Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 47
Текст из файла (страница 47)
(4) х.-и 'с-и В результате вместо уравнения (3) получим уравнение а — Аи~+~рс=О. Выразим теперь э, и«через значения функции и(х) в точках сетки. Для этого проинтегрйруем соотношение и'(х) =ю(х)/й(х) на отрезке (х; „ хД. Тогда получим х; х~ р м(«) р Ь и; — и;<,— — ) ах кч у 3 а(1 * 3 а(.! х; Обозначая (б) и; — и;, получим э, „,= а; =аих и и;+и« -— а+,и„, а Подставляя эти выражения в уравнение (5), получим разност- ное уравнение, содержащее значения искомой функции в точках х„ х„,: ! — (а;,ихл — а;и-.) — а;и~+ ср;=О а ' ха или в сокращенной записи (аи„-)хх — Аис+ В = О. (7) Это уравнение по своему построению является разностным аналогом основного дифференциального уравнения (1). Записывая уравнение (7) во всех точках сетки, в которых оно определено, т.
е. при 1=1, 2,..., У вЂ” 1, получим систему из У вЂ” 1 линейных алгебраических уравнений относительно У+ 1 неизвестных и„и„..., и . Два недостающих уравнения получаются путем аппроксимации граничных условий (2). Одним из этих уравнений является условие и = 263 =пь а второе может быть получено интегро-интерполяционным методом. Для этого проинтегрируем основное уравнение (1) на отрез ке (О, хь1, где ха=О,5й: хм хм иь,, — и, — ( а (х) и (х) дх + ( 1 (х) Их = О.
(8) Полагая, как и ранее, гв; «,=ахи„-и получим при 1=1, что ва,= =а,и„-,. Выражение для и~, следует из граничного условия при х= 0: в,= — 14,+ ри,. Наконец, полагая х!Л х|л ~ а(х)и(х)г(х=и, ') а(х)Ых, получим из тождества (8) разностное уравнение хн хм а,их,— 'ри + р,— и, 1 д(х)дх+ ) Г(х)Их=О. (9) Обозначая хр ху а',= 1 д(х)4(х, ф,= — ~ ~(х)4(х, 1 Г' 1 О,вй ,) ' ' О,зй 264 перепишем уравнение (9) в виде — а,и„,+ (5+0,5й4) и,= 14,+0,5йф..
Из этой записи видно, что полученное уравнение является разностным аналогом граничного условия — й(0)и'(0) + ри(0) =14 В дальнейшем решение разностной задачи в отличие от решения дифференциальной задачи будем обозначать буквой у, так что у,=у(х,), х енвь Объединяя все уравнения (7), (9), получаем следующую разностную схему для задачи (1), (2): (ау-„)х„— Ау;+ф~=О, 1=1,2, ..., Ф вЂ” 1, — а,у„,+ (р+0,5Ы,)у,=р,+0,5йф„ух=(4,. При анализе разностной схемы (10), как впрочем и любой другой разностной схемы, возникают следующие вопросы: а) существование и единственность решения системы линейных алгебраических уравнений (10); б) каким методом надо отыскивать это решение; в) какое отношение имеет система разностных уравнений (10) к исходной задаче (1), (2), иначе говоря, переходит ли разностное уравнение (10) в уравнение (1), если шаг сетки й стремится к нулюР Это вопрос об аппроксимации дифференциальной задачи (1), (2) разностной схемой (10); г) сходится ли решение у(х) разностной задачи к решению и(х) дифференциальной задачи при й-~0? На первые два вопроса можно ответить немедленно.
Разностная задача (10) является типичным примером задачи, которая решает- ся методом прогонки, изложенным в и. 7 $4 ч. 1. Систему уравнений (10) можно записать в виде А<у<- — С у+В у+,— — — Р„1=1, 2„..., )Ч вЂ” 1, У« = Я<У< + )<» Уи = нхух + Рм где А<= а„В<= а« „С<= а +а+, + АЫ„Р<=(т<<(ь и,= О, ь О<<+ 0,55<(ь) 1+ <«< '(р+ 0,5Ы0) Из условий а,>0, 5>0, а«)0 следует, что С<>А<+В<>0, т, е. выполнены условия устойчивости прогонки. Поэтому разностная задача (10) однозначно разрешима и ее можно решать методом прогонки по формулам (44) — (46) из 34 ч.1. Вопросы аппроксимации н сходимости обсуждаются в следующем параграфе. $3. Исследование аппроксимации и сходимости 1.
Аппроксимация дифференциального уравнения. В 3 2 рассматривалась краевая задача (й(х) и'(х) ) ' — <)(х) и(х)+) (х) =О, 0<х<1, (1) — й(0)й(0)+5и(0) =р» и(1) =рм (2) й(х) ~с,>0, р>0, для которой интегро-интерполяционным методом была построена разностная схема (аух)х,< — <(<у<+<р<=0, Е=1,2, ..., ))<' — 1, (3) — а<уха+ РУ«=Р» У«< =Рх< (4) где х< -1 ас= — ~ —, 1=1, 2, ..., ))(, ) г <(х (5) Ь х (х) х; х«у х; и < А= — ~ <7(х)Нх, <(ч= — ~ 1(х)<(х, 1=1,2, ..., ))( — 1, (6) х; у х!" <3< Р=Р+ 05Ыо )<<=Рт+ 0,53<Р« х,в« о,м а<,= — Г <7(х) йх, ч<« = ( 1(х) <(х. 0,5)<,) 0,5)<,) о 0 Обозначим через 1.и(х) левую часть уравнения (1) и через »<,у< — левую часть уравнения (3), т.
е. Йи (х) = (й (х) и ) — д (х) и (х) + 1(х), Еху = (аух)„, — <(;у<+ <рь 265 Пусть о(х) — достаточно гладкая функция и о(х<) — ее значение в точке х, сетки ь«,=(х<=(Ь, <=О, 1,..., У, ЬМ=1). (7) Говорят, что разностнь<й оператор Ц аппроксимирует дифференциальнь<й оператор 7. в точке х=х<, если разность |,о,— 7.о(х<) стремится к нулю при Ь вЂ” «О. В этом случае говорят также, что разностное уравнение (3) аппраксимирует дифференциальное уравнение (1).
Чтобы установить наличие аппроксимации, достаточно разложить по формуле Тейлора в точке х=х, значения о<,=о(х,«Ь), входящие в разностное выражение 1.<о<. Большая часть этой работы проделана в $1, где показано, что при условиях ' =Ь'(х;) + 0(Ьз), "' ' =Ь(х<)+ 0(Ь') (8) выполняется соотношение (аок)„,< — (Ь (х) о' (х))' („, = 0 (Ь). Если кроме того, докажем, что й<= — д(х<)+0(Ь'), <р<=1(х<)+0(Ь<), (9) то тем самым будет установлено, что оператор Е, аппраксимирует Е со вторым порядком по Ь, т. е. (.„о< — 7.о(х<) =0(Ь*), <'=1, 2,..., <«' — 1.
(1О) Итак, доказательство второго порядка аппроксимации сводится к проверке условий (8), (9) для коэффициентов (б), (6). Проверим сначала выполнение условий (8). Обозначая р(х)=Ь '(х)„ получим «< г Ь« — — 1 р(х) йх=р; и+ — р; и+0(Ь4), а< Ь !2 л< следовательно, Ь< Р< а<=Ь; к — — ', л +0(Ь')=Ь< и — — —,' +0(Ь'). Аналогично Ь< Р< з ам< = Ь<ки — — —, + О (Ь ). 12 р~~ Отсюда получим ' =Ь(х;)+ 0(Ьь), ' и+0(Ьь) =Ь'(х<)+ 0(Ь'), Ь Ь т. е.
условия (8) выполнены, Условии (9) выполнены в силу того, 266 что замена интегралов (6) значениями дь ~, соответствует приближенному вычислению этих интегралов по формуле прямоугольников с узлом в середине отрезка интегрирования. 2. Аппроксимация граничного условия.
Исследуем погрешность аппроксимации разностного граничного условия (4). Обозначим 1«о(0) = — а,о„,+ро,, Если о(х) — произвольная достаточно гладкая функция, то очевидно 1«о(0) = — й(0) о'(О)+ро(0) + 0(й), т. е. имеет место аппроксимация первого порядка по Ь.
Однако если о=и(х) — решение задачи (1), (2), то разностное граничное условие (4) имеет второй порядок аппроксимации, т. е. — а,и„,, + ри — р, = — Ь (О) и' (О) + Ри (О) — ро + О (Ьо). Докажем последнее утверждение. Используя разложения и„,=(и,— и,)!Ь=и'(ха)+0(Ь'), х„,=05Ь, ,1 0(йо) получим аи„л —— юн+ 0 (Ь) =шо+ 05йюо+ 0(йо) = = й (О) и' (О) + 0,5Ь (йи') ' (О) + 0 (Ь'). Отсюда имеем 1ои (О) = — й (О) и' (О) — 0,5Ь (йи') ' (О) + рио — и, + О (Ь') = = 1 — Ь (О) и' (О) + ри (О) — р,)+ 05Ь 1 — (йи) ' (О) + йоио — ~ро] + 0 (Ь') Учитывая граничное условие (2), получаем 1«и(0) =0,5Ь( — (йи') '(О) +г(,и;<р,]+0(й').
Выражение, стоящее в квадратных скобках, преобразуем, учитывая уравнение (1), к виду — (Ьи')'(О)+д,и,— <р,= — (Ьи')'(О)+у(0) и(0) — 1(0)+ + (д,— а (0) ) и,— (1" (0) — ор,) = (4 — су (0) ) и,— (1(0) — <р,) . Из соотношений «Уз Но= — ~ а(х)г(х=д(0)+0(й), «р,=~(0)+0(й) о получаем 1ои (О) = — а,и„,, + рио — р, = 0 (Ь'), что и требовалось доказать. Таким образом, при достаточной гладкости коэффициентов й(х), д(х), ~(х) и решения и(х) разностная схема (10) аппраксимирует исходную задачу (2) со вторым порядком по Ь. зат При практическом использовании разностной схемы для нахождения ее коэффициентов не обязательно вычислять интегралы (4), (6) точно.
Можно воспользоваться коэффициентами, полученными путем замены этих интегралов квадратурными формулами, имеющими точность 0(й') и выше. Например, в результате применения формулы прямоугольников получим следующие коэффициенты: а,= =й(х,— О,бй), й;=д(х,), <р,=~(х;). Применяя формулу трапеций, получим 2чл. «-н+ «+л т -н+ (ым а;= ° ьи Ф= ьс+ ьы1 2 Представление коэффициентов разностной схемы в виде интегралов (4), (6) оказывается полезным при исследовании сходимости в случае разрывных функций й(х), д(х), 1(х) (см.
132) ). 3. Уравнение для погрешности. Решение у;=у(х,) разностной задачи (3), (4) зависит от шага й сетки, у(х,) =у,(х,). По существу, мы имеем семейство решений (у,(х,)), зависящее от параметра й. Говорят, что решение у,(х) разностной задачи сходится к решению и(х) исходной дифференциальной задачи, если при й-ь.О погрешность у,(х,) — и(х,), 1=0, 1, ..., А(, стремится к нулю в некоторой норме.
В настоящем параграфе в качестве такой нормы будем брать норму в сеточном пространстве С(ыь), т. е. положим ьуь — и~< ~ = шах ~ул(х~) — и(х;) ~. Говорят, что разностная схема "Ф~я имеет гп-й порядок точности (или сходится с порядком пт), если !!ул — иксы )(Мй, где т>0, М>0 — константы, не зависящие от й. Выше было установлено, что схема (3), (4) имеет второй порядок аппроксимации, Докажем теперь, что эта схема имеет и второй порядок точности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
