Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Определение 5. Разностная схема (2) называется корректной, если 1) ее решение существует и единственно при любых правых частях фл~Ял и 2) существует постоянная М,>0, не зависящая от й и такая, что при любых фленМл справедлива оценка 1!ул11л ~ ~М211фл11л. (8) Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно й, решения разностной задачи от правой части, называется устойчивостью разностной схемы. Заметим, что требование 1) эквивалентно существованию оператора 1,~,', обратного оператору Т.л, а требование 2) эквивалентно равномерной по й ограниченности оператора Ел'.
Основным вопросом теории разностных схем, как впрочем и других приближенных методов, является вопрос о сходимости. Сформулируем строго понятие сходимости. О п р е д е л е н и е б. Решение разностной задачи (2) сходится к решению дифференциальной задачи (1), если при !81-»0 !1у,— р,и!1;л-О. Разностиая схема имеет я-й порядок точности, если существуют постоянные й>0, М,>0, не зависящие от й и такие, что !!ул — рли!!а~~Ма ! гл! Часто для краткости просто говорят «разностная схема сходится», подразумевая сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи.
Справедлива следующая теорема о связи устойчивости и сходимости. Пусть дифференциальная задача (!) поставлена корректно, разностная схема (2) является корректной и аппраксимирует исходную задачу (1). Тогда решение разностной задачи (2) сходится к решению исходной задачи (1), причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации. Д оказ а тельство следует прямо из определений. Действительно, уравнение для погрешности (4) имеет ту же структуру, что и разностная задача (2).
Поэтому из требования корректности следует оценка !1хл11л~~Мл!!фл1!л. (О) Поскольку константа М, не зависит от Ь, получаем, что при !!фл11л 299 - 0 норма погрешности ал также стремится к нулю, т. е. схема схо- дитсЯ. Если Цл!1л(М,1й1л, то из (9) полУчим 1~ха|!л~М,Мл!А!", т. е. разностная схема имеет й-й порядок точности. Значение приведенной выше теоремы состоит в том, что она позволяет разделить изучение сходнмости на два отдельных этапа: доказательство аппроксимации и доказательство устойчивости.
Обычно более сложным этапом является исследование устойчивости, которое состоит в получении оценок вида (8), называемых априорными оценками. 3 а меча ние. Теорема доказана в предположении, что решение ул и правая часть ел измеряются в одной и той же норме. Однако, изменив соответствующие определения, можно легко показать, что теорема остается справедливой и в том случае, когда решение измеряется в одной норме, а правая часть — в другой (см., например, (32]). ГЛАВА 2 ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ В $1, 3 изучается разностная схема для уравнения Пуассона в двумерной прямоугольной области.
В 9 1 формулируется разностная краевая задача и вводится каноническая форма записи разностных схем, удобная для применения принципа максимума. Такая каноническая форма пригодна не только для разностного уравнения Пуассона, но н вообще для любого линейного разностного уравнения. В $2 излагаются основные теоремы принципа максимума для разностных схем, записанных в канонической форме.
В $ 3 принцип максимума применяется к исследованию сходи- мости разностной аппроксимации задачи Дирихле. В 9 4, 5 приводятся примеры применения принципа максимума к другим стационарным и нестационарным разностным задачам. $1. Разностная аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона 1. Постановка разностной задачи.
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона: найти непрерывную в С=С()Г функцию и(х„х,), удовлетворяющую уравнению дзи дзи — + — = — ~ (х„х,), х = (х„х ) ~ С, (1) дк' дха 1 2 и граничному условию и(х) =1л(х), х~Г, 10л где 6 — прямоугольник, 6= (0 <х, <1„0 <х, <1о), à — его граница, )(х), 1х(х) — заданные функции. Предполагаем, что 1(х), 1х(х) таковы, что решение задачи (1) существует, единст- венно и является достаточно гладкой функцией.
При 1=0 получа- ем задачу Дирихле для уравнения Лапласа — "+ — =О, х~==6; и(х) =1х(х), х~Г. (2) дхо дх' Одним из основных свойств задачи (2) является выполнение принципа максимума: непрерывное в 6 и отличное от константы решение и(х„х,) может достигать своего максимального по модулю значения только на границе Г. Отсюда следует, что справедлива оценка шах (и(х„хо) )( шах !р(х,„хо) ~, 6=6()Г, ~х„ха=3 (х„хаят означающая устойчивость задачи (2) по граничным данным. В следующих параграфах аналогичные оценки будут получены и для некоторых разностных схем, аппроксимирующих уравнение (2~.
Эти оценки помогут установить сходимость разностной схемы для уравнения Пуассона (1). Введем в 6 прямоугольную сетку 11 с шагами й, по направлению х, и й,— по направлению х„так что й,=1,/У„йо=1,1У„ где У, и й1,— целые числа. Обозначим х'=(й„хо=/й,. Сетка 1 о 11 состоит из совокупности узлов хо (х',', х~), 1=0, 1,..., У„1= О, 1,...,Уо. Для функций у, определенных на 11, обозначим уц = у (хп), у; „„. = (Уо„; — 2уп + у;,;)1й'„ у„- „, = (ус;„— 2УУ + ус;,)/й,'. Задаче Дирихле (1) сопоставим следующую разностную схему: Ух,х,ц+У-,,х,п= Ь 1=1 2 ...,й1х — 1, 1=1,2, ° Л1о — 1 ° (3) усо=р(х,', 0), усн,=р(х,',1о), 1=1,2, ..., Ф,— 1, (4) уод=)о(0, х~), Унн=1х(1, х(), 1=1, 2, ..., Уо — 1. Точки х„, в которых записываются уравнения (3), принадлежат подмножеству ео=(х„~(=1, 2,..., У,— 1, 1'=1, 2,..., Уо — 1) сетки й, называемому множеством внутренних точек сетки й.
Совокупность точек Л~з-1 М1-о у=(хьо хлн);=, () (х;„хьч,)~=,, 292 в которых заданы разиостные граничные условия (4), называется границей сетки й. На рнс. 12 внутренние точки отмечены кружочками, а граничные — крестиками. Отметим, что угловые точки (О, 0), (1„0), (О, 12), (1„1,) не участвуют в данной аппроксимации и поэтому не относятся ни к внутренним, ни к граничным точкам.
По поводу разностной схемы (3), (4) можно задать обычные вопросы о существовании и единственности ее решения, о сходимости при Ь;~-0, «; О, о способах решения. Эти вопросы рассматриваются в следующих параграфах. Здесь мы ограничимся лишь очевидными замечаниями о том, что построенная с «1 Ц Х1 разностная схема имеет второй по- Ряс. !2. Прямоугольная сетка рядок погрешности аппроксимации по «, и по Ь2 и что она представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно уьэ состоящую из (й1, — 1) Х Х («!2 — 1) уравнений и стольких же неизвестных. 2. Канонический вид разностного уравнения.
Для дальнейшего исследования удобно записать уравнение (3) в виде, разрешенном относительно уя, а точнее в виде с ' '! = "1" 1' "'-'л 1 """ ""'-' +уп. (5) «' «' / «' «2 1 2 1 2 Обозначим через х точку ха — центральную точку шаблона, на котором аппроксимируется уравнение (1), а через Ш(х) — весь этот шаблон, т. е. совокупность пяти точек хч, х1„„х,,, Назовем окрестностью точки х и обозначим через Ш'(х) все точки шаблона Ш(х) за исключением точки х, т.
е. Ш'(х) — это четыре точки х1 ьь х1з, Тогда уравнение (5) можно записать в виде А(х)у(х)=,~~~ В(х,$)уф+Р(х), (6) гмШЧ2! где коэффициенты А(х), В(х, й) следующим образом: А(х) = — + —, 2 2 «2 «2 1 2 и правая часть Р(х) определены ! В(х, х2я,,г) = —, «2 1 В(х, х«! о — — —, Р(х)= ~(х1!). ! « Обратим внимание на свойства этих коэффициентов: А(х) >О, В(х, $)>0, А(х) =,Я~ В(х, $). Запись разностного уравнения гМШ !2! в виде (6) называется канонической фарг!ой разностного уравне- 293 ния. Она применима ие только к уравнению (5), но и к любому линейному разностному уравнению.
Разумеется, в каждом конкретном случае необходимо задать множества Ш)(х) и определить коэффициенты А(х), В(х, 4) и прав) ю часть г" (х). Уравнение (6) определено при хенв, т. е. только во внутренних точках сетки й. Поэтому к нему требуется добавить еще граничные условия (4). Заметим, однако, что если при хан( считать Ш'(х) пустым множеством, то уравнение (6) принимает вид А(х)у(х)=г"(х), х~(, и представляет собой запись граничных условий у(х)=)х(х) при хек(, причем г"(х)=А(х)р(х). Итак, разностную схему (3), (4) можно записать в виде системы уравнений (6), где х пробегает все множество П. Во всех внутренних точках хенв выполняются условия А(х)>0, В(х,4)>0 для всех йенШ'(х), (8) А (х) = ~~~ ~В (х, $). ваших) В граничных точках х~1 имеем Ш'(х) — пустое множество и А(х) >О. В следующем параграфе изучаются свойства общей разностной схемы (6) безотносительно к конкретному виду ее коэффициентов, важно лишь, чтобы выполнялись условия, аналогичные (8).
Полученные выводы окажется возможным применить не только к разностной схеме (3), (4), но и к более широким классам разностных схем. й 2. Принцип максимума для разностных схем. Основные теоремы 1. Исходные предположения. В предыдущем параграфе на примере уравнения Пуассона была введена каноническая форма записи разностной схемы А (х) у (х) = ,Я~ В (х, $) у (9) + г (х), х ~= й. (1) 1~)л м) Поясним теперь, как следует понимать уравнение (1) в общем случае.
Пусть в и-мерном евклидовом пространстве задано конечное множество точек — сетка И. Каждой точке хаий сопоставим один и только один шаблон Ш(х) — любое подмножество П, содержащее данную точку х. Окрестностью точки х назовем множество Ш'(х) =Ш(х) ~(х). Заметим, что Ш'(х) может быть и пустым множеством. Пусть заданы функции А(х), В(х, $), г(х), определенные при любых х~й, фей и принимающие вещественные значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
