Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Представим уравнение (27) в векторном виде У„=5У„,+тот„„п=т, т+1,..., (30) тДЕ Ул= (рл-и+1, Ул-~а+Ою ° ° ° о Ул) 1 ,г о„, = (о, о, ..., о, '†" ) , (31) ао матрица 5 определена согласно (20). Пусть уравнение (8) устойчиво по начальным данным. Тогда согласно теореме 1 выполнено условие корней.
При этом условии в соответствии с леммой 1 для некоторой нормы матрицы 5 справедливо неравенство !!5!!.~1. Таким образом, из (30) получаем неравенства !!1' !!.(!!У !!.+~!!6-,!!., й=т, +1,... Суммируя эти неравенства по е от т до и, получим л-1 !!У !!.<!!1' — !!.+ Х т%!!.. (32) О ЛО-1 Используем далее неравенство (24), устанавливающее эквивалентность норм !! !!. и !! !!,.
Тогда из (32) получим Л-1 ((Я'!!с) '!!Ул(с~(~Я(~ !!У~1!!с+;~,' т!!4оо!!с . (33) О=Ш-1 Учитывая специальный вид (31) вектора 61, имеем !!О,!!,=!"-=!, ! ао ! и, следовательно, л-1 л-ло т(!Ол!~= — ~', т!до!. О=ЛО-1 ао о=о Отсюда и из (33) получаем требуемое неравенство 1У.1с(М1 щах !У1!+Мо Х т!841, ОСИП-1 о=о (34) где М =!!Я '!!о!!Ф!о, М,=М1а,'.
Напомним, что Я вЂ” матрица, преобразующая 5 согласно (21) к модифицированной жордановой форме. б. Оценки погрешности разностного метода. Вернемся к уравнению для погрешности (3), полученному в п. 1. Нам нужно оце- НИТЬ ПОГРЕШНОСТЬ МЕтОДа ал ЧЕРЕЗ ПОГРЕШНОСТЬ аППРОКСИМаЦИИ ф„, а=О, 1,..., и — т. Если бы функция оро равнялась нулю, А=О, 1,... 244 М,=~~а.~~()- ~~., М = — ', с, =Мос(„о= — 'Я (~ао! 1Ьо1+ ~1ао~ 1Ьо~). Доказательство. Согласно формуле конечных приращений Лагранжа имеем 1(г — ь У -и) — 1(г -ь и -«) =1 -ог -ь где 1о-о=(о((о-ь й~-о) й -о=уо-о+Ох -о, 0~~8(~1, Ь=О, 1, 2..., и, Представим функцию ор„„, определенную согласно (5), в виде ~Ро-оь = Ьо(ого + '~~' Ыл-ого-о.
(37) о=о Подставляя (37) в уравнение (3), получим (а — Ьо(от) г„= '~ ( — ао+ тЬо(„о) г„о+ тф„ (38) Из условия (35) следует, что )ао — тбо(о~)~ ' ~0, (39) поэтому уравнение (38) можно разрешить относительно г„: — +ть 1о о + оЬо (40) ао — тьо!о ао — тзо1о оо Добавляя к правой части уравнения (40) и вычитая из нее выра- жение а ,'~ ~— го-о, о= 246 ..., и — и, то достаточно было бы воспользоваться оценкой (34). Однако наличие функции ф„ зависящей от решения г и характеризующей нелинейность задачи, усложняет получение требуемых оце. нок.
Следуя (2, с. 484], докажем, что справедлива Теорема 2. Пусть все корни характеристического уравнения (9) лежат внутри или на границе единичного круга, причем на границе нет кратных корней. Пусть 1)„(1, и)~ (7. для Фен(0, Т). Тогда при (35) 2! Ьо1 Ь для решения уравнения (3) справедлива оценка и-и )го~(Ме'т тах ~г1~+М, 'Я т1фо~, п=и, и+1, ...,(36) о<ужа-о о=о перепишем (40) в виде ао зл = ~~~~ ал-О + т ~~ олово-О + т о ао о ао " тЬо1о (41) где аоЬЬ1 ,ь — аоЬо1о зло = ( — тэо1о) (42) Представим уравнение (41) в векторной форме.
Для этого введем векторы от л (ал-т+о Хл-л +2~ ° ° ° Хл) тт Р.,=(0, ...,О, ао — тЬо1о и матрицы О 1 О .. ° О О ... О о о О 1/л, = О ... О ~л-1 ~~-2 а, ао ао ао Ц» ао алло '' ' ало Тогда получим, что уравнение (41) эквивалентно векторному уравнению 2„=З2„,+ ти„,г„,+ тЧ „,. (43) Для оценки решения уравнения (43) используем лемму 1 из п. 3. Согласно этой лемме, !!5!!.<1 в некоторой норме !! ° !!.. Поэтому из (43) получим !!Я.!!.<!!Я„Д.+т!!У. Д.!!У„Д.+т!!Ч". Д..
(44) Покажем, что !!1т„,!!. ограничена числом, не зависящим от и н т. Согласно (39), (42) имеем !и, !<2 ! а, ! ! Ь ! + ! а ! ! Ь, ! Т., /г = 1, 2, ..., 1п, !аоР поэтому !!р — 1с= 'Я !ало !<о(., где п= — ~ч~~ (!ао! (Ьо!+ !ао! !Ь,!). ао о=о (45) Для любого вектора х имеем !!у„,х!!.=Ну„,х!!,= !! ЛЪ'„А-') ях) !!,< < КУ„Я-'!!,Кх!!,<Я4,!!)т„,!!,!!х!!., 246 где М =!!Ф!с!!Я '!1,. Следовательно, !!1 и-1!! ~~М1П-ь!!е~~М!оЬ. Подставляя эту оценку в (44), приходим к неравенству !!г„!!.((1+ с,) !!2,,!1,+ т!!Ч „,!!., где й=и, т+1,..., с,=М,оЬ.
Из (46) получим )Д„((1+ ) ~г,!!,+т ~ !!Р,,!!,( (46) л (е"'"- Цг„,!,+ т 'Я !1%,Ц„(47) где 1„=т(п — гп) (Т. Далее, учитывая (24), (39), имеем Щ!.~(!!()- !!с)- !!г„!1с~(!!()- Ц- !з.1, Подставляя эти неравенства в (47) и обозначая М,=!!Ф1,Х Х!!Я-'!1„М,=М,—, получим оценку ! ! л-ш !г„! М е'т шах !еу!+М 'Я т)фл1, 0~(~~й-1 А е 'Я т)фл!(Т гпах 1фл!. и 5. Численное интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений 1. Условно устойчивые и абсолютно устойчивые разностные методы. Для задачи Коши НС вЂ” =7(1, и), 1) О, и(0) =и, (1) совпадающую с (36).
Теорема 2 доказана. С л е д с т в и е. Если 0(пт( Т, выполнено условие корней, !г,1-~0 при т-~О, 1=0, 1, ..., гп — 1, и разностное уравнение (2) аппраксимирует исходное уравнение (1), то решение разностной задачи (2) сходится при т-эО к решению исходной задачи (1). Доказательство следует немедленно из оценки (36), если учесть, что (2) будем рассматривать разностные методы вида о$ о1 — у «=~ 54((о «,у„«), п=гп, п~+ 1, ... а« «=о «=о В $4 показано, что устойчивость и сходимость метода определяются расположением корней характеристического уравнения ~~р а«д -" = О.
(3) А именно, требуется, чтобы все корни удовлетворяли условию ~ д ~ ~ ~1, причем корни а, для которых ~д~ =1, не должны быть кратными. Эти условия устойчивости являются очень общими и не могут учесть многие характерные свойства решений исходной дифференциальной задачи (1) и аппроксимирующего ее разностного метода (2). Они означают лишь, что все решения однородного разностного уравнения, соответствующего (2), остаются ограниченными при В частности, при таком подходе коэффициенты 6„й=О, 1,..., т, входящие в правую часть уравнения (2), никак не влияют на устойчивость.
Предположим, однако, что заранее известна та или иная характерная особенность в поведении решения исходной дифференциальной задачи. Тогда естественно требовать, чтобы эта особенность сохранялась и у решения разностного уравнения. Такое требование приведет к сужению класса допустимых разностных методов. В настоящем параграфе будут рассмотрены методы, предназначенные для расчета асимптотически устойчивых решений уравнения (1). Рассмотрим сначала характерный пример. Уравнение — "=Хи, 1)0, и(0) =и„ (4) Ж где Х(0, имеет решение и(г) =и,е", монотонно убывающее при 1-о-со. При любых т)0 для решения этого уравнения справедливо неравенство (и(1+т) [()и(1) ~, (5) означающее устойчивость решения и(1).
Естественно требовать, чтобы и для решения разностной задачи, аппроксимирующей (4), выполнялось бы неравенство, аналогичное (5). Рассмотрим с этой точки зрения метод Эйлера =Ху„, а=О, 1, ... (6) Из уравнения (б) получаем у.+о=уу, Ч=1+тА. 248 Оценка вида (5), т. е. неравенство )у„+,! <1у„(, п=1, 2, (7) для метода (Ь) будет выполнено тогда и только тогда, когда ~д~ < <1. В случае ),<О это условие эквивалентно следующему ограничению на шаг т: 0< т<— (8) ~7,) Таким образом, разностный метод (6) устойчив в смысле выполнения оценки (7), если шаг т удовлетворяет неравенству (8). Разностный метод (2) называется абсолютно устойчивым, если он устойчив при любых т>0, и условно устойчивым, если он устойчив при некоторых ограничениях на шаг т.
Мы видели, что метод Эйлера (6) условно устойчив при условии (8). Примером абсолютно устойчивого метода для уравнения (4) с 1<0 является неявный метод Эйлера влн ва = Лу„„„ т для которого (д) = ) (1 — тХ) '~ <1 при любых т>0. Приведенные здесь простые примеры характерны тем, что и для более общих асимптотически устойчивых систем дифференциальных уравнений явные разностные методы являются условно устойчивыми, а среди неявных методов существуют абсолютно устойчивые методы. Условная устойчивость является недостатком явного метода, так как вынуждает брать слишком мелкий шаг т. Например„если Х= = — 200, то условие (8) выполнено при т(0,01, и для того чтобы вычислить решение и(г) прн с=1, надо сделать сто шагов по методу Эйлера. Неявный метод лишен этого недостатка, однако его применение к задаче (1) приводит к необходимости решения на каждом шаге системы алгебраических уравнений, в общем случае нелинейной.
2. Понятие жесткой системы дифференциальных уравнений. Многие из рассмотренных в $ 1 — 4 численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений переносятся без изменений на системы дифференциальных уравнений. Однако в случае численного решения систем уравнений могут появиться дополнительные трудности, связанные с разномасштабностью процессов, описываемых данной системой. Поясним характер возникающих трудностей на примере системы, состоящей из двух независимых уравнений — "' +а,и,=О, — "- +а,и,=О, 1)0, (9) ~и ш где а, н а,— положительные постоянные.
Система (9) имеет решение и, (1) =и (0)е ', и,(1) =и,(0) е-'*', 249 монотонно убывающее с ростом й Предположим, что а, гораздо больше, чем а,. Тогда компонента и,(1) затухает гораздо быстрее, чем и,(1), и, начиная с некоторого /, поведение решения и(1) = =(и,(1), и,(1)) почти полностью определяется компонентой и,(/) Однако оказывается, что при решении системы (9) разностным методом шаг интегрирования т определяется, как правило, компонентой и,(1), не существенной с точки зрения поведения решения системы. Например, метод Эйлера „лм л л+т л ' +а,и,"=О, ' ' +а,и,"=О, (!0) где и! =и,(1„), 1=1, 2, будет устойчив, если шаг т удовлетворяет одновременно двум неравенствам та,<2, та,<2. Поскольку а,)) ))а,)0, условие устойчивости приводит к ограничению т<2/а,.
Приведенный пример может показаться искусственным, так как ясно, что каждое из уравнений системы (9) следует решать независимо одно от другого со своим шагом интегрирования ть 1=1, 2, т,<2/а„т,<2/а,. Однако аналогичные трудности возникают и прн решении любой системы обыкновенных дифференциальных урав- нений — =Аи, оп б! (11) матрица которой имеет те же собственные числа, что и матрица А. Сформулируем теперь определение жесткой системы уравнений. Рассмотрим сначала систему (11) с постоянной, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
