Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 45
Текст из файла (страница 45)
е. не зависящей от ! матрицей А. Система дифференциальных уравнений (11) с постоянной матрицей А(тХт) называется жесткой, если Ке Лл<0, /с=1, 2,..., т (т. е. система асимптотически устойчива по Ляпунову), 2) отношение гоах ! Ке Ла ! г~за~л ппп (кеЛа! з~лагп велико. Число з называется числом жесткости системы (11). Второе требование не указывает границу для з, начиная с которой система становится жесткой. 250 если матрица этой системы имеет большой разброс собственных чисел. Предположим, например, что матрицу А системы (11) можно привести преобразованием подобия Я-'АО к диагональному виду. Тогда замена и=Оп преобразует систему (11) в систему независимых уравнений оо — = Ц 'АЯо, Ж Если матрица А зависит от (, то Лл='Л„(1), к=1, 2, ..., т.
При каждом 1 можно определить число жесткости шах (КеЛь(01 1<лат ппп ) Ке Ль (О 1 )алла В этом случае свойство жесткости может зависеть от длины отрезка интегрирования. Система — =А(() и ли л) называется жесткой на интервале (О, Т), если )(еЛл(() <О, Й=1, 2,..., т, для всех(ен(0, Т) и число я|р з(1) велико.
ле (О,т) Так же, как и в случае системы (10), нетрудно прийти к следую- щему выводу. Решение жесткой системы содержит как быстро убы- вающие, так и медленно убывающие составляющие. Начиная с не- которого ()О решение системы почти полностью определяется мед- ленно убывающей составляющей. Однако при использовании яв- ных разностных методов быстро убывающая составляющая отрица- тельно влияет на устойчивость, что вынуждает брать шаг интегри- рования т слишком мелким.
Выход из этой парадоксальной ситуации был найден в примене- нии неявных абсолютно устойчивых разностных методов, Например, систему (10) можно решать с помощью неявного метода Эйлера л+1 л л+1 л ' +а,ил"=О, ' '+а,ил+'=О, т 1 л л который устойчив при всех т>0. Поэтому шаг интегрирования т здесь можно выбирать, руководствуясь лишь соображениями точности, а не устойчивости. 3. Нелинейные системы дифференциальных уравнений. Обобщим понятие жесткости на случай нелинейной системы — =)((,и), ()О, Ш где и(1) =(и,(1), и,((), ..., и (()), Т ((, и) = (~, (8, и), 1, (1, и), ..., 1 (1, и))г. Зафиксируем какое-либо решение о(1) системы (12) и образуем разность г(1) =и(() — о(1) между произвольным решением системы (12) и данным решением о(1). Эта разность удовлетворяет следующей системе уравнений: — =)ь((, о(1)+г(()) — )ь(1, о(0), й=1, 2, ..., т.
(13) Ж Будем рассматривать г(() как малое возмущение, внесенное в основное решение о(1). Проведем разложение по формуле Тейлора в правой части системы (13). Так как )„((, и) =)„(1, и„и„..., и„), имеем д) (б и) Ы'+г) — жо)=3 ' ' г(1)+о(~г~), ди) где через о((г)) обозначены величины более высокого, чем первый, порядка малости по г. В результате разложения система (13) при- мет вид — =А(1, о(()) г(1)+ о(~ г(), Ж (14) д) (б п(0) где через А((,о(1))= ' обозначена матрица с элементами ди д/; (б и (0) ап(Е, о(1))= ', 1,1=1, 2, ..., и.
ди; Отбрасывая в (14) величины о()г(), получим так называемую систему уравнений первого приближения и() =А(1, о(!)) ш(1). д) дп — =Ли, д) (1б) 252 Система (15) является системой линейных дифференциальных уравнений относительно ш((), так как функция о(() задана. Определение жесткости системы нелинейных дифференциаль- ных уравнений связано как с данным фиксированным решением о(1), так и с длиной отрезка интегрирования. Пусть Л„(1), й=1, 2, ..., тн,— собственные числа матрицы А(1, о(1) ).
Число жесткости з(1) определяется как тпах )йеЛк(0( 1<йм ~п ппп ) Ке Л (0 ( ~ма~е Система (12) называется жесткой на решении о(1) и на данном интервале 0<1< Т, если 1) Ке Лк(1) <О, й=1, 2,..., т, для всех 1~(0, Т), 2) число ззр з(1) велико. Феи.7) 4. Специальные определения устойчивости. При исследовании разностных методов для жестких систем уравнений обычно рассма- тривают уравнение где Л вЂ” произвольное комплексное число. Свойства различных разностных методов изучают и сопоставляют иа примере модельного уравнения (16).
Для того чтобы уравнение (16) действительно моделировало исходную систему (11), необходимо рассматривать его при всех таких Л, которые являются собственными числами матрицы А. Разностный метод (2), примененный к уравнению (16), имеет вид ',~', (аь — рбь)у ь=0, п=т, го+1, ..., (17) ь=о где м=тЛ вЂ” комплексный параметр. Если искать решения уравнения (17), имеющие вид у„=д", то для а получим характеристическое уравнение ~ (ал — рбл)ч л=0, (18) л=о отличающееся от уравнения (3) тем, что его коэффициенты зависят от параметра р=чЛ. При малых р корни уравнений (3) и (18) близки. Однако в дальнейшем мы не будем делать предположений относительно малости р. Кроме обычного определения устойчивости разностного метода (все корни характеристического уравнения (18) не превосходят по модулю единицу), в случае жестких систем используют и другие, более узкие определения устойчивости.
Здесь мы рассмотрим два таких определения: А-устойчивый метод и А(а)-устойчивый метод. Предварительно введем следующее понятие. Областью устойчивости разностного метода (2) называется множество всех точек комплексной плоскости р=тЛ, для которых данный метод, примененный к уравнению (16), является устойчивым. Рассмотрим, например, явный метод Эйлера " =И., у.). В применении к уравнению (16) этот метод принимает вид У~+1= (1+И)У, И=тЛ. Условие устойчивости ~ 1+ р ~ (1 для комплексного р= и,+(р, означает, что (р,+1)'+ р',(1. Тем самым область устойчивости данного метода представляет собой круг единичного радиуса с центром в точке (-1, О) . Для неявного метода Эйлера уп~1 у~ = ~ ((иы у~и-1) областью устойчивости является внешность круга единичного радиуса с центром в точке (1, О).
253 Разностный метод называется А-устойчивым, если область его устойчивости содержит левую полуплоскость Ке 14<0. Отметим, что уравнение (16) асимптотически устойчиво при Кебы<0. Поэтому сущность приведенного определения состоит в том, что А-устойчивый разностный метод является абсолютно устойчивым (устойчивым при любых т)0), если устойчиво решение исходного дифференциального уравнения. Нетрудно видеть, что неявный метод Эйлера является А-устойчивым, а явный метод Эйлера — не является.
Рассмотрим еще одношаговый метод второго порядка точности "- = 0,5 () (!лн, ул+1) + ~ (!л, уа)). (19) т Для уравнения (16) метод принимает вид 1+ О,вн улы = йуа~ Ч = 1 — О,З| Отсюда видно, что ~ д ~ <1 тогда и только тогда, когда Ке !4<0. Следовательно, метод (19) является А-устойчивым. При решении жестких систем уравнений было бы желательно пользоваться именно А-устойчивыми разностными методами, так как условия их устойчивости не накладывают ограничений на шаг т. Оказывается, однако, что класс А-устойчивых методов весьма узок.
В частности, среди методов вида (2) не существует явных А-устойчивых методов. Для доказательства запишем характеристическое уравнение (18) в виде ачям + а,д~ '+ ... + а,„ ь,д + ь,ч -'+ ... + ь„ Если (2) — явный гп-шаговый метод, то Ь,=О, а,ФО. Могут оказаться равными нулю и другие коэффициенты Ь„но не все, так как по условию Ь,+Ь,+...+Ь„=! (см. (3) из $3).
Пусть Ь,=Ь,=... ...= Ь;,=О, Ь,чьО, 0<!(гп. Тогда из (20) получим а~я~+а,4~1+ ... +а Р ь,.д"-~+ ... + ь Отсюда видно, что при больших о функция !4(д) ведет себя как а„ ь г Следовательно, для любого достаточно большого по модулю числа и (в том числе и для !х, лежащих в левой полуплоскости) найдется корень д уравнения (18) с !д~ ) !.
Доказано (см. (37] и указанную там литературу), что среди неявных линейных многошаговых методов нет А-устойчивых методов, имеющих порядок точности выше второго. Примером А-устойчивости метода второго порядка точности является симметричная схема (19). 254 (21т имеет четвертый порядок точности и А(сс)-устойчива прн некотором сс) О. 5. Чисто неявные разностные методы. В настоящее время при интегрировании жестких систем уравнений широко используется метод Гира [37), в основу которого положены чисто неявные многошаговые разностные методы высокого порядка точности.
Разностный метод '~', а4У„4=тт((„,У,) к=е (22) называется чисто неявным, Он является частным случаем метода (2), когда Ь,=Ь,=...=Ь =О, Ь,=1. Для отыскания у„ получаем из (22) нелинейное уравнение т агул — т7 (1л, ул) = — ~>' агу~-ь, (23) которое можно решать тем или иным итерационным методом. Условия р-го порядка аппроксимации (9), (10) из $ 3 в случае метода (22) принимают вид ш м м а = — '~~~ ам ~~1~' ,йаь= — 1, ~ 'я'а,=О, 1=2, 3, ..., р. (24) Отсюда видно, что наивысший достижимый порядок аппроксимации чисто неявного и-шагового метода равен т.
Упомянутый выше метод Гира использует чисто неявные схемы наивысшего порядка аппроксимации. Система уравнений (24) для определения 2бб В связи с этим было введено еще несколько определений устойчивости, которые являются менее ограничительными, чем определе. ние А-устойчивости. Разностный метод называется А(а)-устойчивым, если область его устойчивости содержит угол ~агд ( — 14) ) (а, 14=тЛ.
В частности, А( — "1-устойчивость совпадает с А-устойчивостью. ,'2/ Доказано, что ни для какого а не существует явного А (а) -устойчивого линейного многошагового метода. Построены А(а)-устойчивые неявные методы третьего и четвертого порядка точности. К ннм относятся, в частности, чисто неявные многошаговые разностные схемы, у которых правая часть 1(1, и) вычисляется только при 1= =1., а производная и'(1) аппроксимируется в точке 1„по нескольким предыдущим точкам. Например, схема 25фа 48уи- + абул- 1бв -э+ Зуи12т коэффициентов а„..., а„, метода наивысшего порядка имеет вид а,+2а,+...+та = — 1, а,+2'а,+...+и'а =а„ (25) а,+2 а,+...+и"а =О. Эта система однозначно разрешима, так как ее определитель отличен от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
