Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Затем перейдем к безразмерным величинам r/aB → r, E/Ry → E.Тогда уравнение Шредингера (8.3a) примет видd2χ`2 `(` + 1)+ E+ −χ` = 0dr2rr2Нам известно поведение χ` на границах:χ` ∼ r`+1 при r → 0 и√χ` ∼ e−κr при r → ∞ (здесь κ = −E). Поэтому удобно искать решение в виде χ` = r`+1e−κr w(r). Далее мы еще разложим w(r) в рядPw=ak rk . При этом получается уравнение для w(r), а из него — рекуррентное соотношение для коэффициентов ak :rw00 + 2(` + 1 − κr)w0 + 2(1 − κ − κ`)w = 0.κ(k + ` + 1) − 1ak+1 = 2ak .(k + 1)(k + 2` + 2)(8.13)Видно, что ak+1 → 2κak /(k + 1) при k → ∞.

Это значит, что ak ∼(2κ)k /k!. Если ряд не обрывается, то при r → ∞ он сходится к функцииw ∼ e2κr , а это нарушает граничное условие. Чтобы χ` → 0 при r → ∞,необходимо оборвать ряд3 на некотором k = nr , при этом κ(nr + ` + 1) =1, и w(r) – полином степени nr . Эти полиномы называют функциямиЛагерра L2`+1n+` . В итоге искомые нормированные собственные радиальныеДля водородоподобного атома – ядра с зарядом Ze и одним электрономпоследующие результаты, очевидно, применимы с заменой e2 → Ze2 .3Это условие воспроизводит условие обращения в нуль коэффициентапри растущей экспоненте для задачи об уровнях энергии в потенциальнойяме.2128функции имеют вид:ψn`m = Rn` (r)Y`m(θ, φ);Rn`2=− 2ns(n − ` − 1)![(n + `)!]32rn`e−r/n ·2rL2`+1).n+` ((8.14)n(Коэффициенты первых радиальных функций удобнее вычислять непосредственно с помощью соотношений (8.13).)Радиальное квантовое число nr равно числу решений уравнения w(r) =0.

Это нетрудно понять, заметив, что рекуррентное соотношение (8.13)при khnr имеет отрицательный числитель, т.е. коэффициенты полиномаw(r) знакопеременны и убывают с ростом k.Волновые функции Rn` (r)Y`m(θ, φ) описывают состояния атома водорода, обозначаемые как |n`mi. Их обозначают также символом n`, например, 4f – состояние с n = 4, ` = 3, а 2p — состояние с n = 2, ` = 1.Энергию основного состояния |1, 0, 0i называют энергией ионизации атома I = Ry = 13.6 эВ. Это — минимальная энергия, которую надо сообщить находящемуся в основном состоянии электрону, чтобы он оторвалсяот ядра.

Итак,1,n2n = nr + ` + 1 = 1, 2, 3, ..., nr = 0, 1, 2, 3, ..., ` = 0, 1, 2, 3, ...En = −(8.15) Кулоновское вырождение. Энергии уровней атома водорода зависят только от главного квантового числа n, но не от nr и ` по отдельности,как это было бы для почти любого другого сферически симметричногопотенциала. Уровню En с данным значением n соответствует n2 различных состояний (различных волновых функций)4 с ` = 0, 1, 2, ...n − 1.Состояния с определённой энергией – суперпозиции состояний с разными` уже не имеют определённой чётности.

Это — более сильное вырождение, чем для обычной задачи с центрально–симметричным потенциалом(где имеется только вырождение по проекциям момента импульса с кратностью 2`+1). Такое дополнительное вырождение связано с существованием дополнительной, более высокой симметрии. В классическом случаеМы увидим ниже, что дополнительно каждое из найденных состоянийдвукратно вырождено из–за наличия спина у электрона (его проекция наось z может принимать значения +1/2 и -1/2), т.е.

полная кратность вырождения есть 2n2.4129эта дополнительная симметрия приводит к тому, что период радиального движения совпадает с периодом движения по углу, и траекториязамкнута (эллипс) – в отличие от общего случая, когда эти периоды несовпадают, и траектория не замкнута. В.А. Фок показал, что эта симметрия эквивалентна симметрии вращений в некотором четырехмерномпространстве. Технически это обусловлено тем, что здесь существует ещёодин сохраняющийся векторный оператор (Рунге–Ленца), в некоторыхотношениях подобный оператору момента импульса, см. задачу (19). (Подобная более высокая симметрия имеет место для трехмерного осциллятора с U (r) = k~r2 /2.

Здесь имеется дополнительный сохраняющийсяоператор T̂ij = p̂i p̂j /m + kx̂ix̂j , не коммутирующий с оператором L̂2 .)• Примеры. Частные случаи Состояния с ` = n-1. Для таких состояний nr = 0, поэтому w –постоянная. Используя при нормировке (A.5), (A.6), найдемRn,n−12nrn−1p=e−r/n .nn+1 (2n − 1)!В частности, волновая функция основного состояния атома водородаимеет вид:1h~r|100i = √ e−r .(8.16a)πИспользуя соотношения для Γ–функции из Приложения, найдем, чтов таком состоянии1∆r1hri = n n +.(8.16b);=√2hri2n + 1√У основного (1s) состояния hri = 3/2, ∆r/hri = 1/ 3, т.е.

нет ничегообщего с наглядной моделью Бора, для которой hri = 1, ∆r = 0 (неговоря уже о том, что в 1s — состоянии момент L = 0, а в модели Борав основном состоянии L = ~). Напротив, при ` = m = n − 1 1квантовая механика дает ответ, близкий к боровской модели. А именно,средний радиус велик hri ∝ n2 , относительная дисперсия мала ∆r/hri 1, в угловом распределении |Y``|2 ∝ sin2` θ вероятность найти электронсконцентрирована в узком интервале углов вблизи θ = π/2, что оченьпохоже на классическую траекторию в форме окружности радиуса n2 вплоскости xy.Подчеркнём, что ценность полуклассической боровской модели не исчерпывается случаем больших n и `.

Представление об орбитах и их130радиусах (8.16b) позволяет получать правильные оценки и в случаях,когда n и ` не велики. В этом случае точность оценок не очень высока,но в ряде задач и её достаточно. Первый возбужденный уровень n = 2. Векторы состояний легковычисляются с помощью (8.13) и (7.18):1 r −r/22s :h~r|2, 0, 0i = √1−e,28πih~r|2, 1, 1i = − √ re−r/2 sin θeiφ,8 π(8.16c)i−r/2√h~r|2, 1, 0i =recos θ,2p :32πi h~r|2, 1, −1i = √ re−r/2 sin θe−iφ .8 π♦ Спектральные линии. Энергии фотонов, излученных при переходеиз состояния |ni`i mi i в состояние |nf `f mf i, – это Ry 1/n2f − 1/n2i =~ω. Для nf = 1 мы имеем серию Лаймана в ультрафиолетовой областиспектра, для nf = 2 – серию Бальмера (четыре линии Hα , Hβ , Hγ , Hδ ,соответствующие ni = 3, 4, 5, 6, лежат в видимой области спектра),для nf ≥ 3 все линии лежат в инфракрасной области спектра.

Водородоподобные атомы – атомы, имеющие ядро с зарядом Ze иодин электрон (сильно "ободранные" ионы). Для них размер aB уменьшается, а энергии связи |En| увеличиваются в Z 2 раз. Применения.• A. Атом в электрическом поле. Сдвиг спектральных линий вэлектрическом поле называют эффектом Штарка.Рассмотрим энергии уровней в электрическом поле. Характерные поля в атоме составляют Eat ∼ Ry /eaB ≈ 3 · 109 В/см, а это значительнобольше любого поля, которое создают в лаборатории. Поэтому практически всегда воздействие внешнего поля на атом можно считать малым,и при вычислении использовать теорию возмущений. Кроме того, в большинстве случаев можно считать, что в пределах атомной системы изменением поля с расстоянием можно пренебречь, т.е.

считать внешнее полеоднородным. Мы направляем обычно ось z вдоль этого поля.Для атома в электрическом поле V = −dE, где d – электрическийPдипольный момент атома, d = (ra − R) (R – координата ядра, нижеaмы помещаем его в начало координат). Для атомного состояния |N i поправка первого порядка к энергии есть −hN |dE|N i ≡ −hN |dz |N iE Для131всех атомных систем, кроме атома водорода, собственные состояния одновременно являются собственными состояниями момента импульса, иимеют определённую чётность.

В то же время при отражении координат(замена переменных под интегралом) дипольный момент меняет знак,т.е. меняет знак и величина hN |dz |N i, а это значит, что она равна нулю.Итак, в первом приближении теории возмущений поправка к энергии отсутствует, т.е. нет поправки к энергии, линейной по полю.

Разумеется,существует такая поправка (квадратичная по полю) во втором порядкетеории возмущений. На классическом языке это соответствует "наведённому"дипольному моменту, возникшему под действием того же поля.Приведённое рассуждение не работает для атома водорода при n > 1.В этом случае имеется дополнительное вырождение по `, т.е. и по чётности, и электрическое поле снимает это вырождение по стандартнымправилам теории возмущений для случая вырождения. При этом изменение энергии уровней пропорционально полю.• A1.

Характеристики

Список файлов лекций