Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Тогда уравнение (15) можно переписать в виде и т з и у. + — у- =у- ., м д ххи' Отсюда легко получить, что уравнение (15) аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (13) лишь при условии, что т'/й'-+0 при т- О, Ь- О. Погрешность аппроксимации является величиной 0(т'+Ь'+т'/Ь'). Если же положить, например, т=й, то (15) будет аппроксимировать уравнение гиперболического типа ди де и д'и — + — =— д! дп дхз В б. Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, сходимость, устойчивость 1.
Введение. Ранее мы уже встречались с перечисленными в заглавии понятиями в связи с самыми различными примерами разностных схем для конкретных дифференциальных уравнений. В настоящем параграфе дается изложение основных понятий теории разностных схем и выясняется связь между ними для линейных разностных схем самого общего вида, безотносительно к конкретной структуре исходного дифференциального уравнения и аппроксимирующей его разностной схемы. Пусть дана исходная дифференциальная задача, которую мы запишем в виде Еи (х) /(х), где хен6, 6 — область т-мерного пространства, /(х) — заданная функция, 1. — линейный дифференциальный оператор.
Предполагается, что дополнительные условия (типа начальных и граничных условий) учтены оператором /. и правой частью /. В качестве простейшего примера задачи (1) читатель может рассмотреть первую краевую задачу -ии(х)=/(х), 0<х<1, и(0)= =и(1)=0, хотя в общем случае уравнение (1) может быть многомерным, в том числе и нестационарным уравнением. Существенно в дальнейшем лишь требование линейности оператора 5. Для построения разностной схемы прежде всего вводится сетка 6, — конечное множество точек, принадлежащих 6, плотность распределения которых характеризуется параметром Ь вЂ” !магом сетки.
В общем случае параметр Ь вЂ” вектор, причем определена ]й]— длина вектора Ь. Обычно сетка 6, выбирается так, что при ]й] -0 множество 6, стремится заполнить всю область 6. Функция, определенная в точках сетки 6, называется сеточной функцией. Прв мер !. Нв отрезке 6=[и, Ь] введем произвольную неравномерную сетку бм т.
е, множество точек Оз=(х;~[и, Ь] ]хе=о<к,<...<хв=Ь). Обозначим Л<=х< — х«, <=1, 2, ..., У. Тогда Л=(Л<, ..., Л„), ) Л[= шах лн ля<ми ум <» Можно определить также [Л [ =,Я Лл< <-л П р и и е р 2. На плоскости (х, 1) рассматривается область 6=(0(х(1, 0(1(Т). Сетка Ол состоит из точек (х<, 1„), где х<=1Л, <=О, 1, ..., Л<, ЛЛ<=1, 1„=от, л=О, 1,...,К, Кт=Т. Эта сетка использовалась при аппроксимации уравнения теплопроводности в 5 4. Здесь можно положить [Л[=уЛ<+т<, либо [л[-УЛ<+т.
После введения сетки 6л следует заменить в уравнении (1) дифференциальный оператор ). разностным оператором Л„правую часть )(х) — сеточной функцией «р,(х). В результате получим систему разностных уравнений 1,у, (х) =«р, (х), хан 0л. (2) которая называется разностной схемой или разностной задачей. В отличие от дифференциального уравнения решение разностной задачи будем обозначать буквой у. 2. Погрешность аппроксимации и погрешность схемы.
Перейдем к изложению основных понятий теории разностных схем: аппроксимации, корректности (устойчивости) и сходимости. Прежде чем давать формальные определения, заметим, что свойство аппроксимации означает близость разностного оператора к дифференциальному. Отсюда еще не следует, вообще говоря, близость решений дифференциального н разностного уравнений.
Свойство устойчивости разностной схемы является ее внутренним свойством, не зависящим от того, апцроксимирует ли зта схема какое-либо дифференциальное уравнение (см. [30)). Оказывается, однако, что если разностная схема аппроксимирует корректно поставленную задачу и устойчива, то ее решение сходится при [)<~ — <-0 к решению исходной дифференциальной задачи. Будем считать, что решение и(х) задачи (1) принадлежит линейному нормированному пространству Я„)[ [[, — норма в Я,. Например, Я,» О(а, [<), 1[и[[а = шах »и(х) [. Аналогично считаем, кы[а.ь) что сеточные функции у,(х), «рл(х) являются элементами линейного нормированного пространства Я, (пространства сеточных функций) с нормой [[ [[л По существу, имеем семейство линейных нормированных пространств, зависящее от параметра й.
Чтобы иметь возможность сравнивать функции из различных пространств, вводится оператор проектирования р,: Я,— ьЯл. Это, по определению, линейный оператор, сопоставляющий каждой функции из Я, некоторую функцию из Я,. Для функции иенЯ, обозначим через ил ее проекцию на пространство Я,, т. е. и,(х)= =р,и(х). Приведем примеры операторов проектирования. Пример 3. Пусть В<е — пространство непрерывных функций на [О, 1[ и 6л — равномерная сетка с шагом Л; а (х =1Л, 1=0, 1, ..., Ч, Лй'=1», 287 Тогда в качестве оператора проектирования можно взять оператор вычисления значения функции в данной точке сетки. Этот оператор определяется следующим образом: (рьи) (хь) — и(хь), ! — О, 1, ° ° ьо. П р и м е р 4. Пусть ьое — пространство функций, интегрируемых иа [О, 1[, я ОА — та жс СетКа, что И в ПРеДыдущем примере.
Тогда в качестве оператора проектирования можно взять оператор осреднения хьье,оа 1 (рзи) (хг) = — ) и(х)ь(х, ь = 1, 2, ..., М вЂ” 1, а х;о,ьь е. ьа хм 1 Г 1 (ран) (хо) = ) и(х) лх, (рьи) (хм) =— и(х) дх. хм-олл В дальнейшем будем требовать, чтобы нормы в ЯА были согласованы с нормой в исходном пространстве Я,. Это означает, что для любой иенЯо выполняется условие 1пп [[рви[), = 1[и[[о. (3) 1А1- о Требование согласования норм обеспечивает единственность предела сеточных функций при [ гь [ -е-О.
Действительно, если для и,о~Я, имеем 1пп [[ЦА — реп[[А=О,1пп [[ЦА — рьо[[А=О, то согласно (3) 1А1-ее !А[~о [[рьи ухо[[А=[[ (рьи Ць) + (ЦА рьо) [[А~~[[ром — ЦА[[А+ [[ЦА реп[[А [[и — о)о =Вт $рз(и — о)[[» — — О, 1А1-ьо т. е. и=о. П р и м е р 5. Сеточная норма /М ь,иь 6у0а — 3 "[уг [ ° г=о согласована с нормой в Ез / ь ьм [[ у 1 = ~ ) [ у (х) [з г(х) Сеточная норма /м ьуз 1у [!А Я [у [з, )ьйг 1 г=о г=о 1у[[А= щах [у;[ оживл согласована с нормой в С.
288 не согласована ии с одной из норм для функций непрерывного аргумента, так ь как ряд х, [уь[' может расходиться. Норма где фл(Х) =ЛРл(х) — 1 л(Рли(Х)) =— фл(Х) — 7лил(х). (5) О п р еде лен не 2. Сеточная функция фл(х), определенная формулой (5), называется погрешностью аппроксимации разностной задачи (2) на решении исходной дифференциальной задачи (1). Преобразуем выражение для фл(х). Проектируя уравнение (1) на сетку сг„получим рлЕи(х) =рл)(х) или, учитывая принятые обозначения, (Еи) л(х) =(л(х). (6) Из (5) и (6) получаем фл(Х) =1(ли)л(х) — 1лил(х) 1+(гйл(х) — 1л(х) ), т. е.
фл(Х) =флд (Х) + фл,л(Х), флл(х) = (1.и)л(х) -1.,и,(х), фл, срл(х) -1л(х). где (7) Определение 3. Функции флл(х) и ф,,(х) называются, соответственно, погрешностью аппроксимации дифференциального оператора (. разностным оператором Ьл и погрешностью аппроксимации правой части. Определение 4.
Говорят, что разностная задача (2) аппраксимирует исходную задачу (1), если!!фл)1л -0 при )й~-ьО. Разностная схема имеет й-й порядок аппроксимации, если существуют постоянные й)0, М,)0, не зависящие от й и такие, что Цл!!л(М, ~ й1". Аналогично определяются погрешность аппроксимации и порядок погрешности аппроксимации правых частей и дифференциального оператора. 3 а м е ч а и и е. Мы видели, что погрешность аппроксимации на решении представляется в виде суммы погрешностей аппроксимации дифференциального оператора н правой части, Однано порядок погрешности аппроксимации на решении ф может оказаться выше, чем порядои погрешности аппроксимации оператора ф и правой части ф, в отдельности. Нетрудно, например, показать, что разностное уравнение йз ЗО л.
д, слмлгскеа, л. в. гулял 989 Пусть и(х) — решение исходной задачи (1) и у,(х) — решение разностной задачи (2). О п р е д е л е н и е 1. Сеточная функция г,(х) =ул(х) — р,и(х), хенОл, называется погрешностью разностной схемы (2). Подставим у,(х)=рви(х)+ал(х) в уравнение (2). Тогда получим, что погрешность х,(х) удовлетворяет уравнению Елхл(х) =фл(х), хенбл, (4) имеет четвертый порядок аппроксимации на решения дифференциального уравнения и" (х) = — 1(х), хотя дифференциальный оператор и правая часть аппроксимируются лишь со вторым порядком. 3. Корректность разностной схемы. Сходимость. Связь между устойчивостью и сходимостью. По аналогии с дифференциальным случаем вводится понятие корректности разностной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
