Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Для этого прежде всего выпишем уравнение, которому удовлетворяет погрешность г,=у,— и(х;). Подставим у,= =г,+сс(х) в уравнения (3), (4). Тогда получим уравнения (аг-„) л — й,г;= — фь 1=1,2, ..., )Ч вЂ” 1, (!1) — а,г,.+ргь=т„гн =О, (12) где обозначено ф; = — (аи,-)„г+ а;ш+ <рь т, =а,脄— риь+ р,. Функция ф, входящая в правую часть уравнения (11), называется погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения (1) разностным уравнением (3) на решении задачи (1), (2). В п.
1 было показано, что ч>,= 0(й*) при Ь-+О, (=1, 2,..., У вЂ” 1. Аналогично, величина т, является по определению погрешностью аппроксимации краевого условия (2) разностным краевым условием (4) на решении задачи (1), (2), причем ч,=0(Ь'). Таким образом, структура уравнений для погрешности (11), (12) та же, что и у разностной схемы (3), (4), отличаются только правые части. 26З Чтобы доказать сходимость разностной схемы, оценим решение задачи (11), (!2) через правые части»рь т»ь т. е.
получим неравенство вида Иси» > ( М1НФ!с(»» ) +! т1!) (13) с константой М„не зависящей от и. Из этого неравенства и будет следовать, что 1г1с,„„> —— 0(й'). Отметим, что неравенства вида (13), называемые априорными оценками, нашли широкое применение в теории разностных схем. Поскольку структура уравнений для погрешности (11), (12) та же, что и у разностной схемы (3), (4), а отличаются только правые части, то оценка (13) выполняется одновременно с аналогичной оценкой Ь~! ., -М (1!Ф,„„+1РД (14) Действительно, М-» Ф-» (у» о»)= '!», у»ох,А= ~~', у» »=» (=» и =,~~~ У»иио» (о»»» о») .= ~~~ У»чпи» вЂ” ~ ~Ук4 = »=2 »=1 и Уоо1 —,Я У»~4+ Унон = ( »ьн и = — Х о (У вЂ” У-.)+унан — У0и, »=1 что и требовалось доказать.
Тождество (14) называется формулой суммирования по частям. Подставляя в (14) вместо о выражение аг-, и вместо у функцию г, получаем первую разностную формулу Грина (г, (аг-)„) = — (а, (г„-)'1 + анг-, нгн — а,г„,г,, (15) Здесь (а, (г„-)'1 = ~ а;(г„-,)'и, В частности, если г =О (как в »=1 269 для разностной схемы (3), (4) при и,=О. Последняя оценка выражает устойчивость решения разностной задачи по правым частям»р и ми 4. Разностные тождества н неравенства.
Для того чтобы доказать неравенство (13), нам потребуются некоторые разностные тождества и неравенства. Будем рассматривать сеточные функции, заданные иа сетке (7). Обозначим у;=у(х), х,~и»м У., = (У+ — У»)lп н-» М у-, (у, у,,)~й,(у, о) — '5, 'У,ОЬ, (у, и) 5', уо,й. »=1 »=1 Справедливо следующее разностное тождество: (У, о.) = — (о, У„-1+ Унон — У.о~.
задаче (11), (12)), то получим (г, (аг„-)„) = — (а, г';] — а,г„лг,. (16) Обозначим 1г-,] '1' = '~Я (г„-,.)' й Феа и докажем, что для любой сеточной функции гь удовлетворяющей условию ге=О, справедливо неравенство 1Ф,> «11 -,] Г (17) Для доказательства воспользуемся тождеством г;= — '~ йг„-,.= — ~ч'„)~й()~пг„-,.), 1=0,1, ..., Ж вЂ” 1, !=Й.1 /=1+1 и прнменим неравенство Коши — Буняковского аф; « ~к~ а] '" ,о,' Тогда получим М ~ Ф Ф У ~г,]*« ~ й1 ~ й*-, =(1 — х,) ~ йг-'„«1~l -.
г=и1 / ! =и1 /=и1 !=1 Далее, согласно (12) имеем а,гялг =р㠄— чгг, следовательно, сграведлнво тождество (а, г*,-] + рг,'+ (г(, г') = (ф, г) + ч,ге. (18) Из этого тождества и будет сейчас выведено требуемое неравенство вида (13). Заметим прежде всего, что если й(х) >с,)0, р>0, д(х) )О, гто откуда сразу следует неравенство (17). 5. Доказательство сходнмостн. Возвращаясь к доказательству сходимости схемы (3), (4), получим тождество, которому удовлетворяет погрешность г,=у,— и(х,). Для этого умножим уравненис (11) на Ьг, и просуммируем по(от 1 до )Ч вЂ” 1.
Тогда получим ((аг„-)„г) — (А г') = — (Ф, г) Отсюда, применяя разностную формулу Грина (16), получим (а, г,'-]+ а,г,,г + (д, г~) =(4>, г). то коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют нера- венствам а,>с,>0, р>0, 4>0. (19) Это утверждение сразу следует из явного представления коэффициентов (5), (6) ° Воспользовавшись (19), оценим слагаемые, входящие в левую часть тождества (18), следующим образом: М и (а, Ф) = '~ ~а;г-' Л > с, 'Я г-' Л = с, !! г-) !', 1=1 4=1 ргь* > О, (й, г') ~ ~О. Тогда придем к неравенству Ст !! г-] ! ~ (! (ф, г) ! + ! уг ! ! гь !.
(20) Оценим сверху правую часть этого неравенства. Будем иметь Подставляя эту оценку в (20) и учитывая неравенство (17), полу- чим т. е. Окончательно (21) Поскольку $ф/!с — — 0(л'), !ч,! =0(й'), из неравенства (21) следует, что погрешность г;=у,— и(х;) также является величиной 0(И') при й — ~-О. Итак, справедливо следующее утверждение. Пусть н(х) — непрерывно дифференцируемая и д(х), 1(х) — непрерывные функции при х~[0, 1), решение и(х) задачи (1), (2) обладает непрерьчвными четвертыми производными.
Пусть козффициентьс разностной схемы (3), (4) удовлетворяют условиям (8), (9), (19). Тогда решение разностной задачи (3), (4) сходится при й 0 к решению исходной дифференциальной задачи (1), (2) со вторым 211 порядком по й, так что выполняется оценка '1У вЂ” и )с,„< Мй', 5 4. Разностные схемы для уравнения теплопроводности 1. Исходная задача.
Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами, В области (0<х<1, 0<1<Т) требуется найти решение уравнения — '" = — '" +1(х, 1), (1) дГ длз удовлетворяющее начальному условию и(х, 0)=и,(х) н граничным условиям и(0, 1) = р,(1), и(1, 1) =(хз(1). (2) (3) Здесь и,(х), (х,((), р (1) — заданные функции. Известно (см. (41]), что при определенных предположениях гладкости решение задачи (1) †(3) существует и единственно. В дальнейшем при исследовании аппроксимации разностных схем будем предполагать, что решение и(х, 1) обладает необходимым по ходу изложения числом производных по х и по й Решение задачи (1) †(3) удовлетворяет принципу максимума и тем самым непрерывно зависит от начальных и граничных данных.
2. Явная схема. Как всегда, для построения разностной схемы надо прежде всего ввести сетку в области изменения независимых переменных и задать шаблон, т. е. множество точек сетки, участвующих в аппроксимации дифференциального выражения. Введем сетку по переменному х такую же, как и в $3, т. е. шь=(хг=(й,(=0, 1,..., У, йУ= Ц, и сетку по переменному 1 с шагом т, которую обозначим ш,=(1„=пт, п=О, 1,..., К. Кт=Т). 272 где М вЂ” постоянная, не зависящая от й.
Замечания. 1. Из доказательства видно, что конкретный вид коэффици. ентов (5), (б) не влияет на справедливость высказанного утверждения, важно лишь выполнение условий (8), (9), (19). 2. Можно ослабить требования йа гладкость коэффициентов й(х), д(х), [(х) и решения и(х), однако нри этом априорные оценки вида (21) становятся бесполезными, так как норма)ф(снм> может и не стремиться к нулю. Доказательство сходимости в классе разрывных коэффициентов и в случае неравномерных сеток, основанное на оценках погрешности Ю вЂ” и(х») через слабые нормы погрешности аппроксимации фь например нормы »р»-г вида 1ф1= ~»', ь кл' лф(, можно найти в [821. Г=г г=г и У1 Ут 2 Уйт 2У1 + Уия Уи'= У хи ае Иногда для упрощения записи индексы 1 и и будем опускать, обо значая у,= У~,' У,,=у ял (4) ~х;,д„т) Р1,~и и) ~~~+о л и) р.,т т) 11тт ьт„) (хтА) (хт+т в) и 1'7 Гл) б ( 1А+т) ~хг „т„,т)(х;,гл„) ~х;,вг +т) чт "и) (хг,я -т) б г Рнс.
11. Шаблонм разностнмх схем: а — явная схема; б — чисто неявная схема; в — симметричная схема; г — трехслойная схема Чтобы аппроксимировать уравнение (1) в точке (хь 1„), введем шаблон, изображенный на рис. 11, а и состоящий из четырех узлов (х;„„1„), (хо 1„), (х„г„т,). Производную ди)д1 заменим в точке (х„ 1„) разностным отношением у~л, а производную д'и/дх' — второй разностной производной у-„г Правую часть 1(х, 1) заменим при- 273 Точки (хо 1.), 1=0, 1,..., 1т1, и=О, 1,..., К, образуют узлы пространственно-временнбй сетки оьч,=отаХто, (см. рис.
10). Узлы (хо 1„), принадлежащие отрезкам 1,= (0<х<1,1=0), 7,= (х=О, 0<1< < Т), Г,= (х=1, 0<1< Т), называются граничными узлами сетки отм„, а остальные узлы — внутренними. На рис. 1О гра- т ничные узлы обозначены крестиками, а внутренние — кружочками. гл Слоем называется множество всех узлов сетки от,„имеющих одну и ту же временную координату. Так, и-м слоем называется множество узлов плхгтх (х„1„), (х„1„),..., (х„, 1„). Рнс.
1О. Пространственно- Для функции у(х, 1), определенной на временная сетка мы, сетке ать„ введем обозначения у"= =у(х„1„), ближенно сеточной функцией р", в качестве ~р," можно взять одно из следующих выражений: тч+М к~+а Т(хь 1„), — ~ )(х, 1,) йх, — ~ й1 ~ 1(х, 1)йх. ~л "1-н х~ и В результате получим разностное уравнение Ф" — у)' Ԅ— 2а,"+ Ф, /Р Вг которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке (хь 1„) с первым порядком по т и вторым порядком по й при условии, что разность ~р;" — ~(хь 1„) имеет тот же порядок малости. Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные) условия — в граничных узлах сетки. Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть также разностной задачей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
