Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Это – криваяс максимумом вблизи Eγ = − R и с шириной этого максимума ∼ T (T– температура, измеряемая в энергетических единицах, т.е. мы пишемT вместо привычного kT ). При T ≤ 10K ≈ 10−3эВ ширина максимумаменьше R, т.е. вероятность найти Eγ = мала, и пик в коэффициентепоглощения должен был бы исчезнуть.Эта классическая картина сохраняется и при квантовом подходе. Для ядер в кристалле только квантовое рассмотрение имеет смысл.Обозначим через |ii вектор начального состояния ядра А в кристалле(без учёта ядерных степеней свободы) – до излучения.

После излученияфотона с импульсом k (которое происходит мгновенно с точки зрения~атомных процессов) ядро переходит в состояние T̂−k |ii, где T̂−k = eik~x/~– оператор конечного сдвига в импульсном пространстве, в точности подобный оператору конечного сдвига в x – пространстве (1.24). В силусоотношения неопределённости, начальное состояние |ii не является состоянием с определённым значением импульса.

Поэтому оно не ортогонально конечному состоянию T̂−k |ii. Таким образом, имеется конечнаявероятность того, что после излучения ядро не изменит своего квантового состояния, т.е. энергия излучённого фотона будет в точности . Приэтом возможность резонансного поглощения в образце II сохраняется.В простейшей модели ядро находится в осцилляторном потенциале счастотой ω:P̂ 2Mω 2 x2Ĥ =+.2M2Пусть |ii = |ni, т.е. Ĥ|ii = ~ω(n + 1/2)|ii.

Тогда |f i = T̂−k |ii. Возможные значения энергии фотона Eγ = − ~ω(n0 − n) образуют дискретный набор. Вероятность перехода |ni → |n0 i есть Pnn0 = |hn0 |T̂−k |ni|2 . Вчастности, может быть, что ядро останется в том же состоянии, т.е. чтоотдачи нет и Eγ = :22 ZPnn = hn|T̂−k |ni = dx|ψn (x)|2eikx/~ =Z2ikx/~ ρn (x)e ≡ |Fn(k)|2 .dx111Введённая здесь величина Fn (k) – фурье–образ плотности вероятности;ее называют формфактором. Если ρn (x) = ρn (−x), то Fn(k) – действительна. При малых kZFn (k) = ρn (x) · (1 + ikx/~ − (1/2)(kx/~)2 + ...)dx ≈ 1 − (1/2)(k/~)2hx2 iЕсли начальное состояние — основное,√ n = 0, то |f i – когерентноесостояние (см.

раздел 4.2) с α = −i~k/ 2m~ω. Вероятность излучениябез отдачи дается соотношением (4.25):P00 = e−k2/2m~ω 2≡ e−R/~ω .Для реального кристалла смещение ядра следует разложить по нормальным колебаниям решетки, плотность числа которых есть ρ(ω) (13.23).В итоге получается ZRP00 = exp −ρ(ω)dω .(6.39)~ωПравая часть этого соотношения называется фактором Дебая – Валлера.Он встречается и в других задачах физики твердого тела.

Его изучение– хороший способ исследования свойств решетки в целом.6.8.Задачи1. Докажите утверждения (6.12), (6.16).2. Решите задачу о периодическом потенциале (6.13) для G → −G("забор вверх"). Покажите, что в этом случае справедливо второеиз соотношений (6.15).3. Покажите, что для периодического потенциала (6.13) при k0 a 1 возникает узкая разрешённая зона в границах −~2 k02/8m 1 ± 4e−k0 a/2 /2(сравните с расщеплением в паре ям).4.

При k0 a 1 решить уравнение (6.15) и найти в явном виде зависимость E(q). Найти отсюда m∗ . Найти ток jx и показать, что одномузначению Е при разных q соответствуют разные jx . Сравнить с поведением классической частицы в таком поле.5. Найти эффективную массу электрона для нижней зоны в поле (6.13)при k0 a 1.Ответ: m∗ = mek0 a /2(k0a)2 .Как меняется эффективная масса при переходе к более высоко лежащим зонам?1126. В соответствии с определением (6.3), блоховская амплитуда, отвечающая решению для периодического потенциала (6.13), есть uq (x) =A[e−iqxshκ(a − x) + eiq(a−x)shκx]. Найдите коэффициент A (из условия нормировки на ячейке (6.3)).7.

Найти энергию и волновую функцию "связанного состояния", локализованного вблизи "примеси в поле (6.13) при x = a сделаназамена: −Gδ(x − a) → −G1 δ(x − a).Ответ: E = −mG21 /2~2.8. Найти энергию поверхностного (Таммовского) уровня для задачи наполупрямой при k0a 1 (0 < b < a):∞при 0 < x < b,∞PU (x) =δ(x − na) при x > b. −Gn=1~2k021 − 2e−2k0 b .2m9. Найти поток энергии волнового пакета атомных смещений, распространяющегося по простой линейной цепочке.10.

Построить собственные состояния для линейной цепочки с закреплёнными концами.Ответ: ET = −113Глава 7МОМЕНТ ИМПУЛЬСАОператор момента импульса (в англоязычной литературе – – angularmomentum – угловой момент) частицы задается, как и в классическомслучае, соотношением (1.9)ˆL̂ = r̂ × p̂ ≡ ~ · `.(7.1)Мы определили здесь еще безразмерный оператор `ˆ ≡ L̂/~, удобный привычислениях, его мы тоже называем оператором момента импульса.7.1.Следствия алгебры коммутаторовРяд свойств момента импульса определяется только его перестановочными соотношениями.

Они не зависят от реализации операторов какфункций координат. Эти свойства сохраняются и в отсутствие такой реализации – для операторов суммарного момента системы частиц, дляспина (см. ниже), ...• Решая задачу 1.9, мы установили, что имеют место перестановочныесоотношения (1.33)[`ˆi , `ˆj ] = ieijk `ˆk .(7.2)Более того, подобные соотношения существуют для любой векторной~ˆ (мы проверили это для случаев A~ = ~r и p~):величины A[`ˆi, Âj ] = ieijk Âk .(7.3)Эти соотношения описывают преобразования компонент векторов прибесконечно малых вращениях вокруг осей z, x и y соответственно. Поэтому говорят, что `ˆi (L̂i) - генераторы группы вращений. В частности,`ˆ3 ≡ `ˆz – генератор вращения вокруг оси z.114• Соотношения (7.2) показывают, что различные компоненты момента импульса не могут быть фиксированны одновременно (не измеримыодновременно); имеют место соотношения неопределённости вида∆`x · ∆`y ≥|h`z i|.2(7.4)Это означает, что не существует такого состояния квантовой системы, вкоторой трёхмерный вектор момента импульса был бы сохраняющейсявеличиной с ненулевыми значениями всех проекций.

Так, для тонкогодиска, который вращается вокруг оси z в классической механике векторуглового момента направлен строго по этой оси. В квантовой механикенаправление момента импульса лишь в среднем совпадает с направлением оси z. Существуют конечные вероятности найти диск и в состоянияхс определёнными значениями проекций момента импульса на оси x и y.• В то же время из (7.2) следует, что2 ˆ2222ˆˆˆˆˆ[` , `i ] = 0` ≡ `x + `y + `z ,(7.5)т.е. квадрат момента и его проекция на одну из осей (например `ˆz ) одновременно измеримы. Мы будем искать совместные собственные векторыэтих операторов, обозначив их временно как |λ, mi:|λ, mi ⇒ `ˆ2|λ, mi = λ|λ, mi; `ˆz |λ, mi = m|λ, mi.Можно показать, что из компонент оператора момента импульса нельзяпостроить ещё один нетривиальный оператор, коммутирующий с `ˆ2 и`ˆz , но не выражающийся через них1 .

Поэтому вектор |λ, mi содержитполную информацию о состоянии системы.2 Определим еще`ˆ± = `ˆx ± i`ˆy .(7.6)Тогда из соотношений (7.2) получается[`ˆ+ , `ˆ−] = 2`ˆz ;[`ˆz , `ˆ±] = ±`ˆ± ;`ˆ2 = `ˆ+`ˆ− + `ˆ2z − `ˆz = `ˆ− `ˆ+ + `ˆ2z + `ˆz .(7.7)(7.8)Далее мы действуем таким же способом, как и при решении задачиоб осцилляторе. Существенное различие состоит в том, что для осциллятора возможные собственные значения оператора â+ â не ограничены1Это – свойство группы трёхмерных вращений O(3).115сверху, в то время как для оператора `ˆ+ `ˆ− возможные собственные значения ограничены сверху величиной λ.2 Рассмотрим векторы `ˆ± |λ, mi. Поскольку [`ˆ2, `ˆ± ] = 0, то`ˆ2 `ˆ± |λ, mi = `ˆ± `ˆ2|λ, mi = λ`ˆ± |λ, mi,т.е.

`ˆ± |λ, mi - собственные векторы оператора `ˆ2 с тем же собственнымзначением λ, что и у |λ, mi. С другой стороны, из соотношения [`ˆz , `ˆ± ] =±`ˆ± следует, что `ˆz `ˆ± |λ, mi = `ˆ± `ˆz |λ, mi ± `ˆ± |λ, mi = (m ± 1)`ˆ±|λ, mi.Это означает, что `ˆ± |λ, mi – собственные векторы оператора `ˆz с собственными значениями m ± 1:`ˆ±|λ, mi = c±λm |λ, m ± 1i.(7.9)Поэтому `ˆ+ (`ˆ− ) — повышающий (понижающий) операторы.2 Поскольку операторы `ˆi эрмитовы, то средние значения операторов`ˆ2x и `ˆ2y не отрицательны (ср. решение задачи (15)). Следовательно, среднее h|`ˆ2z |i по любому состоянию не превышает λ = h|~`2 |i. Поэтому призаданном λ существует наибольшее значение m, обозначим его `. Каки в случае с действием оператора уничтожения на основное состояниеосциллятора, из определения ` следует, что `ˆ+ |λ, `i = 0.

Из (7.8) следует,что (`ˆ2 − `ˆ2z − `ˆz )|λ, `i = `ˆ− `ˆ+ |λ, `i = 0, т.е. получаетсяλ = `(` + 1).Теперь мы перейдем к обычно используемым обозначениям – заменимсимвол λ в |λ, mi на `, т.е. будем писать |`, mi взамен |λ, mi:`ˆ2 |`, mi = `(` + 1)|`, mi;`ˆz |`, mi = m|`, mi.(7.10)В силу (7.9), (`ˆ− )k |`, `i ∝ |`, ` − ki. Увеличивая k, мы придем к наименьшему собственному значению `ˆz , равному −`. Поэтому2` — целое число.(7.11)Полное же число состояний с различными `z при фиксированном значении ` есть, очевидно, 2` + 1.Соотношение (7.10) означает, что даже в состоянии с наибольшим значением проекции момента на ось z, при m = ` квадрат длины векторамомента больше `2z , т.е. `2x , `2y 6= 0. Этот факт нетрудно понять с помощью соотношения неопределенностей (7.4).

Характеристики

Список файлов лекций