Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003) (1095917), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Наконец, рассматривая матричные элементы от операторных равенств типа ĵ− P̂ ĵ+ = P̂ ĵ− ĵ+ , получим,что обсуждаемый матричный элемент вообще не зависит от m, т.е.hj 0 m0 |P̂ |jmi = a(j) · δjj 0 · δmm0 .(10.6)Этого и следовало ожидать, т.к. матричный элемент скалярного оператора не может зависеть от направления момента импульса. Векторный оператор.
В какой–нибудь прямоугольной системе~ˆ записывается в виде набора трёх опекоординат векторный оператор V~x , V~y , V~z ; при вращении системы этот набор превращается враторов V~z 0 ), компоненты которого известным образом выражанабор (V~x0 , V~y0 , Vются через коэффициенты первого набора.Соотношения между компонентами вектора ~n = ~r/r и сферическими функциями Y`=1,m(θ, φ) (7.18) вместе с правилами сложения моментов показывают, что произведение nz |jmi может быть представлено ввиде суперпозиции функций Φjs ms с ms = m и js = j, j ± 1.
Поэтомуматричный элемент hj 0 m0 |nz |jmi может отличаться от нуля только приm0 = m, j 0 = j, j ± 1. Аналогично, для hj 0 m0 |n± |jmi получаются правилаотбора m0 = m ± 1 и те же правила отбора для j. Существенным длядоказательства был не конкретный вид оператора ~n, а его векторныйхарактер. Поэтому и для любого векторного оператора V̂ справедливыправила отбора:hj 0 m0 |V̂i |jmi =6 0 лишь при j 0 = j, j ± 1,hj 0 m0 |V̂z |jmi =6 0 лишь при m0 = m,hj 0 m0 |V̂a |jmi =6 0 лишь при m0 = m ± 1 (Va = Vx , Vy ),(10.7)h00|Vi|00i = 0.• Правила отбора по чётности. Напомним, что есть два типа векторов.
Компоненты обычных (полярных) векторов V меняют знак при153отражении координат (смещение, импульс, электрический дипольныймомент, электрическое поле). Компоненты аксиального вектора A неменяются при отражении (вектор угловой скорости, магнитное поле,магнитный дипольный момент,...). Соответственно, матричные элементы hn|V |mi отличны от нуля только при различных чётностях состояний|ni и |mi.
Точно так же, матричные элементы hn|A|mi отличны от нулятолько при совпадающих чётностях состояний |ni и |mi.10.2.2.Усреднение векторного оператора.Используя соотношения (7.2), можно убедиться, чтоhi2ĵ , V̂i = −ieijk (ĵj V̂k + V̂k ĵj );h hii 2222ĵ , ĵ , V̂ = 2 ĵ V̂ + V̂ ĵ − 4ĵ ĵ V̂ .(10.8)Взяв от этого соотношенияэлемент по состояниям1 |jmi,h hматричныйii|jm0 i, т.е. записав hj, m| ĵ 2 , ĵ 2 , V̂ |jm0 i = 0, получим формулу усреднения hjm| ĵ V̂ |jmi00hjm |V̂i |jmi = hjm |ĵi |jmi.(10.9)j(j + 1)Это означает, что усредненный вектор V направлен по усредненному вектору j.
(Напомним, что матричный элемент скаляра hjm| ĵ V̂ |jmiне зависит от проекции m полного момента на ось z.)10.2.3.Сдвиг уровней в магнитном поле (эффект Зеемана)В атомных системах нередко возникают ситуации, когда спиныи орбитальные моменты отдельных электронов складываются в полныйPP~ = ~si и полный орбитальный момент этих электронов L~ = ~`i ,спин S~ +S~ (LSа уж затем они складываются в полный момент атома J~ = L– связь, см. ниже). В отсутствие электрического и магнитного полей,состояния такой системы вырождены по проекциям J~ на какую–нибудьось, т.е.
2J + 1 – кратно.Но не матричный элемент перехода между состояниями |j, mi и |j 0 , m0 iс j 0 6= j.1154~ = (0, 0, B),Когда такая система помещается в магнитное поле Bэто вырождение снимается, уровни энергии смещаются в соответствии с(9.11). Соответственно сдвигаются и спектральные линии.Сдвиг энергии уровня с проекцией момента на направление поля, равной M, описывается соотношением~ + 2S).~∆E = µB BhJM|V |JMi (V~ = LВходящее сюда среднее вычисляется с помощью (10.9):hJM|Vz |JMi =hJM|Jz |M, JihJM|(J~V~ )|JMi;J(J + 1)~ Для вычисления последнего скалярного произЗдесь (J~V~ ) = J~2 + (J~S).~ 2 ≡ (J~ − S)~ 2 ≡ J~2 + S~ 2 − 2(J~S).~ Окончательноведения вспомним, что L~2 ~ 2 ~ 2~ ) = J~2 + J − L + S .(J~V2Вычисляя среднее от этой суммы операторов, найдем сдвиг уровней∆E = gµB MB,g=3J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1).2J(J + 1)(10.10)Коэффициент g называют множителем Ланде.10.3.Задачи1.
Покажите: при сложении двух одинаковых моментов j1 = j2 состояния с j = 2j1, 2j1 − 2, 2j1 − 4, . . . симметричны по перестановкеm1 , m2, а состояния с j = 2j1 − 1, 2j1 − 3, . . . – антисимметричны.2. Найти собственные функции при сложении моментовa) j1 = 1 и j2 = 2, b) j1 = 1 и j2 = 1, c) j1 = 1 и j2 = 1/2,d) j1 = 1/2 и j2 = 1/2, e) j1 = 3/2 и j2 = 2.P3. Найти правила отбора для матричных элементов дипольногоexiPи квадрупольногоe(xixj − r2 δij /3) моментов.4. Показать что оператор P = (1 + ~σ1~σ2)/2 является оператором спинового обмена, т.е. его собственные значения в состояниях с полнымспином 0 и 1 есть ±1. (Индексы 1, 2 относятся к первой и второйчастице со спином 1/2).1555.
Пусть ĵ = ĵ1 + ĵ2 . Покажите, что операторj1 +j2P̂j0 =6.7.8.9.10.Yji =|j1 −j2 |,ji 6=j0ĵ 2 − ji (ji + 1).j0 (j0 + 1) − ji (ji + 1)— оператор проектирования на состояние с собственным значениемj = j0 .Найти среднее значение магнитного момента электрона в состоянииp1/2, используя: а) результаты задачи 2; б) (10.9).Найти и сравнить средние hA|µ̂z |Ai и hB|µ̂z |Bi для состояний |Ai =|JJz `si и |Bi = |`, `z , s, sz i. Здесь µ̂ = µB (`ˆ+ 2ŝ) – оператор магнитного момента (µB = e~/2mc).Две частицы с моментами J1 = 1 и J2 = 4 взаимодействуют сˆ ˆпотенциалом U = C ~J 1~J.2 Найти спектр стационарных состояний.Определить кратности вырождения.
Найти среднее значение µ̂z =β(g1Jˆ1z + g2 Jˆ2z ) при J = 5.Получите соотношения (10.8).Показать, что коммутируют операторы Ĥ и Ŝ 2 , гдеXX~n S~n+δ − 2µB · Sz , S~=~n .Ĥ = −JSSnn,δ11. Для системы трех частиц со спином 1/2Ĥ = λ(~σ1~σ2 + ~σ1~σ3 + ~σ2~σ3).12.13.14.15.найти уровни энергии и кратности вырождения для состояний с S =3/2 и с S = 1/2. Найти собственные состояния |S 2 , Sz i.Найти магнитное поле, действующее на ядро со стороны электронав состоянии |n, `, `z , jz i.Найти сдвиги уровней в магнитном поле в состоянияхa) |J, M, L, Si, b) |L, ML , S, MS i,c) |J, M, J1, J2i.
В этом случае считаются известными множителиЛанде g1 и g2 для состояний |J1 , M1i и J2, M2 i.Две частицы с моментами J1 = 3 и J2 = 2 взаимодействуют позакону V = AJ~1 J~2. Найти уровни энергии, кратность вырождения исреднее значение оператора магнитного момента в этих состояниях.Получите соотношения (10.8).156Глава 11ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦВ этой главе координатой q частицы называется набор из её пространственных ~r и спиновых sz координат.11.1.Тождественность частицВ классической механике одинаковые частицы считаются различными (как будто у каждой на боку можно поставить метку — номер).
Вквантовой механике это не так. В силу принципа неопределенности, понятие о траектории электрона теряет точный смысл, и через мгновениепосле того, как мы заметили два электрона, уже невозможно сказать, гдепервый, где — второй (разумеется, с точностью до ограничения скоростискоростью света). Принцип квантовой неразличимости частиц гласит:Частицы одного сорта различить невозможно.(11.1)Поэтому волновая функция пары частиц ψ(q1 , q2) при замене q1 на q2определяет то же состояние, т.е.
ψ(q2 , q1) = eiα ψ(q1 , q2). Иными словами, оператор перестановки частиц P̂12 , определяемый соотношениемP̂12ψ(q1 , q2) = ψ(q2, q1), имеет собственные значения eiα . Но по определению P̂12[P̂12ψ(q1 , q2)] = ψ(q1, q2). Поэтому e2iα = 1, т.е. eiα = ±1, илиψ(q1 , q2) = ±ψ(q2, q1).(11.2)Итак, волновая функция пары тождественных частиц либо симметрична, либо антисимметрична при их перестановке. (Разумеется, в описание входят и пространственные и спиновые переменные).• Если волновая функция симметрична при перестановках, говорят,что частицы подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна, их называют бозонами.157• Если волновая функция антисимметрична при перестановках, говорят, что частицы подчиняются статистике Ферми – Дирака, их называют фермионами.2 В.
Паули показал, что все частицы с полуцелым спином (электроны,протоны, кварки, ядра трития,...) – фермионы, а все частицы с целымспином (фотоны, α-частицы, дейтоны,...) – бозоны.Волновая функция пары невзаимодействующих нетождественных частиц ψ(q1, q2) = ψ1 (q1)ψ2 (q2). Если частицы тождественны, то в силу(11.2)ψ1 (q1)ψ2(q2) ± ψ1 (q2)ψ2(q1) (+) – бозоны;√;(−) – фермионы.2Соответственно, для N тождественных фермионов ψ1(q1) ψ2 (q1) . .
. ψN (q1) 1 ψ1(q2) ψ2 (q2) . . . ψN (q2) Ψ=√ ........ . . N! . . . ψ1 (qN ) ψ2 (qN ) . . . ψN (qN ) ψ(q1, q2) =(11.3a)(11.3b)В частности, если среди волновых функций фермионов ψi (q) есть двеодинаковых, то Ψ = 0, т.е. имеет место принцип Паули:В системе одинаковых фермионов не могут одновременнонаходиться в одном состоянии две (или более) частицы.(11.3c)В отсутствие магнитного поля волновую функцию можно представитькак произведение координатной и спиновой волновой функций: ψ(q) =ψ(~r)χ(sz ).
Если энергия системы не зависит от sz (т.е. имеется вырождение по sz ), то можно образовать новый базис – суперпозицию волновыхфункций (11.3b). Целесообразно выбрать такие суперпозиции, чтобы приданных ψi (~r) спиновые волновые функции образовывали либо симметричные, либо антисимметричные комбинации. Тогда полная симметрияволновой функции (11.3b) сохранится, если использовать комбинации(для пары фермионов):[ψ1 (~r1)ψ2(~r2) ± ψ1 (~r2)ψ2(~r1)] [χ1(sz1)χ2(sz2) ∓ χ1 (sz2)χ2 (sz1)]√√·.22Для пары частиц со спином 1/2 спиновая волновая функция симметрична в состоянии, когда полный спин равен 1, и волновая функция антисимметрична в состоянии, когда полный спин равен 0. И наоборот, если полный спин состояния равен 1, пространственная волновая функция158антисимметрична. Если же полный спин состояния равен 0, пространственная волновая функция симметрична.Для N тождественных бозонов волновая функция образуется по тому же типу, но - в отличие от детерминанта (11.3b), куда отдельныеслагаемые входят с разными знаками, - для бозонов все слагаемые суммы входят со знаком "плюс".
Так, для пары бозонов, находящихся водинаковом квантовом состоянии ψ(q1 , q2) = ψ1 (q1)ψ1(q2 ). (Разумеется,подобные совпадения меняют нормировочный коэффициент.)11.1.1.Обменное взаимодействиеЕсли учесть взаимодействие, то — в силу тождественности частиц —энергия системы зависит от суммарного спина (даже в отсутствие прямого взаимодействия между спинами). Это позволяет говорить о специфически квантовом — обменном взаимодействии тождественных частиц.Это проще всего продемонстрировать на примере. Рассмотрим энергию пары электронов, считая их взаимодействие U (|~r1 − ~r2|) возмущением.
Состояниям пары электронов с полным спином s = 0 или 1 отвечаютпространственные волновые функцииΨ(1, 2) =ψ1 (r1)ψ2(r2) ± ψ1 (r2)ψ2(r1)√.2(11.4)(Знаки + и − соответствуют суммарным спинамR ∗0 и 1 соответственно.)Средняя энергия взаимодействия hU i = Ψ U (|~r1 − ~r2|)Ψ d3~r1 d3~r2 .Подставим в этот интеграл (11.4) и найдем:(A + J (s = 0)hU i =A − J (s = 1)RR 3 3(11.5)A=d ~r1d ~r2 U12|ψ1 (r1)|2 |ψ2 (r2)|2 ,RR 3 3J=d ~r1d ~r2U12ψ1 (r1)ψ2∗(r1)ψ2 (r2)ψ1∗(r2) .Чтобы получить другую форму этого равенства, запишем выражениедля квадрата вектора ~sˆ, равного сумме векторов спина двух электронов~sˆ1 + ~sˆ2 , ŝ2 = ŝ21 + ŝ22 + 2ŝ1 ŝ2 = 3/2 + 2(~sˆ1~sˆ2 ).В состоянии с полным спином 1 правая часть равна 2, а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
