Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 42
Текст из файла (страница 42)
В практике вычислений наибольшее распространение получили методы Адамса, которые представляют собой частный случай многошаговых методов (2), когда производная и'(1) аппроксимируется только по двум точкам, 1„и 1„„т. е. а,= — а,=1, а„=О, я=2, 3, ..., т. Таким образом, методы Адамса имеют вид = ч', Ьл(л ~. я=л (4) получающаяся в результате подстановки точного решения и(1) дифференциальной задачи (1) в разностное уравнение (2).
231 В случае Ь,=О методы Адамса называются явными, в случае ЬМΠ— неявными. При изучении разностных методов (2) мы рассмотрим прежде всего, как влияет выбор коэффициентов а„Ь„на погрешность аппроксимации, а затем исследуем тесно связанные между собой вопросы устойчивости и сходимости. 2. Погрешность аппроксимации многошаговых методов. Погрешностью аппроксимации на решении или невязкой разносгного метода (2) называется функция И$ ул фл = — 'Я вЂ” ил л+ ~ч~~ ЬД((л ы ил л), (5) л=л ь=о Выясним вопрос о порядке погрешности аппроксимации при т- О в зависимости от выбора коэффициентов а„, Ь„А=О, 1, ..., гл.
Будем предполагать при этом, что все рассматриваемые функции обладают необходимой гладкостью. Разлагая функции и„,=и((„— йт) в точке 1=(„по формуле Тейлора, получим ( — ьт)'иш О 1 и„» = 'Я " + 0(то+'), О !=о) )((„», и„-»)=и'((о — йт)= оо (»)о ион(о) =Х + 0 (то), й = 1, 2, , ло. Подставляя эти разложения в выражение (5) для погрешности ап- проксимации, будем иметь ор = — ~~з —, ~ „" + /' ' ( — »т)оик»и Оо) ~ + 'Я Ь» ~ 'Я " ~ + 0 (то) = »=о о=о ( — »т)~ »иа'(е 1 ~ о=о »=о После очевидных преобразований приходим к разложению Г~а»~ — — и (1„) + »=о + 'Я ~~ ( — )от) ~( ໠— + Ь»Ц " + 0 (то). (6) ! Ц (! — О. 1-»»=о Отсюда видно, что погрешность аппроксимации имеет порядок р, если выполнены условия 'Я а»=О, (л »=о оо ~~»', л' '(йа»+!Ь»)=О, 1=1, 2,..., р.
(8) Вместе с условием нормировки (3) уравнения (7), (8) образуют систему из р+2 линейных алгебраических уравнений относи- 232 тельно 2(т+1) неизвестных а„аь...,ащ Ь» Ь, уЬ Можно несколько упростить эту систему. А именно, рассмотрим уравнение (8) при 1=1, 'Я йа» + ~"„Ь» = 0 и учтем условие нормировки (3). Тогда получим уравнение '~~~ йа» = — 1.
Окончательно получаем систему уравнений ~', йа»= — 1, »=1 (9) ~ йьа(й,+1Ь,)=0, »га 1=2,3, ...,р, которая содержит р уравнений и 2ш неизвестных а„а„..., а „ Ь„Ь„..., Ь„. Коэффициенты а, и Ь, вычисляются по формулам ~» н аь= — ~ а», Ь,=1 — 'Я Ь».
(10) Для того чтобы система (9) не была переопределена, необходимо потребовать, чтобы р(2гп. Это требование означает, что порядок аппроксимации линейных т-шаговых разностных методов не может превосходить 2т. Итак, наивысший достижимый порядок аппроксимации неявных гп-шатовых методов равен 2гп, а явных — 2п» вЂ” 1.
Заметим, что если в системе (8) отбросить последние и уравнений, п=1, 2, ..., р — 1, то получим условия, обеспечивающие порядок аппроксимации р — и. Для методов Адамса (4) условия р-го порядка аппроксимации (9) принимают вид ив Ю3 1~ й~ ~Ь»=1 1=2 3 ° ~ р. Ь»=1,'!»~' ,Ьм (11) »ьа » Отсюда видно, что наивысший порядок аппроксимации т-шагового метода Адамса равен гп+1, а наивысший порядок аппроксимации явного метода Адамса (Ь,=О) равен пь 3.
Устойчивость и сходимость разиостных методов. Оказывается, что методы наивысшего порядка аппроксимации практически непригодны для расчетов, так как они неустойчивы. Подробно вопросы устойчивости и сходимостн разностных методов будут ззз рассмотрены в следующем параграфе, а сейчас ограничимся изложением самых необходимых сведений.
Рассмотрим наряду с (2) однородное разностное уравнение а,о„+а,о„,+... +а„о„„=О, п=т, и+1, ..., (12) и будем искать решения уравнения (12), имеющие вид о„=д", где ц — число, подлежащее определению. Тогда для нахождения д получаем уравнение а»ц"+а,д"-»+... +а,у+а„=О, (13) которое называется характеристическим уравнением разностного метода (2). Говорят, что метод (2) удовлетворяет условию корней, если все корни д„д„..., д„характеристического уравнения (13) лежат внутри или на границе единичного круга комплексной плоскости, причем на границе единичного круга нет кратных корней.
Разностный метод (2), удовлетворяющий условию корней, называют устойчивым методом. Существует определенное ограничение на порядок аппроксимации устойчивого метода. Приведем без доказательства следующее утверждение. Пусть метод (2) удовлетворяет условию корней и имеет порядок аппроксимации р. Тогда р(и+1 при и нечетном и р и+2 при и четном.
Для явных т-шаговых устойчивых методов порядок аппроксимации не превосходит и. В 2 4 будет доказана следующая теорема о связи между устойчивостью и сходимостью разностного метода (2) (см. теорему 2 из $4). Пусть метод (2) удовлетворяет условию корней и Ц ($, и) ~ (Е. при 0<1<Т. Тогда при тт =1„=пт~Т, п>и и всех достаточно малых т выполнена оценка ~у,— и(1„)~(М( шах ~уг — и(1;)1+ шах 1фь1), (14) ьк!к»»-» акщ»»-и» где ~р„— погрешность аппроксимации, у;иЦ), 1=0, 1, ..., и-1— погрешности в задании начальных условий и М вЂ” константа, зависящая от 1., Т и не зависящая от и.
Из оценки (14) следует, что если начальные погрешности у,— и(1,), 1=0, 1, ..., и — 1, и погрешность аппроксимации ц»», й= =О, 1, ..., и — и, являются величинами 0(т'), р)0, то и у„— и(1„) =0(т") при п~и, т. е. метод сходится и имеет р-й порядок точности. Таким образом, исследование сходимости метода (2) сводится к анализу погрешности аппроксимации и проверке условия корней. Заметим, что методы Адамса " ' =;!» Ь4 (1 -ь у -ь) т ь=о всегда удовлетворяют условию корней, так как для них а,= — а,= = 1, т.
е. о = д» = 1. яаа Простым примером метода, не удовлетворяющего условию корней, является явный двухшаговый метод Уз+ 4Уа-> 3Уп-з 21а-з+1а-в 6'в 3 > имеющий третий порядок аппроксимации. 4. Примеры многошаговых раэностных методов. Наивысший порядок аппроксимации явных т-шатовых методов Адамса Уа Уа-> = Ь>1а-з + Ьз1а > + ° ° ° + Ьт1п-т (15) Решая систему (16), можно найти коэффициенты метода наивысшего порядка (15),' (16) при каждом конкретном т.
Так, при т 1 получаем метод Эйлера Уа Уа-> з = 1а-з. При т=2, 3, 4, 5 получаем соответственно следующие методы т-го порядка аппроксимации: Уа Уа-з 3 ! 2 2 ! а-1 ! а-з> т=2, Уа-Уп з ! = — (231а-в — 161а-з + 51а з), т !2 т=3, ' = — (551,-> — 591а-в+371 з — 91 в)> т=4> т 24 = — (19011в-з — 27 741п-,~ + 26161л в— т 720 12741а-в+ 2511а-в)> т 5 Для неявных т-шатовых методов Адамса ""-'=Ь,1.+Ь,У в+ ... +Ь.1 .
(17) наивысший порядок аппроксимации равен т+1. Коэффициенты метода (17) наивысшего порядка находятся иэ системы (11) с р= =т+1. Прн т= 1 получаем метод второго порядка аппроксима- ции Уа Уа-з ! т 2 = — (1а+ 1а-.), р=2, 233 равен т. Согласно (11) условия т-го порядка аппроксимации имеют вид 'Я й' 'Ь»=- —, 1=1, 2, ..., т. (16) в в называемый методом трапеций. Прн па=2, 3, 4 получаем соответственно следующие методы (па+1)-го порядка аппроксимации: = — (51зл + 8гзл-т гзл-з), Р = 3 т !2 = л — (9~л + 19~а-т — 5~л-з + ~л-з), Р = 4, 'т 24 = — (251~, + 646~~, — 264)л з+ 106~л-з — 19~л-з)~ Р = 5. з 720 Выписанные выше неявные методы содержат искомое значение нелинейно, поэтому для их реализации необходимо применять итерационные методы.
Например, для неявного метода Адамса четвертого порядка используется итерационный метод 1%.1) " ' = — (9у (ул унл) + л + 19~ (улем рл-т) — 5~ (1л-з, рл-е) + ~ (1л-з, рл-з))з (18) где з — номер итерации, з=О, 1, ... В качестве начального значения у„'> можно взять решение, полученное с помощью явного метода Адамса третьего порядка, т. е.
метода Рл Рл-т 1 о т 12 = — (23~ (ул-и рл-т) — 16~ (1л-з, ул-з) + 5~ (1л-з ул-з)). (19) Записывая (18) в виде получаем, что если ~ — ~ (М, то итерационный метод сходится 1 д/! ~ ду ~ зтм при условии — (1, которое выполнено при достаточно малом т. 8 Если в (18) ограничиться только одной итерацией з=О, то получим метод, называемый методом предиктор — корректор (предсказывающе-исправляющий). $4. Сходимость и оценка погрешности многошагового разностного метода *) 1. Уравнение для погрешности. Для задачи Коши — и =7(1, и), 1)0, и(0) =и, *) При первом чтении этот параграф можно опустить.
236 рассмотрим т-шаговый разностный метод алуа+а,ул д+ ... +алдул-дл Ь~«)+ + Ьд~«л-д ул-д) + ' + Ьлд~ «л-лд, ул-лд)д (2) где п=т, т+1,..., заданы начальные значения у„у„..., у„,. В настоящем параграфе выясняются условия, при которых сходится метод (2) и даются оценки погрешности г„=у„— и(1„) в любой момент времени 1„=пт, п)т, через начальные погрешности адд ао ..., з д и через погрешность аппроксимации.
Получим уравнение, которому удовлетворяет погрешность а„= =у„— и(1„). Подставляя в левую часть уравнения (2) вместо у, выражения и(1,)+зь /=и, и — 1,..., и — т, получим алгл+адгл д+ ... +алга,л лгал+адил,+ ... +а,„ил,„ + +ЬД«„,у.)+ЬД«. „ул,)+ ... +Ь ):«„,у ). Далее, добавим к правой части этого уравнения и вычтем из нее выражение Ь,)(1„, и„)+Ь,)(1„„и„,)+... +Ь„)(1„„, и„„). Тогда уравнение для погрешности примет вид алг„+~~*,+ . + „гл — фл-лд + Чдл-лдд (3) п=т, т+1, ..., где через ф„„обозначена погрешность аппроксимации алал + а,а„ + ... + а ал т +Ьа)«л, ил)+ЬД«л „ил д)+ ... +Ь ~«„„, и„) (4) и через др„„— функция дрл „=Ьа««л, у,) — ~«л, ил))+Ь,«,'«„„у„,) — 1«л „ил,)) +... + Ьдлт(дг «л-лдд ул-лд) дг «л-т ил-лд)) (5) Погрешность аппроксимации д)„оценивалась в п. 2 $3, где были найдены условия р-го порядка аппроксимации.
В частности, при выполнении этих условий др„„-д-О при т — «О. Функция др„„, входящая в правую часть уравнения (3), зависит нелинейно от погрешности зь /=и, и — 1, ..., и — т. Вид нелинейности определяется функцией )(1, и). В дальнейшем будем предполагать, что 1(1, и) удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу, т.
е. )7(1, и,) — Щ и,) ~ (Е/и — ид~ (6) для всех 1, и„и, из рассматриваемой области. Тогда из (5) следует, 237 что для функции <р„„выполнена оценка !«р — ! <ЬТ.(!з,!+ !з — !+...+ !з — + !+ !г„!), (7) где 0=шах(!Ьэ!, !Ь,!, ..., !Ь„!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
