкойкуб N a c Cl в центре, или куб Cl c N a в центре, или наклонный параллелепипед N a, у которого одна сторона совпадает со стороной куба,другая направлена по диагонали грани куба, а Cl расположен на наклонной грани, и т.д.106Выбирая в каждой из заполнивших пространство примитивных ячеек одинаково расположенную опорную точку, мы получаем множествоточек, связанных между собой векторами трансляцийT~ = n1~a1 + n2~a2 + n3~a3 ,(6.36)где ni — целые числа, а некомпланарные векторы ~ai называют векторамипримитивных трансляций.
Параллелепипед, построенный на векторах~ai , называют примитивной ячейкой. Ее объем Vc = ~a1 (~a2 ×~a3 ). Векторыпримитивных трансляций обычно направляют из опорной точки, связанной с каким–нибудь ионом, в места расположения других ионов. Эти последние можно выбирать по–разному.
Это соответствует линейным комбинациям первоначальных векторов ~ai , сохраняющим объем примитивной ячейки. Точечная симметрияОбычно кристаллическая решетка обладает точечной симметрией, т.е.переходит сама в себя под действием операций симметрии, оставляющихна месте одну из ее точек. Таким операциям соответствуют элементысимметрии:• вращение на угол 2π/n — ось вращения n-го порядка;• зеркальное отражение — плоскость отражения;• инверсия — центр инверсии.Сочетание различных элементов симметрии привносит дополнительные элементы. Например, если через ось вращения n–го порядка проходит плоскость отражения, то существует еще n − 1 такая плоскость.Полная совокупность операций точечной симметрии пространственногообъекта образует группу — точечную группу преобразований объекта.Жесткие ограничения возникают из требования совместимости операций точечной и трансляционной симметрии.
В частности, по этой причине в кристаллах могут существовать оси вращения только 1-го (тривиальная), 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков. (Требуется покрыть плоскостьбез перекрытий и пустот. Для этого необходимо, чтобы угол в вершинесоответствующего правильного многоугольника был 2π/n с целым n.)Полный набор операций точечной и трансляционной симметрии данного кристалла составляет его пространственную группу. Добросовестные кристаллографы перечислили все возможные пространственные группы кристаллов.
Их оказалось 230, а более фундаментальных типов решеток (решеток Бравэ) всего 14.107Обсуждавшийся кристалл N aCl обладает высокой – кубической –симметрией (гранецентрированная кубическая решетка). Подобная кубическая симметрия (простые, гранецентрированные, либо объемноцентрированные решетки) характерна и для подавляющего большинства металлов. А вот у наиболее используемых полупроводниковых кристаллов(Si, Ge, GaAs, InSb и т.д.) симметрия более хитрая: их кристаллическаярешетка представляет собой две гранецентрированные кубические подрешетки, сдвинутые относительно друг друга вдоль главной диагоналикуба на 1/4 ее длины.
Если обе подрешетки состоят из одинаковых ионов,такую структуру называют решеткой типа алмаза, а если из разных —решеткой типа цинковой обманки. Часто встречается и гексагональнаясимметрия, например, у графита и льда.6.6.2.Обратная решетка.Как мы видели, волна в кристалле характеризуется квазиимпульсом~~q.
Изменение величины квазиимпульса на величины типа 2π/a для линейной цепочки приводит к значению, которое физически не отличаетсяот предыдущего. Таким образом, все пространство квазиимпульсов – обратное пространство – представляет собой подобие кристалла. Оно разбивается на эквивалентные друг другу ячейки – элементарные ячейкиобратной решетки, подобные элементарной ячейке в обычном пространстве.
Как и для обычного пространства, выбор элементарной ячейки обратной решетки неоднозначен.Особую роль играют векторы обратной решетки, определяющие периодичность в пространстве квазиимпульсов и подобные векторам трансляций в обычном пространстве (6.36). Действительно, существенную частьзадач физики твердого тела составляет описание распространения в кристаллических структурах различного рода волн — электромагнитных,квантовомеханических электронных, вибрационных,... Вообще говоря,период волны не согласуется с периодичностью кристаллической решетки. Однако, иногда волна и кристалл имеют одинаковую периодичность~ что для(ср. (6.36)).
Это имеет место для таких волновых векторов G,разных ионов решетки~~~eiG(~r+T ) = eiG~r .(6.37)~ называют векторами обратной решетСоответствующие векторы G~ T~ ) = 2πn, где n целое. Набор векторов обратной решетки, причём (Gки, образует узлы обратной решетки кристалла, подобные положениям108ионов прямой решетки. Легко сообразить, что прямая и обратная решетки обладают одинаковой симметрией.~ можно разложить по векторам примитивной обратной реВектор Gшетки ~bi. Обычно эти векторы выбирают в соответствии с векторамипримитивной решетки (6.36):~b1 = 2π (~a2 × ~a3 );Vc~b2 = 2π (~a3 × ~a1 ); ~b3 = 2π (~a1 × ~a2 ).VcVc(6.38)~ = n1~b1 + n2~b2 + n3~b3 , где ni – целые числа.При этом GСреди возможных выборов примитивной элементарной ячейки в пространстве квазиимпульсов выделенную роль играет многогранник, который называют (первой) зоной Бриллюэна – трехмерное обобщение интервала (−π/a, π/a) (6.2), рассматривавшегося для линейной цепочки.Он строится следующим образом:• Выбранный узел обратной решетки (здесь помещают начало координат) соединяется векторами трансляций со всеми другими узламирешетки.• Строятся плоскости, перпендикулярные этим векторам в их среднихточках.• Берется наименьший из получившихся многогранников, окружающих данную точку.(Реально нет нужды тянуть векторы ко всем точкам обратной решетки,нескольких ближайших точек оказывается достаточно).Можно показать, что в отличие от "стандартной" примитивной ячейки, зона Бриллюэна обладает точечной симметрией прямой решетки.По смыслу определения (6.37), каждый из векторов обратной решетки перпендикулярен бесконечному набору равноотстоящих параллельных плоскостей, которые в совокупности содержат все точки прямой решетки.
Поэтому координаты такого вектора в базисе (6.38) описывают иплоскости в реальном кристалле, соответствующие определенным "срезам"кристалла. Эти координаты называют индексами Миллера.Перечислим теперь некоторые общие черты трехмерного закона дисперсии для электронов и фононов.1. Поверхности равной энергии перпендикулярны плоскостям границзоны Бриллюэна. Получающаяся форма такой поверхности можетоказаться очень сложной. При приближении к границе зоны Бриллюэна перпендикулярная ей компонента групповой скорости электрона или фонона стремится к нулю.1092. Эффективная масса электрона и скорость звука могут быть анизотропными (и сильно анизотропными!). Соответственно, анизотропными будут проводимость, магнитная восприимчивость и другиефизические свойства кристалла.3.
Дно энергетической зоны для электрона может лежать ниже потолка предыдущей зоны, находясь в другой области k–пространства. Вэтом случае говорят о перекрытии зон.6.7.∗Эффект МёссбауэраПусть атомное ядро А массы М может находиться в возбужденномсостоянии с энергией и переходить в основное состояние, излучая фотонс энергией 0 (γ – радиоактивность). (Для A = F e57 = 14 KэВ = 1.4 ·104 еV, Mc2 ≈ 53 · 109 еV, собственная ширина линии Γ ≈ 5 · 10−9 эВ.)Обсудим зависимость поглощения фотонов от их энергии в (не оченьтолстом) образце, содержащем ядра А.
Пока энергия фотонов заметноотличается от , основным механизмом уменьшения их потока является рассеяние на атомах вещества (с возможной ионизацией последних).Не очень толстые образцы вещества почти прозрачны для таких γ квантов. Фотоны же с энергией должны сильно (резонансно) поглощатьсяв образце ядрами А, находившимися первоначально в невозбуждённомсостоянии., обеспечивая пик в коэффициенте поглощения.Если теперь расположить близко друг к другу два образца, I и II, содержащих указанные ядра А, то на первый взгляд, фотоны, излучённыеядрами в образце I, будут сильно поглощаться в образце II из-за резонансного поглощения ядрами А этого образца. Однако, простое классическое рассмотрение заставляет ожидать другой картины, посколькуиз-за отдачи вообще говоря энергия фотона 0 < .
Свободные ядра в газе. Рассмотрим сначала покоящееся ядро.После излучения импульс отдачи ядра равен импульсу фотона k = 0 /c,а энергия перехода есть сумма энергий фотона 0 и ядра R = k 2/2M: = 0 + R; R = k 2/2M = 02/(2Mc2 ).Поскольку обычно Mc2 , то с хорошей точностью R = 2 /(2Mc2).Для F e57 энергия отдачи R ≈ 2 · 10−3эВ Γ. Такое изменение энергииγ – кванта можно получить за счет эффекта Допплера при скоростиисточника v ≈ 20 м/с.Если ядро имело сначала импульс p~, то его начальная энергия Ei =2p /2M, а конечная Ef = (p − k)2 /2M, энергия фотона - Eγ . Баланс110энергии: Ei + = Ef + Eγ , т.е. Eγ = − R + kp/M = − R + vk.Для газа это даёт распределение числа фотонов по энергиям Eγ , которое получается сверткой этого выражения для Eγ с известной функцией распределения, например распределения Максвелла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
